D02 phương pháp đổi biến số muc do 4

Câu [DS10.C4.2.E02.d] Cho a , b , c  ab  bc  ca 1 Chứng minh rằng: 2a 2b 2c 1      2 2 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 Lời giải A B C a tan b  tan c  tan 2; 2; A , B , C ba góc tam Từ điều kiện đầu ta đặt giác từ: 2a 2b 2c 1      a 1 b 1 c 1 a2 1 b2  c2  A B C  sin A  sin B  sin C cos  cos  cos  * 2 Mặt khác ta có AB A B A B C sin A  sin B 2sin cos 2 sin 2 cos 2 2 AC A C AC B sin A  sin C 2sin cos 2 sin 2 cos 2 2 CB C B CB A sin C  sin B 2sin cos 2 sin 2 cos 2 2  * Cộng bđt lại ta cm 3 Câu [DS10.C4.2.E02.d] Cho ba số thực a, b, c thoả mãn a  b  c 3abc  32 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a  b  c   a  b  b  c  c  a  Lời giải Ta có a  b3  c 3abc  32   a  b  c   a  b  c  ab  bc  ca  32  *  * suy t a  b  c  Đặt t a  b  c , từ  *   a  b  c    a  b  c    a  b  c    a  b2  c2   64   a  b  c a b c  64  64   t2 t Ta chứng minh 2 a  b  b  c  c  a    a  b    b  c    c  a    **   Thật vậy, vai trị a, b, c bình đẳng nên khơng giảm tổng quát giả sử a b c , a  b  b  c  c  a  a  b    b  c    a  c  2  a  c  Ta có  **   a  c   2 2   a  b   b  c   c  a      a  c   a  b    b  c  2   a  b  b  c   a  b    b  c    a  b   b  c  0 Điều với a b c Vì 2 a  b  b  c  c  a    a  b   b  c   c  a     a  b  b  c  c  a   a  b  c  2ab  2bc  2ca  2 32  a bc t Ta có 3P 3  a  b  c   a  b  b  c  c  a  64  64   64 8 3P   t  8   t t  8 2.2 t t 128 t t  t  t t t  128  P 128 Vậy giá trị nhỏ biểu thức P Đạt a 44 4 2 , b c  3 hoán vị a, b, c