Phiếu số 5 ds9 hệ thức vi et và ứng dụng tổ 3 gv trang thi thu

1/ Nhóm Chun Đề Tốn 6,7,8,9 Tốn học đam mê HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG I Hệ thức Vi-ét: b  S x1  x  a   P x x  c a  Thuận : Khi phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm x1, x2 :  S x  y   Đảo : Nếu x, y hai số thỏa : P x.y x, y nghiệm phương trình : X – SX + P = II.Áp dụng Hai trường hợp đặc biệt nghiệm phương trình bậc hai: c  Khi a + b + c = phương trình có nghiệm x1 = ; x2 = a c  Khi a – b + c = phương trình có nghiệm x1 = –1 ; x2 = – a Tìm hai số biết tích tổng chúng: Nếu hai số có tổng S tích P (với S – 4P  0) hai số nghiệm phương trình : X – SX + P = Viết phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1 x2:  Tính tổng S = x1 + x2 P = x1.x2  Phương trình cần viết là: x2 – Sx + P =  Có thể viết phương trình sau: (x – x1)(x – x2) =  Khai triển để đưa dạng phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a  0) Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức liên quan đến nghiệm:  Chứng minh phương trình có nghiệm  Tính S = x1 + x2 P = x1.x2 phương trình  Biểu diễn biểu thức theo S P tính giá trị theo giá trị S P  Cần nhớ biểu thức sau: 2 2  A x1  x (x1  x )  2x1x S  2P 2 2  B (x1  x ) x1  x  2x1x (x1  x )  4x1x S  4P 2  C x1  x (x1  x )(x1  x ) tính x1  x tính B Nhóm Chun Đề Tốn 6, 7,8,9: https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 1/ Nhóm Chuyên Đề Toán 6,7,8,9 Toán học đam mê 3 3  D x1  x (x1  x )  3x1x (x1  x ) S  3PS Tìm giá trị tham sơ để phương trình có nghiệm thỏa điều kiện cho trước:  Tìm điều kiện tham số để phương trình phương tình bậc hai có nghiệm (a    0) (1)  Tính S P theo tham số m  Biểu diễn điều kiện nghiệm cho trước theo S P ta phương tình theo ẩn m  Giải phương trình (tính m) chọn giá trị m thỏa điều kiện (1) Dấu nghiệm số phương trình bậc hai: Cho phương trình : ax2 + bx + c = (a  0) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x 1, x2 (x1 < x2) thỏa mãn:  Hai nghiệm trái dấu  P <     Hai nghiệm phân biệt dấu  P   Hai nghiệm phân biệt dương   Hai nghiệm phân biệt âm     P  S      P  S   Chú ý : Nếu đề yêu cầu phương trình có hai nghiệm trường hợp ta thay  > thành   DẠNG 1: NHẨM NGHIỆM Bài 1: Tính nhẩm nghiệm phương trình sau: a)  4x  3x  0 b)   x   x  0 DẠNG 2: TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG Bài 2: Tìm hai số x y biết: a) x  y 29 x.y 198 b) x  y 5 x.y 9 2 c) x  y 13 x.y 6 d) x  y 7 x.y 120 Nhóm Chun Đề Tốn 6, 7,8,9: https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ c) x  7x  10 0 1/ Nhóm Chun Đề Tốn 6,7,8,9 Tốn học đam mê DẠNG 3: TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA CÁC NGHIỆM KHÔNG PHỤ THUỘC THAM SỐ Bài 3: Cho phương trình x  mx  2m  0 Tìm hệ thức liên hệ nghiệm x1 , x không phụ thuộc tham số m Bài 4: Cho phương trình: x2 - (m - 1)x - m - = (1) a) Giải phương trình với m = -3 b) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm khơng phụ thuộc giá trị m DẠNG : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG GIỮA CÁC NGHIỆM Bài 5: Cho phương trình x  3x  0 Khơng giải phương trình, gọi x1 , x hai nghiệm phương trình Hãy tính giá trị biểu thức : A x12  5x1x  x 22 4x12 x  4x1x 22 Bài 6: Cho phương trình 2x  3x  0 Khơng giải phương trình, gọi x1 , x hai nghiệm phương trình Hãy tính giá trị biểu thức sau: A a) 1  x1 x 2 c) C x  x 2  x1  x B  x x2 b) D d) x1 x  x  x1  DẠNG 5: TÌM ĐIỀU KIỆN THAM SỐ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Bài 7: Cho phương trình x   m  3 x  m  0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x thỏa mãn (2x1  1)(2x  1) 9 Bài 8: Cho phương trình x   m  3 x  2(m  1) 0 2 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x cho biểu thức T x1  x đạt giá trị nhỏ Bài 9: Cho phương trình x  mx  0 x  x 4 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x cho biểu thức 2 Bài 10: Cho phương trình x  4x  m  0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x cho biểu thức x  5x1 Nhóm Chun Đề Tốn 6, 7,8,9: https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 1/ Nhóm Chun Đề Tốn 6,7,8,9 Tốn học đam mê 2 Bài 11: Cho phương tình x  2mx  m  0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân  1 biệt x1 , x thỏa mãn x1 x DẠNG 6: XÉT DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Bài 12: Cho phương trình: x   m  1  m  4m  0 a) Tìm m để phương trình cho có nghiệm b) Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm dấu c) Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm khác dấu d) Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm dương e) Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm âm Nhóm Chun Đề Tốn 6, 7,8,9: https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ (với m tham số) 1/ Nhóm Chun Đề Tốn 6,7,8,9 Toán học đam mê DẠNG 1: NHẨM NGHIỆM Bài 1: Tính nhẩm nghiệm phương trình sau: a)  4x  3x  0 b)   x   x  0 c) x  7x  10 0 Giải: a) Ta thấy a  b  c    0 Suy phương trình có hai nghiệm b) Ta thấy  x1 1; x   a  b  c 1    0 Suy phương trình có hai nghiệm x1  1; x   x1  x 7 2   x x 10 2.5    c) Ta có , theo hệ thức V-ét:  Suy phương trình có hai nghiệm x1 2; x 5 DẠNG 2: TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG Bài 2: Tìm hai số x y biết: a) x  y 29 x.y 198 b) x  y 5 x.y 9 2 c) x  y 13 x.y 6 d) x  y 7 x.y 120 Giải: a) Ta có: S2  4P 292  4.198 49  nên x, y nghiệm phương trình : X  29X  198 0 Giải ta có X1 11, X 18  x 11  x 18 ;  y  18   y 11 Vậy ta có hai số x, y 2 b) Ta có: S  4P 5  4.9  11  nên không tồn hai số x, y thỏa mãn  x  y c) Ta có:  x  y 5 x  y  2xy 13  2.6 25    x  y  +) Với x  y 5 ta có x, y hai nghiệm phương trình sau: Nhóm Chun Đề Tốn 6, 7,8,9: https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 1/ Nhóm Chun Đề Tốn 6,7,8,9 Tốn học đam mê  X 2 X  5X  0    X 3 +) Với x  y  ta có x, y hai nghiệm phương trình sau:  X  X  5X  0    X  Vậy (x; y)    2;3 ,  3;  ,   2;   ,   3;    d) Đặt t  y , ta có: x  t 7 x.t  120 S2  4P 7  4.(  120) 529  nên x, t nghiệm phương trình : X  7X  120 0 Giải ta có X1 15, X   x 15 x  x 15  x  ;   ;   y 8  y  15 Vậy ta có hai số x, t  t  t 15 DẠNG 3: TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA CÁC NGHIỆM KHÔNG PHỤ THUỘC THAM SỐ Bài 3: Cho phương trình x  mx  2m  0 Tìm hệ thức liên hệ nghiệm x1 , x không phụ thuộc tham số m Giải:  2 Xét  m  4(2 m  4) (m  4) 0 , phương trình ln có nghiệm (1)  x1  x m  x1.x 2m  (2)  *  Theo hệ thức Vi-ét :  Cách khử 1: Thế (1) vào (2), ta có hệ thức cần tìm x 1.x 2(x1  x )   2x1  2x 2m (*)    2x1  2x  x1.x 4 x1.x 2m   Cách khử 2: hệ thức cần tìm   m x1  x x1.x   (*)   x1.x   x1  x   m  Cách khử 3: Hay 2(x1  x ) x1.x  hệ thức cần tìm Bài 4: Cho phương trình: x2 - (m - 1)x - m - = (1) Nhóm Chun Đề Tốn 6, 7,8,9: https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 1/ Nhóm Chun Đề Tốn 6,7,8,9 Tốn học đam mê a) Giải phương trình với m = -3 b) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm khơng phụ thuộc giá trị m Giải: x =0  a) Với m = - ta có phương trình: x2 + 8x =  x (x + 8) =   x = - b) Phương trình (1) có nghiệm khi: ∆’ 0  (m - 1)2 + (m + 3) ≥  m2 - 2m + + m + ≥  m2 - m + >  (m  15 )  0 m Chứng tỏ phương trình có nghiệm phân biệt  m  x1 + x = 2(m - 1)  x -x =-m-3 Theo hệ thức Vi ét ta có:  (1) (2) Từ (2) ta có m = -x1x2 - vào (1) ta có: x1 + x2 = (- x1x2 - - 1) = - 2x1x2 -  x1 + x2 + 2x1x2 + = Đây hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc m DẠNG : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG GIỮA CÁC NGHIỆM Bài 5: Cho phương trình x  3x  0 Khơng giải phương trình, gọi x1 , x hai nghiệm phương trình Hãy tính giá trị biểu thức : A x12  5x1x  x 22 4x12 x  4x1x 22 Giải: Xét  9  4.1.1 5   phương trình có hai nghiệm phân biệt Theo hệ thức Vi-ét : S x1  x    P x1.x 1  x  x   3x1x A 4x1x  x1  x    3.1  4.1   3 Bài 6: Cho phương trình 2x  3x  0 Khơng giải phương trình, gọi x1 , x hai nghiệm phương trình Hãy tính giá trị biểu thức sau: Nhóm Chun Đề Tốn 6, 7,8,9: https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 1/ Nhóm Chun Đề Tốn 6,7,8,9 A a) 1  x1 x 2 c) C x  x Toán học đam mê  x1  x B  x x2 b) D 2 d) x1 x  x  x1  Giải: Ta có :  9  1  , phương trình có hai nghiệm phân biệt, x1 0 , x 0 Theo hệ   x1  x   x x 1 2 thức Vi-ét, ta có :  A a) 1 x1  x    : 3 x1 x x1 x 2  x 1  x x  x x  x1  x x B   x x x1 x 2 b) c) 2 C x  x  x1  x  D d)  x  x   2x1x  x1 x  2 1 2 2 1  3  2x1x    1  2 x1 x x  x1  x 22  x   x  x1  x1x  (x1  x ) 1   x  x  2x x  x  x   2 4 2 2 11 : 11  13 x1 x   x1  x   12  1 2 DẠNG 5: TÌM ĐIỀU KIỆN THAM SỐ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Bài 7: Cho phương trình x   m  3 x  m  0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x thỏa mãn (2x1  1)(2x  1) 9 Giải: Có  '    m  3    m  3  m    m  6m  Nhóm Chun Đề Tốn 6, 7,8,9: https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 1/ Nhóm Chun Đề Tốn 6,7,8,9 Tốn học đam mê Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x  '   6m    m   Theo định lí Vi ét, ta có: x1  x  b c 2(m  3); x1.x  m  a a Ta có: (2x1  1)(2x  1) 9  4x1x  2(x1  x ) 1 9 (*)  4(m  3)  4(m  3)  9  (2m  1) 9  2m  3   2m    m = -1 ( loại) , m = ( thỏa mãn) Vậy m = giá trị cần tìm Bài 8: Cho phương trình x   m  3 x  2(m  1) 0 2 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x cho biểu thức T x1  x đạt giá trị nhỏ Giải: 2  '    m  3      m  1   m    2m  Có  ' m  4m   m     0m Do phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x Theo định lí Vi ét, ta có: x1  x  b c 2(m  3); x1.x    m  1 a a Ta có: T x12  x 22  x1  x   2x1x 2 T    m  3      m  1  T 4m  20m  32  2m    7  MinT 7 Vậy m m 5 giá trị cần tìm Bài 9: Cho phương trình x  mx  0 Nhóm Chun Đề Tốn 6, 7,8,9: https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 1/ Nhóm Chun Đề Tốn 6,7,8,9 Tốn học đam mê x  x 4 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x cho biểu thức Giải: Có a.c   0m nên a c trái dấu Do phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x x1  x  Theo định lí Vi ét, ta có: b c  m; x1.x   a a Ta có: x x x  x2  x2  x2 Do đó:    2 2  x1  x  x1x x12  x 22  2x1x  2x1x  x1x 2  x1  x   2x1x  x1x 2  m   2.( 3)   m  12 x1  x 4  m  12 16  m 2 Vậy m 2 giá trị cần tìm 2 Bài 10: Cho phương trình x  4x  m  0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x cho biểu thức x  5x1 Giải: Có        m  1 m   0m Do phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x Theo định lí Vi ét, ta có: x1  x  b c 4, x1.x   m  a a  x  5x1   5x1  x1 4  x1   x 5  x1  x 4  Giải hệ c x1.x   m  x  1; x  a Thay vào , ta m 4  m 2 Vậy m 2 giá trị cần tìm 2 Bài 11: Cho phương tình x  2mx  m  0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân  1 x , x x x 2 biệt thỏa mãn Nhóm Chuyên Đề Tốn 6, 7,8,9: https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 1/ Nhóm Chun Đề Tốn 6,7,8,9 Tốn học đam mê Giải: Có  '   m    m   m  m  4  0, m Do phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x m 2 Điều kiện: x1 0, x 0  m 2 0  m 2  1 x  m  2, x  m  x x2 Trường hợp 1: Xét thay vào ta được: m   3 m  2 4m   1  1  1 m2 m m 4  m  2  m  2  4m  m   m  4m  0  m  4m   12 0   m   12  m  2  m 2 2 (thỏa mãn)  1 x  m  2, x  m  x x2 Trường hợp 2: Xét thay vào ta được: m   3 m  2 4m   1  1  1 m m 2 m 4  m  2  m  2  4m  m   m  4m 0  m 0; m 4 (thỏa mãn) Vậy  m  0; 4; 2  giá trị cần tìm DẠNG 6: XÉT DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Bài 12: Cho phương trình: x   m  1  m  4m  0 a) Tìm m để phương trình cho có nghiệm b) Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm dấu c) Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm khác dấu d) Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm dương e) Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm âm Giải:  '  m  1  (m  4m  3) 6m  S 2(m  1) ; P m  4m  Nhóm Chuyên Đề Toán 6, 7,8,9: https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ (với m tham số) 1/ Nhóm Chun Đề Tốn 6,7,8,9 Tốn học đam mê a) Để phương trình cho có nghiệm thì:  ' 0   m  1  (m  4m  3) 0  6m  0  m  Vậy m phương trình cho có nghiệm a) Phương trình cho có hai nghiệm dấu khi:  '    P0   m  1   m  4m    m    m 3  m  4m    m   m  Vậy m > phương trình có hai nghiệm dấu c) Phương trình có hai nghiệm khác dấu khi: P <  m - 4m+3 <  < m < Vậy < m < phương trình có hai nghiệm khác dấu d) Phương trình cho có hai nghiệm dương khi:  '   P0  S 0  6m     m  4m     2(m  1)    m   m   m   m    m   Vậy m > phương trình cho có hai nghiệm dương e) Phương trình cho có hai nghiệm âm khi:  m     '  6m       P   m  4m    m   m   m  S0 2(m  1)  m       Vậy khơng tìm giá trị m để phương trình cho có hai nghiệm âm Nhóm Chuyên Đề Toán 6, 7,8,9: https://www.facebook.com/groups/232252187522000/