Bài GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Quy tắc cộng đại số Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương, bao gồm hai bước sau: Bước Cộng hay trừ vế hai phương trình hệ phương trình cho để phương trình mới; Bước Dùng phương trình thay cho hai phương trình ta hệ tương đương với hệ cho Các bước giải Bước Biến đổi để hệ số ẩn có giá trị tuyệt đối nhau; Bước Cộng trừ vế với vế hai phương trình để khử ẩn; Bước Giải phương trình tìm giá trị ẩn lại; Bước Thay giá trị vừa tìm vào hai phương trình ban đầu để tìm giá trị cịn lại; Bước Kết luận nghiệm hệ phương trình B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số Thực theo bước nêu phần kiến thức trọng tâm Ví dụ Giải hệ phương trình sau x y 2 a) 8 x y 5; 5x y 19 x y 21; b) x 2 y 3 3 x y 1; c) 1, x 1,5 y 3 d) 2,8 x 3,5 y x 1 ĐS: y x 9 ĐS: y 10 x 21 y 4 ĐS: 25 x 28 y 9 ĐS: x my 0 Ví dụ Cho hệ phương trình sau: mx y m Giải hệ phương trình với a) m 2 ; x 2 ĐS: y 1 b) m 1 ; ĐS: vô nghiệm c) m ĐS: vô số nghiệm Dạng 2: Giải hệ phương trình quy hệ phương trình bậc hai ẩn Bước 1: Biến đổi hệ phương trình cho phương trình bậc hai ẩn Bước 2: Giải hệ phương trình bậc hai ẩn vừa tìm phương pháp cộng đại số Ví dụ Giải hệ phương trình sau: (3 x 2)(2 y 3) 6 xy a) (4 x 5)( y 5) 4 xy; 2( x y ) 3( x y ) 4 b) ( x y ) 2( x y ) 5; x ĐS: y x y ĐS: 13 (2 x 3)(2 y 4) 4 x( y 3) 54 c) ( x 1)(3 y 3) 3 y( x 1) 12; x 3 ĐS: y y 27 y 5x x x 1 y y 5x d) x ĐS: y 5 Dạng 3: Giải phương trình phương pháp đặt ẩn phụ Bước 1: Đặt ẩn phụ cho biểu thức hệ phương trình cho để hệ phương trình bậc hai ẩn dạng Tìm điều kiện ẩn phụ (nếu có) Bước 2: Giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp cộng đại số Bước 3: Từ giá trị ẩn phụ nhận được, giải tìm ẩn hệ ban đầu Bước 4: Kiểm tra điều kiện (nếu có) kết luận nghiệm Ví dụ Giải hệ phương trình sau: 1 1 x y 12 15 1; a) x y x 28 ĐS: y 21 x y y x 3 1; b) x y y x x y 1 ĐS: x y 6 13 ; x y 6 c) x 16 ĐS: y 30 2( x x) y 0 3( x x) y d) x 1 ĐS: y 3 Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước ìï ax + by = c ï í ¢ ¢ ïï a x + bc = c¢ ( x ;y ) ï î Hệ phương trình bậc hai ẩn nhận cặp số 0 làm nghiệm ìï ax + by = c ï í ¢ ¢ ï a x + by0 = c v ch ùùợ M ( x0;y0 ) Û ax0 + by0 = c Đường thẳng (d) : ax + by = c qua điểm ax y b 1; Ví dụ Xác định a, b để hệ phương trình bx ay 1 có nghiệm ĐS: a 2, b 2 Ví dụ Xác định a, b để đường thẳng (d ) : y 2ax 3b đường thẳng (d ) : bx 2ay 3 qua điểm A( 1; 2) ĐS: a , b 10 Ví dụ Xác định a, b để đường thẳng ( d ) : y (a 2b) x b qua hai điểm A(2; 5), B( 3; 2) ĐS: a 29 11 , b 5 Ví dụ Hãy xác định hàm số bậc thỏa mãn điều kiện sau: a) Đồ thị hàm số qua hai điểm A(5; 4), B (2; 1) ; C ; ; , D 3 b) Đồ thị hàm số qua hai điểm ĐS: y x 2 ; ĐS: y 3 2 x c) Đồ thị hàm số qua điểm E (3; 1) cắt đường thẳng (d ) : y 2 x điểm có hồnh độ ĐS: y x 4 Ví dụ Với giá trị m đường thẳng ( d ) : (m 2) x y m qua giao điểm hai đường thẳng ( d1 ) : x y 0 ( d ) : x y 5 ĐS: m Ví dụ 10 Với giá trị m ba đường thẳng ( d1 ) : x y 4 , (d ) : x (m 1) y m ( d3 ) : x y 3 đồng quy ĐS: m Ví dụ 11 Xác định m để đường thẳng ( d ) : y 2 x đường thẳng (d ) : x (2m 3) y 0 cắt điểm a) Nằm trục hoành; b) Nằm trục tung; c) Thuộc góc phần tư thứ nhất; d) Nằm đường thẳng ( d1 ) : x y 0 ĐS: m ĐS: ĐS: ĐS: m m m Ví dụ 12 Tìm giao điểm hai đường thẳng (d ) : ay bx đường thẳng ( d ) : x (2b 1) y a 0 biết d qua điểm A(2; 1) ( d ) qua điểm B (1; 2) ĐS: M (11; 4) C BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Giải hệ phương trình sau: 3x y 4 a) x y 5; 2x 3y 12 4x y ; b) 10 x 3y x y 3; c) x 2 ĐS: y 1 x 1 ĐS: y x y 15 3 ĐS: 2,1x 1, y 3,5 d) 4,5 x 2, 25 y 2, 43 x 15 y 34 ĐS: mx y 3m Bài Cho hệ phương trình sau x my m Giải hệ phương trình với x 5 ĐS: y 3 a) m ; b) m 1 ; ĐS: vô số nghiệm c) m ĐS: vô nghiệm Bài Giải hệ phương trình sau 2( x y ) 3( x y ) 9 a) 5( x y ) 7( x y ) 8; ( x y )( x 1) ( x y )( x 1) 2( xy 1) b) ( y x )( y 1) ( y x )( y 2) xy x 2 ĐS: y 1 x y ĐS: Bài Giải hệ phương trình sau x a) x 1 y1 2; y1 19 x y 8 ĐS: 2x x 1 x b) x y 3 y 1 3y 1; y 1 x y ĐS: x c) x y 2 x y 4; y 2 x y 3 x y 4 x y 5 d) x 1 ĐS: y 2 x 5 ĐS: y 2 2mx (n 2) y 9 Bài Cho hệ phương trình (m 3) x 2ny 5 Tìm giá trị m, n để hệ có nghiệm (3; 1) ĐS: m 2, n 5 Bài Xác định m, n để đường thẳng (d ) : 3nx my đường thẳng ( d ) : mx y 16n qua điểm A(2;5) ĐS: m 3, n 1 Bài Xác định m, n để đường thẳng (d ) : mx (m 2n) y 0 qua hai điểm A(1; 1), B( 2;3) ĐS: m 8, n 1 Bài Hãy xác định hàm số bậc thỏa mãn điều kiện sau a) Đồ thị hàm số qua hai điểm A(1; 3), B (2;3) ; b) Đồ thị hàm số qua hai điểm C 1 2; ĐS: y 6 x D ; 1; ĐS: y 3 x 2 c) Đồ thị hàm số qua điểm E (1;3) cắt đường thẳng ( d ) : y 2 x điểm có hồnh độ ĐS: y x 2 Bài Với giá trị m đường thẳng (d ) : 2mx ( m 1) y 3 qua giao điểm hai đường thẳng ( d1 ) : x y 0 ( d ) : 3x y ĐS: m Bài 10 Tìm m để ba đường thẳng ( d1 ) : x y 5, (d ) : x y 5, (d ) : y (2m 3) x đồng 21 m 10 ĐS: quy Bài 11 Xác định m để đường thẳng (d ) : y 2mx m đường thẳng (d ) : 3x y 0 cắt điểm: ĐS: m a) Nằm trục hoành; ĐS: m 3 b) Nằm trục tung; c) Thuộc góc phần tư thứ ba; d) Nằm đường thẳng ( d1 ) : y x ĐS: m m ĐS: m 0 Bài 12 Tìm giao điểm hai đường thẳng ( d ) : y ax a b đường ( d ) : ax (3b 1) y 10 , biết (d ) qua điểm A( 3;5) ( d ) qua điểm B (2; 1) thẳng 9 M ; 13 13 ĐS: D BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 13 Giải hệ phương trình sau x y 2 a) x y 1; x 10 y 3 ĐS: 2 x y 3 x y 2; b) x 0 ĐS: y x y 1 x y 1; c) 7,5 x 3, y 1, d) x 0,9 y x 1 y 2 ĐS: 108 x y 134 ĐS: mx y 2m Bài 14 Cho hệ phương trình sau: 4 x my m Giải hệ phương trình với a) m 1 ; x y ĐS: b) m 2 ; ĐS: vô nghiệm c) m ĐS: vô số nghiệm Bài 15 Giải hệ phương trình sau phương pháp cộng đại số 1 ( x 2)( y 3) xy 50 xy ( x 2)( y 2) 32; a) x 26 ĐS: y 8 ( x 20)( y 1) xy b) ( x 10)( y 1) xy; x 40 ĐS: y 3 2( x y ) 3( x y ) 5 c) 4( x y ) ( x y ) 3; x 0 ĐS: y 1 10 y x y 5x 2 15 10 2x y y 2x 20 d) x 4 ĐS: y Bài 16 Giải hệ phương trình sau: 1 x y 1 5; a) x y x y 2 ĐS: x y x y 3 3 ; b) x y x y x 1 ĐS: y 2 3 x y 16 x y 11; c) d) x 4 ĐS: y 25 2 x y 13 2 3 x y ĐS: S ( 2;3), ( 2; 3), (2; 3), (2;3) 3ax by 2 Bài 17 Xác định a, b để hệ phương trình (a b) x ay b có nghiệm (3; 1) 1 a , b 4 ĐS: Bài 18 Xác định a, b để đường thẳng ( d ) : y (2a 3b) x 3a ( d ) : x 2(a b) y 0 qua điểm A(1;3) đường thẳng a ,b ĐS: Bài 19 Xác định a, b để đường thẳng (d ) : y 2ax 2b qua hai điểm A(1;3), B ( 2;5) ĐS: a ,b 3 Bài 20 Hãy xác định hàm số bậc thỏa mãn điều kiện sau: a) Đồ thị hàm số qua hai điểm A(2;1), B(1; 2) ; ĐS: y x b) Đồ thị hàm số qua hai điểm C 2; , D 5; ; ĐS: y x c) Đồ thị hàm số qua điểm E (3; 2) cắt đường thẳng ( d ) : y x điểm có hồnh độ ĐS: y 2 x 11 (d1 ) : y x (d2 ) : y x 2 , 5 Bài 21 Xác định giá trị m để đường thẳng sau đồng quy: ( d3 ) : mx y m ĐS: m Bài 22 Xác định m để đường thẳng ( d ) : y (m 3) x đường thẳng ( d ) : x y 0 cắt điểm: a) Nằm trục hoành; ĐS: m b) Nằm trục tung; ĐS: m c) Thuộc góc phần tư thứ nhất; ĐS: d) Nằm đường thẳng (d1 ) : y x m1 ĐS: m Bài 23 Tìm giao điểm hai đường thẳng ( d ) : y (2a 5) x b đường thẳng ( d ) : ax by 0 biết d qua điểm A(1; 2) ( d ) qua điểm B ( 2;3) ĐS: M ( 1;0) - HẾT -