Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 21 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT A Lũy thừa – Hàm số lũy thừa Biến đổi lũy thừa – Tính chất lũy thừa: Cho a, b x, y Khi ta có: ax a x y y a x y x y +) a a a x ax a y a x a x y a x b x a.b b x b +) ; x – Lũy thừa với số mũ nguyên: a 0, n * : a n – Lũy thừa với số mũ hữu tỉ (Đổi số mũ): – Tính chất bậc n +) 2n an a 0, m , n , n 2, a n a , a , n * * 2n 2n 2n +) a.b a b , a, b 0, n n +) m a a n m +) +) , a 0, m , n n 1 a n 1 a, a , n * n 1 a.b 2 n 1 a n1 b , a, b , n * 2n * +) m m : n a m a n n a 2n a , a 0, b 0, n * b 2n b n 1 n 1 +) a a n 1 , a, b 0, n * b b +) n m a m.n a , a 0, m * , n * p q * n p m q +) Nếu n m a a , a 0; m, n ; p, q So sánh biểu thức lũy thừa a 1: a x a y x y 0 a 1: a x a y x y a m b m m 0 a b : m m a b m f x a * a a 0 XĐ y f x f x 0 a 0, n f x a Tập xác định hàm số lũy thừa: y x a y a.x a y u a y a.u a 1.u Đạo hàm hàm số lũy thừa: Khảo sát hàm số lũy thừa a 0; – Hàm số y x có tập xác định ln chứa khoảng với a y x a , a y x a , a Tập khảo sát D 0; D 0; Đạo hàm y a.x a 0, x y a.x a 0, x Tính đơn điệu Giới hạn Đường tiệm cận a Hàm số y x , a đồng biến D lim x a 0 x ; lim x a x Khơng có Trang 81 a Hàm số y x , a nghịch biến D lim x a lim x a 0 x ; x Ox : y 0 tiệm cận ngang Oy : x 0 x Bảng biến thiên y y – Đồ thị hàm số y x x tiệm cận đứng y y 0 a B Công thức logarit Công thức logarit: Cho số a, b 0, a 1 m, n Ta có: log a 0 lg b log b log10 b log a a 1 log am b log a b m log a b n n log a b log a (bc) log a b log a c b log a log a b log a c c b 1 log a b.log b c log a c , log a c log b c b 1 log a b , ln e 1 log10 lg10 1 log a b a b ln b log e b log a a n n n log am b n log a b m log a b log b a , b 1 a log a b b logb c c logb a a log 21n b log a2 b a b b * Bổ sung: Nếu a có n chữ số n log a C Hàm số mũ, hàm số logarit Dạng Tìm tập xác định – Hàm số mũ: x +) Hàm số dạng y a có tập xác định D f x f x +) Hàm số dạng y a xác định xác định y log a f x f x 0 – Hàm số logarit với a 1 xác định Dạng Đạo hàm Hàm số mũ y a x y a u Đạo hàm y a x ln a Hàm số logarit y log a x y log a u y a u ln a.u Trang 82 Đạo hàm y x ln a u y u ln a y e x y eu y e x y ln x y eu u y ln u x u y u y Dạng Khảo sát hàm số mũ x – Tính đơn điệu hàm số y a : x +) Với a hàm số y a đồng biến x +) Với a hàm số y a nghịch biến – Đồ thị hàm số mũ y y = bx y = cx y = ax y = dx x O y a x x y b x y c x +) Do đồ thị y d a 1 b 1 c 1 d 1 +) Xét nửa mặt phẳng bờ Oy , ta đứng cao bắn mũi tên từ trái qua phải: x Do trúng đồ thị y a trước nên a b x Do trúng đồ thị y c trước nên c d Do b a d c Dạng Khảo sát hàm số logarit – Tính đơn điệu hàm số y log a x : 0; +) Với a hàm số y log a x đồng biến 0; +) Với a hàm số y log a x nghịch biến – Đồ thị hàm số logarit y y = logb x y = logc x y = logd x y = loga x x O Trang 83 y log a x y log b x y log c x y log d x +) Do đồ thị a 1 b 1 c 1 d 1 +) So sánh a với b: Đứng cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng logb x trước: b a +) So sánh c với d: Đứng cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng log d x trước: d c Do a b c d D Phương trình mũ, phương trình logarit Dạng Phương trình mũ a x b x log a b a 1; b Dạng 1.1 Phương pháp đưa số.ơ số f x g x a a f x g x a 0, a – Nếu a 1 f x g x a a f x g x 0 a 1 – Nếu a chứa ẩn f x g x f x g x log a b f x log a b.g x (logarit hóa) b log a a – Phương trình a Dạng 1.2 Phương pháp đặt ẩn phụ – Loại 1: – Loại 2: P a f x 0 PP A.a – Loại 3: f x A.a a t b – Loại 4: a B a.b f x đặt t a f x B a b C b f x f x f x , t 0 a t f x PP 0 , đặt b Chia hai vế cho b B a.b f x D.b f x 0 PP f x Chia hai vế cho b 0 f x , đặt f x f x b f x PP c với a.b 1 đặt t a f x b f x t a f x a g x g x u a f x a f x a f x a b 0 g x g x PP a đặt v a – Loại 5: Dạng 1.3 Phương pháp logarit hóa 0 a 1, b a f x b f x log a b – Loại 1: Phương trình: – Loại 2: Phương trình: f x g x f x f x a b log a a log a b f x g x log a b +) f x g x log b a log b b f x log b a g x +) Dạng 1.4: Phương pháp hàm số, đánh giá Thông thường ta vận dụng nội dung định lý (và kết quả) sau: y f x f x 0 – Nếu hàm số đơn điệu chiều D khơng q nghiệm D Để vận dụng định lý này, ta cần nhẩm nghiệm x x0 phương trình, rõ hàm đơn điệu chiều D (luôn đồng biến nghịch biến D) kết luận x x0 nghiệm Trang 84 f t a; b u ; v a; b – Hàm số đơn điệu chiều khoảng tồn thì: f u f v u v +) f t k k const a; b +) Phương trình có nhiều nghiệm khoảng lim f t lim f t f t k k const a; b x b +) Phương trình có nghiệm x a Để áp dụng định lý này, ta cần xây dựng hàm đặc trưng f t Dạng Phương trình logarit Dạng 2.1 Phương pháp đưa số.ơ a 0, a 1: log a x b x a b – Nếu a 0, a 1: log a f x log a g x f x g x – Nếu g x a 0, a 1: log a f x g x f x a – Nếu (mũ hóa) Dạng 2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ P log a f x 0 PP t log a f x – Loại đặt logb c logb a logb c c t c logb a – Loại Sử dụng công thức a để đặt t a Dạng 2.3 Phương pháp mũ hóa g x a 0, a 1: log a f x g x f x a Nếu (mũ hóa) Dạng 2.4 Phương pháp hàm số, đánh giá Thông thường ta vận dụng nội dung định lý (và kết quả) sau: y f x f x 0 – Nếu hàm số đơn điệu chiều D khơng q nghiệm D Để vận dụng định lý này, ta cần nhẩm nghiệm x x0 phương trình, rõ hàm đơn điệu chiều D (luôn đồng biến nghịch biến D) kết luận x x0 nghiệm f t a; b u ; v a; b f u f v u v – Hàm số đơn điệu chiều khoảng tồn Để áp dụng định lý này, ta cần xây dựng hàm đặc trưng f t E Biến đổi đồ thị x – Đồ thị hàm số y a đối xứng với đồ thị hàm số y log a x qua đường thẳng y x y log x y log x a a – Đồ thị hàm số đối xứng với đồ thị hàm số qua trục Ox : y 0 x x – Đồ thị hàm số y a đối xứng với đồ thị hàm số y a qua trục Oy : x 0 F Bất phương trình mũ, bất phương trình logarit Dạng Bất phương trình logarit log g x log a f x log a g x f x a a f x g x – Nếu a log a g x log a f x log a g x f x a f x g x – Nếu a log a B a 1 B 1 log a A A 1 B 1 log a B – Nếu a chứa ẩn Dạng Bất phương trình mũ a – Nếu a f x a f x g x f x g x g x a a f x g x – Nếu a f x g x a a a 1 f x g x – Nếu a chứa ẩn G Bài tốn thực tế Trang 85 Cơng thức tính lãi đơn Cơng thức tính lãi kép Lãi kép liên tục (bài tốn tăng dân số) Gửi thêm tiền vào hàng tháng Gửi tiền vào ngân hàng rút hàng tháng số tiền cố định Vay vốn trả góp (tương tự tốn 4) BÀI TỐN NGÂN HÀNG Nếu ta gửi tiền vào ngân hàng theo hình thức tiền lãi tính dựa vào tiền gốc ban đầu (tức tiền lãi kỳ hạn trước không gộp vào vốn để tính lãi cho kỳ hạn kế tiếp), gọi hình thức lãi đơn Ta có: A: tiền gửi ban đầu r: lãi suất T A nr n: kỳ hạn gửi T: tổng số tiền nhận sau kỳ hạn n Lưu ý: r n phải khớp đơn vị T bao gồm A, muốn tính số tiền lời ta lấy T A Nếu ta gửi tiền vào ngân hàng theo hình thức: hàng tháng tiền lãi phát sinh cộng vào tiền gốc cũ để tạo tiền gốc tính tiếp thế, gọi hình thức lãi kép Ta có: A: tiền gửi ban đầu n r: lãi suất T A1 r n: kỳ hạn gửi T: tổng số tiền nhận sau kỳ hạn n Nếu ta gửi tiền vào ngân hàng số tiền A đồng, theo thể thức lãi kép liên tục, r%/năm Sau n năm số tiền ta nhận vốn lẫn lãi là: T Ae nr Nếu khách hàng gửi ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r%/tháng theo hình thức lãi kép Sau đó, kể từ tháng thứ hai trở tháng khách hàng gửi thêm với số tiền B đồng Hỏi sau n tháng số tiền khách hàng nhận gốc lẫn lãi là: n r 1 A n T A r B r T r 1 r BA r r Nếu khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r%/tháng Vào ngày ngân hàng tính lãi tháng rút X đồng Số tiền thu sau n tháng là: n n T A1 r 1 r X n 1 r Nếu khách hàng vay ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r%/tháng Sau tháng kể từ ngày vay bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ cách tháng, lần hoàn nợ số tiền X đồng Số tiền khách hàng nợ sau n tháng là: n T A1 r 1 r X n 1 r Một người lãnh lương khởi điểm A đồng/tháng Cứ sau n tháng lương người tăng n.k tháng là: Bài tốn r%/tháng Số tiền người lĩnh sau k tăng lương 1 r T Ak r Trang 86 CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG A Nguyên hàm Dạng Nguyên hàm có điều kiện Bảng nguyên hàm số hàm thường gặp (với C số tùy ý) k dx kx C 0dx C n x dx x n 1 C n 1 (ax b) n 1 C a n 1 1 ax b dx a ln ax b C 1 ax b dx ln C ad bc cx d ax b cx d 1 (ax b) dx a 1 ax b C n (ax b) dx x dx ln x C x C x dx sin xdx cos x C sin x dx cot x C cos2 x dx tan x C C a x x dx x arctan C x a a dx ax a x 2a ln a x C dx 2 x a ln x x a C dx x a x arcsin a C x x dx x arccos C a a x a 2 dx x a sin a dx ln a C a cot(ax b)dx a ln sin ax b C cot xdx ln sin x C x tan(ax b)dx a ln cos ax b C tan xdx ln cos x C x cos(ax b)dx a sin(ax b) C cosxdx sin x C e dx e sin(ax b)dx a cos(ax b) C a x2 a2 ln C a x x x x x arcsin a dx x arcsin a arccos a dx x arccos a a2 x2 C a2 x2 C dx cot(ax b) C (ax b) a dx cos2 (ax b) a tan(ax b) C ax b ax b e dx a e C a x x a dx ln a C b ln ax b dx x a ln ax b x C a2 x x a2 x2 arcsin C a x a 2 2 x a dx x a ln x x a C dx ax b sin ax b a ln tan C a x dx e ax e ax sin bxdx e ax a cos bx b sin bx cos bxdx a b2 e ax a sin bx b cos bx C C a b2 x x a 2 arctan a dx x arctan a ln a x C x x a 2 arccot a dx x arccot a ln a x C Trang 87 Bổ sung ax b – Nhận xét: Khi thay x lấy nguyên hàm nhân kết thêm a – Một số nguyên tắc tính (nên nhớ): k f x dx k f x dx +) cos x +) Nguyên hàm lượng giác bản: theo hình bên Khai triển +) Tích đa thức, lũy thừa, hàm mũ sin x cos x sin a 1 cos a cos 2a Hạ bậc: +) Bậc chẵn sin cos Dạng Tìm nguyên hàm phương pháp biến đổi số – Nếu – f x dx F x C Tìm sin x f u x u x dx f u x d u x F u x C họ nguyên I hàm với I f x dx t u x dt u x dx I g t dt G t C G u x C f x g u x u x n : dx d x n – Với Đổi biến số với số hàm thường gặp n f ax b xdx t ax b n f ( x) f x dx t n f x f x dx t n n 1 f ln x x dx t ln x f sin x cos xdx t sin x f tan x cos x dx t tan x x a sin t a x x n dx x a cos t dx a bx n n a bx n x t f n ax b ax b dx t n cx d cx d f x a a x sin t x n dx x a cos t s s n R ax b ,., k ax b dx t ax b f e e dx t e f x; x dx t x x x x f cos x sin xdx t cos x f cot x sin f x2 a2 x m dx t cot x 2n x dx x a tan t x cot t a x f a x dx x a cos 2t dx ax b n x x t ax b f sin x cos x sin x cos x dx t sin x cos x f sin x cos x sin x cos x dx t sin x cos x dx ax b cx d t ax b cx d Dạng Nguyên hàm hàm số hữu tỉ P( x) I dx Q ( x ) Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân hàm số hữu tỉ PP deg P x deg Q x Q x – Nếu mà phân tích thành tích số đồng thức để đưa thành tổng phân số Trang 88 +) ax m bx n +) x a x b a b an bm ax m bx n A B C D x a x a x b x b A B x Ab Ba A B m mx n A B x a x b x a x b x a x b Ab Ba n +) X a A mx n A B CASIO A ln x a B ln x C CALC d X b B x a x b x X x a x b dx A Bx C x m ax bx c x m ax bx c với b 4ac +) deg P x deg Q x Q x – Nếu mà khơng phân tích thành tích số, ta xét số trường hợp thường gặp sau: dx I1 , n * x a.tan t 2 n x a +) dx I a 0 ax bx c +) Xét b 4ac : : I dx b a x 2a 4a tan t 1 t 4a dt C a a tan t 4a a x b tan t dx tan t dt 2a 4a 4a dx 0 : I C a x x0 a x x0 dx 1 x x1 : I ln C a x x1 x x2 a x1 x2 x x1 x x2 a x1 x2 x x2 px q p 2ax b dx b p dx I dx, b 4ac q ax bx c 2a ax 2a ax c bx c bx A +) giải A cách đặt t mẫu số deg P x deg Q x PP chia đa thức – Nếu P x P x A B C R x Q x x x1 x x2 x x3 x x1 x x2 x x3 +) Trang 89 I2 P x d A dx x x2 x x3 x x1 P x d B dx x x1 x x3 x x2 CASIO P x d C dx x x1 x x2 x x3 P x d A B C R x d x x x x x x x x x x x x x 3 x 100 R x Và sử dụng bách phân để tìm Phương pháp tính ngun hàm, tích phân hàm số vơ tỉ I x m a bx n p dx a) Tích phân dạng với a , b m , n, q N – Nếu p ta đặt t x , N mẫu số chung m n m 1 n N – Nếu n ta đặt a bx t , N mẫu số p m 1 p n N – Nếu n ta đặt a bx t , N mẫu số p ax b I f x , m dx cx d b) Tích phân dạng a , b, c , d ; ad bc 0 m ax b ax b b dt m t m tm x m cx d cx d ct a Đặt Dạng Nguyên hàm phần udv uv vdu a; b a; b – Cho hai hàm số u v liên tục có đạo hàm liên tục Khi đó: I f x g x dx – Tính Vi phân u f x du f x dx hàm dv g x dx Nguyên v G x +) Chọn I f x g x dx f x G x G x f x dx +) Theo quy tắc “xuống dốc lên đỉnh” ta có: – Ta dùng phương pháp múa cột cộng trừ đan dấu để xử lí tốn ngun hàm phần – Thứ tự ưu tiên chọn u là: "log – đa – lượng – mũ" dv phần lại u P x sin x sin x d v I P x d x cos x dx cos x , P x đa thức +) u P x ax b ax b I P x e dx dv e dx , P x đa thức +) u ln mx n I P x ln mx n dx dv P x dx , P x đa thức +) Trang 90 +) sin x u cos x sin x x I x e dx dv e dx cos x hàm mu (lượng giác)dx – Chú ý: tích phân phần luân hồi f x , f x , f x Dạng Nguyên hàm hàm ẩn liên quan đến phương trình h x u x f x u x f x u x f x u x f x h x dx h x f x f x e x h x e x f x e x f x e x h x e x f x e x f x e x h x dx f ( x) f ( x) p ( x ) 0 p ( x) f ( x) f ( x) f ( x) p( x ) f ( x ) 0 f ( x ) f ( x) dx p( x)dx ln f ( x) p( x)dx h x f x f x e x h x e x f x e x f x e x h x e x f x e x f x e x h x dx f ( x) f ( x) f ( x ) n f ( x) p( x) [ f ( x)] 0 p( x) 0 p( x) dx p( x)dx n n [ f ( x)] [ f ( x)] [ f ( x)]n [ f ( x)] n 1 p ( x)dx n 1 p ( x ) dx f ( x) p ( x ) f ( x ) h( x ) f ( x ) e p ( x ) dx p ( x) e p ( x ) dx f ( x ) h( x ) e p ( x ) dx p ( x ) dx f ( x) e p ( x ) dx e p ( x ) dx h( x)dx f ( x) e h ( x ) e B Tích phân Dạng Sử dụng tính chất, bảng nguyên hàm để tính tích phân 1.Định nghĩa y f x F x – Cho hàm số liên tục K Với a, b hai phần tử thuộc K nguyên f x F b F a f x hàm K hiệu số gọi tích phân của từ a đến b kí hiệu b b b f x dx F x a F b F a a Trong a dấu tích phân với a cận b cận Các tính chất tích phân: a b f x dx 0 f x dx f y dy f t dt a a b f x dx f x dx b a a b c b a b f x dx f x dx f x dx a b b a b a c b b b k f x dx k.f x dx, k f x g x dx f x dx g x dx a a a a f x dx 2f x dx a a f x b a a a x 1 với f x hàm số chẵn a dx f x dx với f x hàm số chẵn f x dx 0 a a với f x a hàm số lẻ f sin x dx f cos x dx Trang 91 b x a; b : f x g x b f x dx g x dx a b b x a; b : f x g x a f x dx g x dx a b a b x a; b m b a f x dx M b a , m f ( x) M a f x dx f x dx a b a Dạng Tích phân đổi biến b f x u x dx F u x – Tích phân đổi biến: – Các bước tính tích phân đổi biến số a b a F u b F u a t u x dt u x dx +) Bước Biến đổi để chọn phép đặt x b t u b x a t u a +) Bước Đổi cận: (nhớ: đổi biến phải đổi cận) u b I f t dt u a +) Bước Đưa dạng Dạng Tích phân phần đơn giản dễ tính tốn b udv u.v a; b – Nếu u , v có đạo hàm liên tục b a a b vdu a Dạng Tích phân số hàm đặc biệt Tích phân hàm số lẻ hàm số chẵn – Nếu hàm số – Nếu hàm số a +) f x f x dx f x dx a a f x dx 2 f x dx 2f x dx 0 f x dx 0 a; a a f x a; a liên tục chẵn thì: liên tục lẻ a a a +) a f x b a x a 1 dx f x dx với a, m x f x b f x d x dx x b 1 m x 1 a +) Tích phân hàm số liên tục b – Nếu hàm số – Nếu hàm số +) f x a; b f x 0;1 liên tục thì: liên tục a a f sin x dx f cos x dx b f x dx f a b x dx 2 a +) a a x f sin x dx f sin x dx a a +) a f cos x dx a 2 2 x f cos x dx f cos x dx 0 +) x f sin x dx f sin x dx 20 +) 2 a x f cos x dx Về mặt thực hành, đặt x cận cận t x a b t Từ tạo tích phân xoay vịng (tạo I), giải phương trình bậc với ẩn I f x – Nếu hàm số liên tục tuần hồn với chu kỳ T thì: Trang 92 a T +) +) T f x dx f x dx a nT T f x dx n f x dx 0 +) Lưu ý: Hàm số f x f x T f x có chu kỳ T Về mặt thực hành, ta làm theo bước sau: a T I Bước Tách: T a T f x dx f x dx f x dx f x dx a T a 0 A 1 C B a T C Bước Tính f x dx T ? x a T t a t 0 Đặt x t T dx dt Đổi cận: x T a Khi đó: 0 C f t T dt f t dt f x dx A a a 2 T I B f x dx Bước Thế 1 vào ta được: f x g x a ; b thì: – Nếu hàm số liên tục b b f x g x f x g x max f x ; g x d x dx a a +) b b f x g x f x g x f x ; g x dx dx a a +) b +) b f x dx f a b x dx a a b +) f x liên tục a; b f a b x f x , x a; b b a b I xf x dx f x dx a a b +) f x a; b liên tục f a b x f x 2a f x 0; 2a , a liên tục – Nếu hàm số thì: Tích phân hàm chứa dấu trị tuyệt đối f x dx 0 a a f x dx f x f 2a x dx 0 b – Tính tích phân: I f x dx a f x a; b a; b f x 0 +) Bước Xét dấu đoạn Giả sử đoạn phương trình có nghiệm x0 a; b có bảng xét dấu sau: x a x0 b f x +) Bước Dựa vào công thức phân đoạn dấu Trang 93 a; x0 , x0 ; b ta được: x0 b b I f x dx f x dx f x dx a a x0 C Ứng dụng tích phân Dạng Ứng dụng tích phân vào toán chuyển động – Với vật chuyển động với phương trình quãng đường theo thời gian v t s t v t a t dt v t +) Vận tốc tức thời vật thì: +) Gia tốc tức thời vật: a t v t s t thì: t2 +) Quãng đường vật di chuyển từ thời điểm t1 đến t2 Dạng Ứng dụng tích phân để tìm diện tích Diện tích hình phẳng giới hạn st t2 S v t dt s t t s t2 s t1 t1 y f ( x) Ox : y 0 x a, x b (a b) b là: S f ( x) dx a Diện tích hình phẳng giới hạn (C1 ) : y f ( x) (C2 ) : y g ( x ) x a, x b (a b) b là: S f ( x) g ( x) dx a y Diện tích hình phẳng dựa vào cơng thức tích phân: m n S S1 S S3 f x dx a y f x b f x dx f x dx m n Tích phân dựa vào diện tích hình phẳng: b f x dx S S S3 O a a S1 m n S2 S3 x b – Hình thức đề thường hay cho +) Hình thức 1: Khơng cho hình vẽ, cho dạng ( H ) : y f ( x), y g ( x), x a, x b ( a b) b f ( x ) g ( x ) dx A so sánh A với đáp án +) Hình thức 2: Khơng cho hình vẽ, cho dạng ( H ) :{ y f ( x), y g ( x)} Tính a Giải f ( x) g ( x ) tìm nghiệm x1 , , xn với x1 nhỏ nhất, xn lớn xn f ( x) g ( x) dx Tính x1 +) Hình thức 3: Cho hình vẽ giải phương trình tìm tọa độ giao điểm (nếu chưa cho hình), chia diện tích nhỏ, xổ hình từ xuống, ghi cơng thức bấm máy tính +) Hình thức 4: Cho ba hàm trở lên, chẳng hạn y f ( x), y g ( x), y h( x) ta nên vẽ hình Trang 94 Dạng Ứng dụng tích phân để tìm thể tích H P x Q x Cắt vật thể hai mặt phẳng vng góc với trục Ox x a x b Một mặt x a x b phẳng vng góc với trục Ox điểm cắt H theo thiết diện S ( x) b Thể tích vật thể H là: V S ( x)dx a y f ( x) Ox : y 0 x a, x b (a b) Một hình thang cong giới hạn quay xung quanh trục tạo thành khối tròn xoay b Thể tích khối trịn xoay là: V f x dx a x g ( y) Ox : y 0 y c, y d (c d ) Một hình thang cong giới hạn quay xung quanh trục tạo thành khối trịn xoay b Thể tích khối trịn xoay là: V g y dx a Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y f ( x ) , y g ( x) (cùng nằm phía so với Ox) hai đường thẳng x a, x b Ox quanh trục là: b V f ( x) g ( x ) dx Dạng Các vật thể trịn xoay khơng gian a S xq 2 Rh r h Chỏm cầu h h V h R h 3r 3 S xq R h1 h2 Hình trụ cụt h h V R Trang 95 Hình nêm loại V R tan Hình nêm loại 2 V R tan 3 S parabol Rh 3 S x a S h R Vparabol R h Parabol Selip ab Vquay quanh 2a ab Vquay quanh 2b a 2b Elip Diện tích hình hành khăn: S R r Diện tích hình xuyến (phao) 2 S R r R r Hình xuyến Trang 96 Tài liệu chia sẻ Website VnTeach.Com https://www.vnteach.com Một sản phẩm cộng đồng facebook Thư Viện VnTeach.Com https://www.facebook.com/groups/vnteach/ https://www.facebook.com/groups/thuvienvnteach/ CHƯƠNG IV SỐ PHỨC A Xác định số phức, phép toán số phức – Số phức: +) Số i đơn vị ảo thỏa mãn i +) Tập hợp số phức kí hiệu y a, b – Số phức z a bi có phần thực a, phần ảo b +) Với a 0 ta có z 0 bi bi gọi số ảo +) Với b 0 ta có z a 0i a gọi số thực i a 0 a b z +) Với b 0 ta có z 0 0i 0 vừa số thực vừa số ảo T a; b – Số phức z a bi có điểm biểu diễn – Số phức liên hợp z a bi z a bi O T a; b a z bi x z a b i H a; b Q a; b Q a; b z – Số phức liên hợp z a bi có điểm biểu diễn số thực z z , số ảo z z – Số phức đối z a bi z a bi H a; b – Số phức đối z a bi có điểm biểu diễn Q – Hai điểm T đối xứng qua trục Ox – Hai điểm T H đối xứng qua O – Hai điểm Q H đối xứng qua trục Oy OM z a bi a , b M a; b Oxy – Số phức biểu diễn , gọi mơđun số z OM a b z Khí hiệu phức – Các phép biến đổi số phức z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z : z 0 z 0 z z z z z.z a b kz k z , k z z z z z z z z z2 z z zz 2OM OM z z z z z z z z z z z z z z z z z a b 2abi (a b ) 4a 2b a b z z z.z i n 1 1 i i i i 2 n 2i 3i n 1 i n z 0, z z1 z2 z1 z2 dấu xảy z1 kz2 k 0 z1 z2 z1 z2 dấu xảy z1 kz2 k 0 dấu xảy z1 kz2 k 0 z1 z2 z1 z2 z 0 Trang 97 ni n 1 n 1 i n i 1 z1 z2 z1 z2 dấu xảy z1 z2 z1 z2 2 z1 z2 z1 kz2 k 0 a a z z b b với a, b, a, b – Cho hai số phức z a bi z a bi , – Cho số phức z1 a b.i z2 c d i Khi đó: z z a b.i c d i a c b d i Phép cộng hai số phức: +) z z a b.i c d i a c b d i +) Phép trừ hai số phức: +) Phép nhân hai số phức: z1.z2 a b.i c d i ac bd ad bc i k.z k (a bi ) ka kbi +) Phép chia hai số phức: z1 z1.z2 z1.z2 a b.i c d i ac bd bc ad i ac bd bc ad i z z z c2 d c2 d c d c2 d z2 B Điểm biểu diễn số phức Muốn tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z x yi thỏa mãn điều kiện K cho trước ta cần: Bước Gọi M x; y điểm biểu diễn số phức z x yi Bước Biến đổi điều kiện K để tìm mối liên hệ x, y kết luận Mối liên hệ x , y M x; y Kết luận tập hợp điểm Là đường thẳng d : Ax By C 0 Ax By C 0 x a y b R x y 2ax 2by c 0 z a bi R x a y b R x y 2ax 2by c 0 z a bi R Là đường trịn tâm bán 2 kính R a b c Là hình trịn tâm I a; b bán kính R a b2 c Là điểm thuộc miền có hình vành khăn tạo hai đường tròn R12 x a y b R22 R1 z a bi R2 y ax bx c a 0 x ay by c I a; b đồng tâm R1 R2 y 2 px x 2 py p 0 I a; b bán kính b S ; Là parabol có đỉnh 2a 4a x2 y 1 a b với MF1 MF2 2a F1 F2 2c 2a Là elip có trục lớn 2a, trục bé 2b tiêu cự 2c 2 a b2 , a b 2a AB Elip Hypebol 2a AB với z a1 b1i z a2 b2i 2a Trang 98 A a1 , b1 B a2 , b2 2 x y 1 MF1 MF2 2a a b với F1 F2 2c 2a x a b2 y c d2 1 MA MB Là hyperbol có trục thực 2a, 2 trục ảo 2b tiêu cự 2c 2 a b với a, b Elip Hypebol Là đường trung trực đoạn thẳng AB C Phương trình bậc hai số phức Xét phương trình bậc hai ax bx c 0 với a 0 có b 4ac b x1 4a x b 4a – Nếu phương trình có nghiệm thực: x1 x2 b 2a – Nếu 0 phương trình có nghiệm kép: b i x1 4a x b i 4a – Nếu phương trình có nghiệm phức: b S x1 x2 a P x x c a – Hệ thức Viét trường phức : – Căn bậc hai số phức z x yi số phức w tìm sau +) Đặt w z x yi a bi với x, y , a, b w x yi a bi a b +) 2 a b2 x 2abi x yi 2ab y +) Giải hệ với a, b tìm a b w z a bi D Phương trình bậc hai số phức Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường thẳng z thỏa mãn z a bi z , tìm z Khi ta có: M x; y – Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn OA với Loại 1: Cho số phức A a; b 1 z z0 a b z a b i 2 – Có: Loại 2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện – Quỹ tích điểm M x; y z d O, AB – Có: z a bi z c di biểu diễn số phức Tìm z z đường trung trực đoạn Ta có: AB với A a; b B c; d a b2 c2 d 2 a c b d Loại 3: Cho số phức thỏa mãn điều kiện iz a bi z c di Trang 99 Khi ta biến đổi: iz a bi iz c di z a bi c di z z b z d ci i i Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường tròn z thỏa mãn điều kiện z a bi R z z0 R Tìm z max , z Ta có: M x; y I a; b +) Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường trịn tâm bán kính R – Cho số phức z OI R a b R z0 R Max 2 z Min OI R a b R z0 R +) Có: – Đề cho dạng khác, ta cần thực phép biến đổi để đưa dạng a bi R iz a bi R z i i z b R +) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện +) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện +) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z0 z z1 R z Hay viết gọn z a bi R z a bi R (Lấy liên hợp vế) a bi R R c di z a bi R z c di c di c2 d z1 R z0 z0 (Chia hai vế cho z0 ) Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức Elip Loại 1: (Elip tắc): Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z c z c 2a , a c Khi ta có: x y 2 1 M x; y a c – Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z Elip: a z Max a 2 z a c – Có: Min Loại 2: (Elip khơng tắc): Cho số phức z thỏa mãn z z1 z z2 2a z1 z2 Pz z – Bước 1: Tìm Max, Min z1 z2 2c b a c – Bước 2: Đặt – Bước 3: Dựa vào giả thiết kết luận Nếu z0 z1 z2 0 Pmax a Pmin b (dạng tắc) Nếu z1 z2 z0 a z z k z z z1 z2 Pmax z0 a P z z1 z2 a Pmax z0 z1 z2 a Nếu z1 z2 z0 a z z k z z Nếu z0 z1 z0 z2 Pmin z0 z1 z2 b E Dạng lượng giác số phức ứng dụng Trang 100 z1 , z2 c, ci