Đs9 c3 4 giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

ÔN TẬP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ A Tóm tắt lý thuyết ax  by c  Xét hệ phương trình: a ' x  b ' y c ' Giả sử a, a ' 0 , để làm x , ta nhân phương a ' ax  a ' by a ' c  trình thứ hệ với a ' nhân phương trình thứ hai với a ta được: aa ' x  ab ' y ac ' , trừ ba ' ab ' y ca ' ac ' theo vế hai phương trình hệ ta được:  Giải phương trình ta tìm y, sau thay vào hệ ta tìm x ax  by c  *) Giải biện luận hệ phương trình a ' x  b ' y c ' Bước 1: Tính định thức D a a' b ab ' a ' b b' (gọi định thức hệ) Dx  c c' b cb ' c ' b b' (gọi định thức x ) Dx  a a' c ac ' a ' c c' (gọi định thức y ) Bước 2: Biện luận Dx   x  D   y  Dy D + Nếu D 0 hệ có nghiệm  D 0 + Nếu D 0 Dx 0 y hệ vơ nghiệm + Nếu D Dx Dy 0 hệ có vơ số nghiệm d d' *) Ý nghĩa hình học: Giải sử   đường thẳng có phương trình ax  by c   có phương trình a ' x  b ' y c ' Khi 1) Hệ có nghiệm 2) Hệ vô nghiệm  d  d d'   cắt d'   song song với 3) Hệ có vơ số nghiệm  d d'   trùng B Bài tập dạng tốn Dạng 1: Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số Cách giải: - Nếu hệ số ẩn ta trừ vế với vế - Nếu hệ số ẩn đối ta cộng vế với vế - Nếu khơng có hệ số ẩn đối ta nhân hai vế phương trình với số thích hợp đưa trường hợp thứ Bài 1: Giải hệ phương trình sau:   x  y 5  a) 4 x  y   x  y 2  b) 2 x  y 4 Lời giải  x  y 5   x  y   a) Ta có  x  y 5   2 x 4  x  y 5    x 2  x 2   y 3 x; y  2;3 Vậy hệ phương trình có nghiệm     b) Nhân hai vế phương trình thứ với ta phương trình tương đương  x  y 2   2 x  y 4  x  y 4    x  y 4 0 x 0    x  2 y 0 x 0   y  x   Do hệ phương trình có vơ số nghiệm y  x Cụ thể, tập nghiệm tập nghiệm phương trình bậc hai ẩn x  R   y  x  x; y    Do đó, hệ phương trình có nghiệm tính cơng thức Bài 2: Giải hệ phương trình sau (  1) x  y 1   b) 3x  (1  2) y 1   x  y 1  a)  x  y 5 Lời giải a) Nhân hai vế phương trình thứ với ta có hệ phương trình tương đương  x  y 1    x  y 5  x  y    x  y 5 Cộng vế hai phương trình hệ tạo thành, ta x 6 Ta có hệ phương trình  x  y     x  y 5 2 x 6    x  y 5  Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y   3;  3    x 3   3 y  x   x 3   y   (  1) x  y 1  3(  1) x  y 3   x 1      y  3(  1) x  y  (  1) b) 3x  (1  2) y 1  Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y   1;  Bài 3: Giải hệ phương trình sau  x  y   a)  x  y  11 3 x  y 15   b)  x  y 18   x  y 2   3 x   y  c)    Lời giải  x  y     x  y  11  a)  2 x  y     x  y  11 Hệ phương trình vô nghiệm x    3 x  y 15  6 35 x  y 15       x  y 18  y    x  y 18  b)  Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y   5;  7   c) Nhân hai vế phương trình thứ với , nhân hai vế phương trình thứ hai với    , ta hệ phương trình tương đương  2 x  y 4  2 x  y 4   x  y 2    x 1      x 1  y 4  3x   y  3  x    1 x         Vậy hệ phương trình có nghiệm   x; y   1;   Dạng 2: Giải hệ phương trình quy hệ phương trình bậc hai ẩn Cách giải: Ta thực theo bước sau Bước 1: Biến đổi hệ phương trình cho hệ phương trình bậc hai ẩn Bước 2: Giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp cộng đại số Bài 1: Giải hệ phương trình sau:  x  3  y    x    y  1   x  1  y    x  1  y  3 b   2  x  y   y 3  x  1   y  1 4 a   Lời giải 2  x  y   y 3   x   y       a) Ta có  2 x  y 3  x  y 6     4  x  1   y  1 4  x  y 10 x; y  3;1 Vậy hệ phuương trình có nghiệm      79  x   x  y   x  y            511    x  1  y    x  1  y    y   51   73  b)  x 3   y 1 Vậy hệ phuương trình có nghiệm  79  51  ;   511 73   x; y   Bài 2: Giải hệ phương trình sau: 2( x  y )  3( x  y ) 4  a ( x  y)  2( x  y ) 5 ( x  y )( x  1) ( x  y )( x  1)  2( xy  1)  b ( y  x)( y  1) ( y  x)( y  2)  xy 1 x  y 7  2   x  y 1 d   3x  y   1     x  y  y   c  Lời giải 2( x  y )  3( x  y ) 4   ( x  y )  2( x  y ) 5 a 1  x     y  27   Vậy hệ phuương trình có nghiệm  27  ;   2   x; y    x  ( x  y )( x  1) ( x  y )( x  1)  2( xy  1)    y ( y  x )( y  1) ( y  x)( y  2)  xy   b Vậy hệ phuương trình có nghiệm  3x  y   1      x  y  y   c   1  3 19  6 x  y 5 x    4 x  y  14   y  14 Vậy hệ phuương trình có nghiệm 1 x  y 7  2    x  y 1 d   x; y    1; 19  ;  14     x; y   3x  y 42  x 6   10 x  y 6  y 6 x; y  6;6 Vậy hệ phuương trình có nghiệm     Bài 3: Giải hệ phương trình sau: 4x   xy      x  y 15  y 14 b  5  x  y    x  y  99  a  x  y 7 x  y  17 Lời giải a) 5  x  y    x  y  99    x  y 7 x  y  17  x  13 y 99   6 x  y 17  x 4   y 7 x; y  4;7 Vậy hệ phuương trình có nghiệm     4x   x y   5 x  y 4 x   x 12     14 x  42 y 15  y  y   x  y 15  y 14 b)  x; y  12;  3 Vậy hệ phuương trình có nghiệm    Bài 4: 4 x  ay 6  b a Xác định hệ số , biết hệ phương trình sau bx  2ay 8 có nghiệm là: 1;  1 a)  b)  2;3  Lời giải 1;  1 a) Vì  nghiệm hệ phương trình, nên thay giá trị vào hệ phương trình ta 4  a 6   được: b  2a 8 a   b 12 Vậy a  2; b 12     4   a.3 6    b   2a.3 8 b) Tương tự ta có  Vậy a 2    a 2   b  10   ; b  10  Bài 5: Biết đa thức P  x P a 0 chia hết cho đa thức x  a   Hãy tìm giá trị m n cho đa thức sau đồng thời chia hết cho x  x  P  x  mx3   m   x   2n  1 x  3n Lời giải   P    0  P 0 P  x Theo giả thiết đồng thời chia hết cho đa thức x  x  , ta có    m      m        2n  1     3n 0   m  m   n  1  n       m    10 n   10 m ; n 3 Vậy Bài 6: Xác định đa thức f  x biết ta có điều kiện sau: a) f  x chia cho x  dư b) f  x chia cho x  12 dư 14 c) f  x x    x  12  chia cho  thương x dư Lời giải Từ c) ta có dạng Chú ý đa thức f  x f  x f  x  x  x  8  x  12   ax  b n  f  m  n chia cho x  m dư Từ a), ta có f   6  8a  b 6  1 Từ b), ta có f  12  14  12a  b 14   Từ (1)(2) ta tìm a 2; b  10 Vậy đa thức f  x cần tìm f  x  x  x    x  12   x  10 Bài 7: Giải hệ phương trình sau  x  y 2  x  y 2 b)   y  x  0   y  x  0 a)   x   y  4  x   2 y c)  Lời giải a) Cộng vế hai phương trình hệ ta Ta có  y  y   x  x   x 0 y  y ; x  x ; x 0   y  y    x  x   x 0 Do dấu “=” xảy ra, x 0; y  Thay vào hệ phương trình ta tìm y 3 x; y  0;3 Vậy hệ có nghiệm      x  y 2  x  y 2 b)  Ta chứng minh a  b  a  b , a, b    * Thật vậy, vế (*) lớn 0, nên ta bình phương vế khơng làm đổi chiều BĐT:  *   a  b  2  a  b   a  b  a b a  b  2ab  a b 2ab  ab ab Dấu “=” xảy , điều ln đúng, (*) chứng minh  ab ab  ab 0 Áp dụng ta có: x; y  x  ; y   x  Nếu x  0; y  hệ tương đương  x  y 2 vô số nghiệm    x; y  x  ; y 2  x  Nếu x  0; y  hệ tương đương x  y 2 vô số nghiệm     x   y  4  x   2 y c)   1  2 Trừ vế hai phương trình ta  y   4  y  y  6  y  y  6  y    y  2 y  3 y 4    y 8   y   TM    y 8  L     x   y   x  2 y       3  x 1   Với Vậy hệ phương trình có nghiệm 1   x   x         ;  ,  ;   3   3    x; y    Dạng 3: Giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ Cách giải: Ta thực theo hai bước - Chọn ẩn phụ cho biểu thức hệ phương trình cho để hệ phương trình bậc hai ẩn dạng - Giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp cộng đại số, từ tìm nghiệm hệ phương trình cho Bài 1: Giải hệ phương trình sau 1  x  y 1     5 a  x y  2x x2     x  b  x  3y  y 1 2y  y 1 Lời giải 1 b a y x a) Đặt Hệ phương trình trở thành:  a  2b 1 a  2b 1  a  2b 1     5 5  3a  b  6a  2b  7a        Từ suy x 2; y 4  a     b    x; y  2; Thử lại thấy thỏa mãn Vậy hệ phương trình có nghiệm     x y a; b y 1 b) Đặt x  2a  3b     a  b   Hệ phương trình trở thành  Với a    2a  3b     a  b    2a  3b     14 b     a    b   x   x  x   x   x  x2 y b    y 2 y   y 2 y 1 Với Thử lại thấy thỏa mãn x; y   1;  Vậy hệ phương trình có nghiệm   Bài 2: Giải hệ phương trình sau  x    a  x    y2 x y  4 y2 x y 15  x  y 9     35 b  x y Lời giải a) Đặt  x     x  a 1 ;b   x y2 x y ta được:    y2 x y 7 a  5b   2 3a  2b 4  4 y2 x y 14a  10b 9   3a  2b 4 x; y  1; Vậy hệ phương trình có nghiệm     Bài 3: Giải hệ phương trình sau 10 14a  10b 9   15a 10b 20 a 1   1 b    x 1   y 2 10   x  y  x  y    29    a  x  y x  y 15  2x  4x   y    y      x   x  b  y   y Lời giải 10  3a  10b   x  y  x  y      29  29 4a  3b      15   x  y x  y 15  a  x 1   y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y  1;1 là:      2x  4x   y    y       x   x  b  y   y  2x   y  1 a  2b       2a  b   x  1  3  y Vậy hệ phương trình có nghiệm là: 11  x  2 x  y 2    2 x  y 6  y 4   11  ;   5  x; y   Bài 4: Giải hệ phương trình sau 9 x  y 26  x  y 32 a  3 x   y 13  x   y 4 b  Lời giải 9 x  y 26 ( y 0)   x  y  32  a  9a  5b 26   7 a  2b 32 a 4   b 2  x 2  ( x; y ) ( 2; 4)   y 4 x; y  2;  Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là:    3 x   y 13   x   y   b  3a  2b 13   2a  b 4 3a  2b 13   4a  2b 8  a 3   b 2  x 10   y 4 x; y  10;  Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là:    Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước 11 Cách giải: Ta thường sử dụng kiến thức sau - Hệ phương trình bậc hai ẩn có nghiệm  ax0  by0 c  a ' x0  b ' y0 c '  x0 ; y0    M x ; y  ax0  by0 c - Đường thẳng d : ax  by c qua điểm  0  Bài 1: Cho đường thẳng d : y  2m  1 x  3n  M  1;   a Tìm giá trị m n để d qua  cắt Ox điểm có hồnh độ b Cho biết m, n thỏa mãn 2m  n 1 Chứng minh d qua điểm cố định Tìm điểm cố định Lời giải a) Theo đầu ta có d qua N vào d ta tính được: m M   1;   cắt Ox N  2;0  Từ thay tọa độ điểm M 1 1 ;n  b) Từ 2m  n 1  n 2m   d : y  2m  1 x  6m  Gọi I  x0 ; y0  2 x0  0  x0    x0   m   x0  y0   0m     x0  y0  0  y0  điểm cố định d Vậy điểm cố định cần tìm I   3;   Bài 2:  x  my 1(1)  Cho hệ phương trình mx  y 2(2) a Giải hệ phương trình m 1 b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm c Tìm m để hệ phương trình có nghiệm  x; y  cho x  y 5 d Tìm m để hệ phương trình có nghiệm  x; y  cho Lời giải 12 x, y thuộc  ,  x     y 1 a Với m 1 ta được:  b Từ (1)  x 1  my thay vào (2) ta được: m(1  my )  y 2  (m  4) y m  2(3) Hệ phương trình có nghiệm (3) có nghiệm  m  0  m 2 (3)  y  m m   x 1   m  m2 m2 m2 Vậy m 2 hpt có nghiệm c Ta có: x  y 5   ;   m2 m2  x; y   7  5  m  (tm) m2 m2 x  Z m  U (2)   m   U (1)  m    1;  3  y  Z m   U (1)   d Bài 3:  mx  y 10(1)  Cho hệ phương trình  x  my 2(2) a Giải hệ phương trình m 2 b Tìm m để hpt có nghiệm c Tìm m để hpt có nghiệm  x; y  cho x  y 2 d Tìm m để hpt có nghiệm  x; y  cho x  y  Lời giải 2   x    y 6 a Thay m 2 vào hệ phương trình ta giải được:  b (2)  x 2  my thay vào (1) (m  9) y 2m  10 (3) Hệ phương trình có nghiệm  m 3 Khi đó: (3)  y  2m  10 10m  18  x 2 m 9 m 9 13 Vậy c d m 3  ( x; y ) ( x  y 2  10m  18 2m  10 ; ) m2  m2  32 2  m 5 m2  x  5y   32   m2      m  m 9 Bài 4:  x  y 5(1)  Cho hệ phương trình mx  y 4(2) a Tìm m để hệ phương trình có nghiệm  x; y  cho x, y trái dấu b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm  x; y  cho x  y Lời giải  x  y 5(1)    mx  y 4(2) a  y 4  mx   (2m  1) x 3  x   2m    y 5m   2m   Vậy HPT có nghiệm a Ta có: Vậy m x y   m 3(5m  4)   5m    m  (2m  1) m giá trị cần tìm   2m  0  5m   5m  xy   (1)      2m  2m    2m  m    5m    2m   2m   b Ta có:  m      m  (tm)   m   m  (loai )  Vậy Bài 5: mx  y 2(1)  Cho hệ phương trình 4 x  my 4(2) a Tìm m để hệ phương trình có nghiệm  x; y  cho x, y  Z 14 b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm  x; y  cho M  x; y  nằm góc phần tư thứ mặt phẳng Oxy 2 c.Tìm m để x  y 1 Lời giải a Từ (1)  y 2  mx(3) thay vào (2) ta được: x  m(2  mx) 4  ( m  4) x 2m  Hệ có nghiệm  m 2  ( x; y ) ( ; ) m2 m 2 x  Z  m   U (2)   m   U (2)  m    1;  3;  4;0  yZ m  U (4)  0  x  m     m2 0  m   y   0 m   b Điểm M(x; y) nằm góc phần tư thứ x  y 1  c Ta có: 16  1  ( m  2) 20  2 (m  2) (m  2)  m  2   m     m     m   Bài 6: mx  y m   Cho hệ phương trình  x  my 2 a Giải biện luận hệ phương trình b Tìm giá trị nguyên m để hệ phương trình có nghiệm ngun c Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x  2; y  d Tìm điều kiện m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: A  x  y  m 1 Lời giải a) Ta tính định thức Dx  D m m   m  1  m  1 m m 1  m  1 m   m  1  m   m 15 Dy  m m 1 2m   m  1 m  Dx  m2   x  D  x  m    Dy y  y   y m 1 - Nếu D 0  m 1 hệ phương trình có nghiệm  - Nếu D 0  m 1 D Dx Dy 0 +) m 1 ta có hệ có vơ số nghiệm +) m  ta có  D 0   Dx  0 Khi hệ vơ nghiệm Kết luận: + Nếu m 1 hệ phương trình có nghiệm m2  ;   m 1 m 1   x; y   + Nếu m 1 hệ phương trình có vơ số nghiệm + Nếu m  hệ phương trình vơ số nghiệm   m 1  m  Z  m     m   Z b) Hệ phương trình có nghiệm ngun m2 1  m  , ta suy 1 m  1  m    2;0 mặt khác ta có m  Thử lại thấy thỏa mãn Vậy giá trị m để hệ phương trình có nghiệm ngun m    2;0 c) Từ câu a), ta thấy để hệ có nghiệm thỏa mãn x  2; y  m 1 x Khi m2 m2 m 2  20 0 m 1 m 1 m 1  m  0, m      m  0, m   Với điều kiện   m  thỏa mãn y  Vậy   m  16    m   tm   m  0, m   1 loai  d) Đầu tiên ta thấy m 1 , ta có: A  x  y  m 3    m   m  1 m   m  1 2 1  1   1 1 A 2t  t 2  t  t    2  t     t 4  4 8   m  , biểu thức A trở thành: Đặt Dấu “=” xảy khi: t 1 0   0  m  m 1 (thỏa mãn) 1 Vậy GTNN A , xảy m  Bài 7: 2 x  my 1  1  mx  y 1   Cho hệ phương trình  a Giải biện luận hệ phương trình theo tham số m b Tìm số nguyên m để hệ phương trình có nghiệm  x; y  với x, y  Z c Chứng minh hệ phương trình có nghiệm  x; y  , điểm M  x; y  chạy đường thẳng cố định Lời giải a) Trừ vế phương trình (1) phương trình (2) ta được:   m  x   m   y 0    m   x  y  0  x  y 1  Xét m 2 thay vào hệ ta 2 x  y 1 Dễ thấy hệ có vơ số nghiệm Xét m 2  x  y thay vào (1) ta được:   m  x 1  * - Nếu m   phương trình (*) trở thành x 1 (vơ nghiệm) Do hệ vơ nghiệm - Nếu m   phương trình có nghiệm b) Ta có x, y  Z  x y  m2  Z  1 m    m     1;1  m    3;  1 m2 17 c) Hệ phương trình có nghiệm nhất, Như điểm M x y   x  y 0  d  m2 chạy đường thẳng  d  cố định BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Giải hệ phương trình sau x y x y      x  y 1 a  ( x  1)( y  3) xy  27  b ( x  2)( y  1)  xy  Hướng dẫn giải x y x y    x  y 2 x  y 2 x  y 0      5 5 x 3 y  15 5 x  y 15  x  y 1 ( x; y ) ( ; ) a  5 5 ( x; y ) ( ; ) Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x  1)( y  3)  xy  27   ( x  2)( y  1)  xy   b  xy  3x  y   xy  27    xy  x  y   xy  3 x  y 30   ( x; y ) (10;0)  x  y 10 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (10;0) 18 Bài 2: Giải hệ phương trình sau   x   y  3     2  y 6 b  x  1  x  y      7 a  x y Hướng dẫn giải a) Điều kiện x, y 0 1 a; b  y Đặt x a  b    3a  2b 7 a 1  ( x; y) (1;  1)  b   Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (1; 1 ) b) Điều kiện x 0; x 49; y 0 Đặt  a  4b   1  a; b    13 x y 6 5a  3b    21a  12b 5  30a 18b 13  ( x; y ) (100;0) Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (100;0) Bài 3:  x 1 y 1 x  y        x   y   x  y  Tìm tham số m để nghiệm hệ phương trình  Cũng nghiệm phương trình 6mx  y 2m  Hướng dẫn giải Nghiệm hpt là: ( x; y ) ( 11 ;7) thay vào phương trình ta m 1 Bài 4: mx  y 9  Cho hệ phương trình  x  my 8 19 Với giá trị m hệ phương trình có nghiệm  x; y  thỏa mãn: 2x  y  38 3(*) m 4 Hướng dẫn giải 9m  32  x   x 8  my  mx  y 9  x 8  my  m 4    (m 2)   x  my 8  m(8  my )  y 9 (4  m ) y 9  8m  y   8m   m2   m 1 3m  26m  23 0  (m  1)(3m  23) 0   (tm)  m  23  Thay vào (*): Bài 5:  x  by   Cho hệ phương trình bx  ay  Xác định hệ số a b biết hệ phương trình: a) Có nghiệm  1;   b) Có nghiệm   1;  Hướng dẫn giải 9  a  1  2b     b  a  3  b   x  1; y   a) Thay vào hệ phương trình ta được: 20