3 chương 1 gt lớp 12

Trần Quang Huy  GIẢI TÍCH 12 70 Trang CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ A Sự đồng biến, nghịch biến hàm số Tính đơn điệu y  f  x – Định nghĩa: Cho hàm số có đạo hàm xác định K : f  x  0 f  x  0, x  K +) Nếu số hữu hạn điểm K hàm số đồng biến K f  x  0 f  x  0, x  K +) Nếu số hữu hạn điểm K hàm số nghịch biến K f  x  0, x  K +) Nếu hàm số khơng đổi K – Nhận biết: Khi cho đồ thị hàm số, xét từ trái qua phải: +) Nếu nét vẽ xuống K hàm số nghịch biến K +) Nếu nét vẽ lên K hàm số đồng biến biến K +) Nếu nét vẽ đường thẳng nằm ngang K hàm số khơng đổi K Một số định lí y  f  x – Định lí 1: Nếu hàm số ln đồng biến nghịch biến liên tục D thì: f  x  k +) Số nghiệm D không nhiều f  x  f  y +) Phương trình xảy x  y với x, y xác định D – Định lí 2: Nếu hàm số y  f  x đồng biến nghịch biến liên tục lim f  x  lim f  x    a; b  f  x  k có x b nghiệm x  a y  f  x y g  x  f  x  g  x  0 – Định lí 3: Nếu hàm số hàm số đồng biến (nghịch biến) với f  x  g  x  liên tục D số nghiệm D phương trình khơng nhiều y  f  x y u  x  , y v  x  – Định lí 4: Cho hàm số liên tục D hàm số xác định D : f  u  x   f  v  x   u  x  v  x y  f  x +) Nếu hàm số đồng biến liên tục D f  u  x   f  v  x   u  x  v  x y  f  x +) Nếu hàm số nghịch biến liên tục D y  f  u  x  t u  x  – Khi xử lí toán đồng biến (nghịch biến) xác định D , đặt thì: f t +) Nếu t đồng biến D đồng biến (nghịch biến) tập xác định t f t +) Nếu t nghịch biến D nghịch biến (đồng biến) tập xác định t B Cực trị hàm số y  f  x  a; b  – Cho hàm số xác định liên tục khoảng x   a; b  (có thể a   ; b  ) điểm x   x0  h; x0  h  h  : f  x   f  x0  +) Nếu với x  x0 ta nói hàm số f  x  đạt cực đại x0 x   x0  h; x0  h  h  : f  x   f  x0  +) Nếu với x  x0 ta nói hàm số f  x  đạt cực tiểu x0 – Nếu hàm số đạt cực trị x c y đổi dấu qua x c y  f  x y  f  x – Nếu đồ thị hàm số cắt trục Ox n điểm hàm số có tối thiểu n cực trị y  f  x  y  f  x – Nếu hàm số bậc m hàm số có tối đa m cực trị 71 Trang y  f  x  x  h; x0  h  với h  Khi đó: – Cho hàm số có đạo hàm cấp hai khoảng f  x0  0, f  x0   f  x +) Nếu hàm số đạt cực tiểu x0 f  x0  0, f  x0   f  x +) Nếu hàm số đạt cực đại x0  u  0  1  u  0 y  f  u   y uf  u  0     f  u  0  u  xi   – Cho hàm số f  u  Khi số điểm cực trị Số điểm cực trị u + Số nghiệm bội lẻ u  xi C Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số   f  x  m, x  D  m min f  x    D  x0  D : f  x0  m   f  x  M , x  D  M  max f x      D y  f  x  x0  D : f  x0  M – Cho hàm số có tập xác định D, đó:  D Đường tiệm cận Định nghĩa y  f  x – Định nghĩa 1: Cho hàm số xác định khoảng vơ hạn (là khoảng chứa kí hiệu  ) Đường y  y0  xlim     lim y  y0 thẳng y  y0 gọi tiệm cận ngang đồ thị hàm số  x    – Định nghĩa 2: Đường thẳng x  x0 gọi tiệm cận đứng đồ thị hàm số lim y  lim y   lim y  lim y   điều kiện sau thỏa mãn: x  x0 , x  x0 , x  x0 , x  x0 Xác định đường tiệm cận thông qua hàm số cho trước P  x y  f  x  Q  x a) Tiệm cận ngang: Cho hàm số có tập xác định D chứa    deg P  x   deg Q  x  – Nếu khơng có tiệm cận ngang deg P  x   deg Q  x  – Nếu có tiệm cận ngang y 0 deg P  x  deg Q  x  có tiệm cận ngang y k (k tỉ số hệ số bậc cao tử mẫu) P  x y  f  x  Q  x b) Đường tiệm cận đứng: Cho hàm số có tập xác định D Q  x  0  x x0 – Điều kiện cần: giải tiệm cận đứng thỏa mãn điều kiện đủ – Điều kiện đủ: +) Điều kiện 1: x  x0 làm cho P ( x) Q( x) xác định – Nếu +) Điều kiện 2:  x0 nghiêm P( x)  x x0 tiện cận đứng lim f ( x)   x0 nghiêm P( x)  x x0 tiệm cận đứng x  x0 E Hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) y  f  x  ax  bx  cx  d  a 0  Nghiệm phương trình bậc ba  ax  bx  cx  d 0  – Phương trình  a 0 có ba nghiệm lập thành: +) Cấp số cộng có nghiệm x  b 3a 72 Trang +) Cấp số nhân nghiệm x  d a b   x1  x2  x3  a  x  x1   ax3  bx  cx  d 0 c   Vi-ét   x  x2      x1 x2  x2 x3  x3 x1   a  a 0   x  x3 d   x1 x2 x3  a  – Cho phương trình y  f  x  ax  bx  cx  d  a 0  Sự biến thiên hàm số bậc ba a  a    x2  x1  x  x      – Đồng biến đoạn có độ dài : nghịch biến đoạn có độ dài :    a    a    2   y b  3ac 0   y b  3ac 0  a b 0, c   a b 0, c  – Hàm số đồng biến   nghịch biến   y  f  x  ax  bx  cx  d  a 0  Cực trị hàm số bậc ba  b  3ac  f  x  f  x  bc y  x d   f  x  9a 9a 18a – Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị Cách tìm: f  x   f  x  g  x    kx  p  +) Cách 1: Phương trình cần tìm có dạng y kx  p với f  x  f  x  f  x  18a +) Cách 2: Đưa máy tình chế độ số phức nhập 2b c x1  x2  x1.x2  3a 3a – Định lí Vi-ét với hai điểm cực trị:  x i CALC    m 100  yI mxI  n  I  xI ; yI      2  b2   c   n 1  AB   3  a A , B  : y  mx  n    – Hai điểm đối xứng qua 4e  16e3 b  3ac e a 9a – Khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số , với y  f  x  ax  bx  cx  d  a 0  C Các vấn đề khác liên quan đến hàm số bậc ba có đồ thị n 5  f  x1  f  x2    y  f  x n 3  f  x1  f  x2  0 y xi  0, x1  x2 n – Hàm số có cực trị với  , với  n 5  x1  x2   y f  x  y xi  0, x1  x2 n 3  x1 0  x2 – Hàm số có n cực trị với  , với M  x0 ; f  x0   f  x0  0 y  f  x   C  – Nếu đổi dấu qua x  x0 điểm uốn tâm đối xứng đồ thị hàm số min  a   C  , tiếp tuyến điểm uốn tiếp tuyến có hệ số góc max  a  – Trong tiếp tuyến d Xét dấu hệ số 73 Trang y y y x x O O x O c