THÔNG TIN TÀI LIỆU
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ A Tóm tắt lý thuyết Quy tắc - Từ phương trình hpt cho (coi phương trình thứ nhất), ta biểu diễn ẩn theo ẩn vào phương trình thứ hai để phương trình (chỉ cịn ẩn) - Dùng phương trình để thay cho phương trình thứ hai hệ phương trình giữ nguyên pt thứ nhất, ta hệ phương trình tương đương với hệ phương trình cho Giải biện luận phương trình: ax b 0 - Nếu a 0 x b a - Nếu a 0 b 0 phương trình vơ nghiệm - Nếu a 0 b 0 phương trình có vơ số nghiệm B Bài tập dạng toán Dạng 1: Giải hệ phương trình phương pháp Cách giải: Căn vào quy tắc để giải hpt bậc hai ẩn phương pháp ta làm sau - Từ phương trình hệ phương trình cho (coi pt thứ nhất), ta biểu diễn ẩn theo ẩn vào phương trình thứ hai để phương trình (chỉ cịn ẩn) - Dùng phương trình để thay cho phương trình thứ hai hệ phương trình giữ nguyên phương trình thứ nhất, ta hpt tương đương với hệ phương trình cho *) Chú ý: Ta thường chọn phương trình có hệ số có giá trị tuyệt đối khơng q lớn thường -1 Bài 1: Giải hệ phương trình sau x y 5 a 4 x y x y 2 b 2 x y 4 Lời giải a) Cách 1: Thế y theo x phương trình thứ x y 5 x y Ta có Cách 2: Thế x theo Ta có y x y 5 4 x y y 5 x 4 x x y 5 x x 2 7 x 14 y 3 phương trình thứ x 5 y x 2 x 5 y 4 y y y 21 y 3 x; y 2;3 Vậy phương trình có nghiệm x y 2 x y 4 b) Cách 1: Ta có x 2 y 2 y y 4 x 2 y 0 y 0 Ta thấy y 0 có nghiệm với y R Do hệ phương trình vơ số nghiệm Cụ thể, tập nghiệm tập nghiệm phương trình bậc hai ẩn x 2 y x 2 y x; y y R Do đó, hệ phương trình có nghiệm tính cơng thức y x x y 2 x y 4 2 x x 1 4 2 Cách 2: Ta có y x 0 x 0 Ta thấy x 0 có nghiệm với x R Do hệ phương trình vơ số nghiệm y x Cụ thể, tập nghiệm tập nghiệm phương trình bậc hai ẩn y x x; y x R Do đó, hệ phương trình có nghiệm tính cơng thức Bài 2: Giải hệ phương trình sau 8 x y 10 a x y 3 3x y 0 b 5 x y 14 Lời giải 8 x y 10 0 x 16 8 x x 10 x y 3 y 3 x y 3 x a) Cách 1: Ta có Ta thấy phương trình Ox 16 vơ nghiệm với x R Do hệ phương trình vô nghiệm 1 3 8 x y 10 8 y y 10 4 4 x y 3 y 4 x Cách 2: Ta có 0 y 16 x y Ta thấy phương trình Oy 16 vơ nghiệm với y R Do hệ phương trình vơ nghiệm 4y x 3x y 0 3 x y 5 x y 14 5 x y 14 5 y y 14 b) 4y x 26 y 52 x 2 y 2 x; y 2; Vậy hệ phương trình có nghiệm Bài 3: Giải hệ phương trình sau a 3x y 0 2 x y y 5 b x y x y 0 Lời giải a) Điều kiện x 0; y 0 x y x y 0 x 3 x y 0 3 y 1 y 0 x y x y y 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm 3 ; 5 x; y 3x y 0 3 x y 0 x 4 2 3( x y ) y 15 y x y y 5 b) x; y 4; 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm Bài 4: Giải hệ phương trình sau a) ( 1) x y x ( 1) y 1 x y x y b) Lời giải a) ( 1) x y x ( 1) y 1 y ( 1) x y ( 1) x x ( 1) y 1 x x * xx 1 3 x 1 * y y ( 1) x x x 1 x 2 x 3 x Vậy hệ phương trình có nghiệm 3 2 3 ; 2 x; y x y x y x y x y x y y y y y b) (ln đúng) Vậy hệ phương trình có vơ số nghiệm Bài 5: Giải hệ phương trình sau x y 6 x y b) x y 0 a) x y 5 Lời giải x y 0 x y a) Cách 1: Ta có x y x y x 2 y 5 y 5 y 2 y 5 1 y x y x x y 0 x 2 x y 5 y x x 5 x 5 Cách 2: Ta có Vậy hệ phương trình có nghiệm x y 6 x y b) Cách 1: Ta có x; y 2; y 6 x x x * Giải riêng phương trình (*): 1 * x 1 x 5 x 5 Khi y 6 5 1 Cách 2: Ta có: x y 6 x y x 6 y x y x 1 y 1 y 5 Giải riêng phương trình (**) ta được: ** Khi x 5 3 18 2 5 23 y y 1 y 5 5 5 1 1 5 Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 5;1 ** Dạng 2: Giải hệ phương trình quy hệ phương trình bậc hai ẩn Cách giải: - Biến đổi hệ phương trình cho hệ phương trình bậc hai ẩn - Giải hệ phương trình bậc hai ẩn tìm Bài 1: Giải hệ phương trình sau a ( x 1)( y 1) xy x 3 y 3 xy b 5 x y x y 99 x y 7 x y 17 Lời giải a) 5 x y x y 99 x y 7 x y 17 5 x 10 y x y 99 x y x y 17 2 x 13 y 99 x 4 x y 17 y 7 x; y 4;7 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x 1)( y 1) xy x 3 y 3 xy b) xy x y xy xy x y xy x y 0 x y 2 x y 12 x; y 2; Vậy hệ phương trình có nghiệm Bài 2: Giải hệ phương trình sau 3( y 5) 2( x 3) 0 a 7( x 4) 3( x y 1) 14 0 ( x 1)( y 1) ( x 2)( y 1) b 2( x 2) y x 2 xy Lời giải 3( y 5) 2( x 3) 0 7( x 4) 3( x y 1) 14 a 2 x y 21 10 x y 45 x 3 y 5 x; y 3;5 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x 1)( y 1) ( x 2)( y 1) 2( x 2) y x 2 xy b 17 x 2 x y 2 11 x y y 11 Vậy hệ phương trình có nghiệm 17 ; 11 11 x; y Bài 3: Giải hệ phương trình sau a 2x 1 3y 3(3 y 2) 4( x y ) 0 ( x 2)(6 y 1) (2 x 3)(3 y 1) b (2 x 1)(12 y 9) (4 x 1)(6 y 5) Lời giải a) 2x 1 2 x 3 y x 2,3 (3 y 0 y ) (tm) 3y y x y y 3, 3(3 y 2) 4( x y) 0 x; y 2,3;3, Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x 2)(6 y 1) (2 x 3)(3 y 1) 6 xy x 12 y 6 xy x y x b) (2 x 1)(12 y 9) (4 x 1)(6 y 5) 24 xy 18 x 12 y 24 xy 20 x y y 1 x; y 2;1 Vậy hệ phương trình có nghiệm Bài 4: Giải hệ phương trình sau 2x 3y x y 2 x y 4x y 2x y x y Lời giải 2x 3y x y 2 x y 4x y 2x y x y Ta có: x 5(2 x y ) 4( x y 1) 20(2 x y 1) 3(4 x y 2) 2(2 x y 3) 4( x y 1) y Vậy hệ phương trình có nghiệm 4 ; 3 x; y Bài 5: Giải hệ phương trình sau x y 14 a 3 3x y 3(4 2) ( 1) x y b x ( 1) y 1 Lời giải 3x y x y 14 x 3( 3 x ) 14 3 x y 3(4 2) a) x(9 2) y 2 x y 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( 1) x y x ( 1) y x; y y ( 1) x x ( 1).x.[( 1) x 2; y ( 1) x 3]=1 3 x 4 b Vậy hệ phương trình có nghiệm 4 x 3 y 1 ; 3 x; y Bài 6: Giải hệ phương trình sau x y 21 a 4 x y 2 3(2 5) 2 2 ( x 1) ( y 2) ( x 1) ( y 1) 2 b ( x y 3) ( x y 1) Lời giải 15 y ) y 21 3( x y 21 4 x y 2 3(2 5) x 15 y y a) Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 3; 2 2 x 1,5 ( x 1) ( y 2) ( x 1) ( y 1) 2 y 0,5 b) ( x y 3) ( x y 1) x; y 1,5; 0,5 Vậy hệ phương trình có nghiệm x y Dạng 3: Giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ Cách giải: Ta thực theo bước sau Bước 1: Chọn ẩn phụ cho biểu thức hệ phương trình cho để hệ phương trình bậc hai ẩn dạng (tìm điều kiện ẩn phụ có) Bước 2: Giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp thế, từ tìm nghiệm hệ phương trình cho Bài 1: Giải hệ phương trình sau 1 1 x y 12 15 1 a x y x y y x 3 1 b x y y x Lời giải a Điều kiện x, y 0 Đặt 1 a b a; b 12 x y 8a 15b 1 8a 8b 3 8a 15b 1 a x 28 28 y 21 b 21 x; y 28; 21 Vậy hệ phương trình có nghiệm x y y x 3 a b 3 ( x y; y x) 4 a b 1 b x y y x Vậy hệ phương trình có nghiệm x y 10 a 11 b x y 1 3 Bài 2: Giải hệ phương trình sau x y x x y x 8 y 1 y 1 Lời giải x y 3 x x y x Ta có: 8 y 1 ( x y 3; x y 1) y 1 x y 1 3( x y 1) x 1 y 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm u 1 5u 2v 8 3 3u v 1,5 v 5 ;2 6 x; y Bài 3: Giải hệ phương trình sau 5 x y 2x y 2 a x y x y 3 1 x y 10 1 b x y 12 Lời giải 5 10 x 4u 5v x y 2x y 2 u 10 v 15u 5v 7 3u v y 19 x y x y 5 a Vậy hệ phương trình có nghiệm 3 1 x y 10 ( x, y 0) 1 b x y 12 10 19 ; 3 x; y 1 3 u v u 5 10 36 3 u v v 4 12 12 x 36 (tm) y 12 x; y 36;12 Vậy hệ phương trình có nghiệm Bài 4: Giải hệ phương trình sau 10 x y 1 3 x y 1 x y 2 ( x 1; y 2) x y 15 a x y 2 ( x 3; y 1) x y 31 b 2( x x) y 0 ( y 1) 3( x x ) ( y 1) c Lời giải x y 2 ( x 1; y 2) x y 15 a u 3v 2 2u 5v 15 u 5 v 1 x 5 y 1 x; y 26; 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm x y 2 ( x 3; y 1) x y 31 b x 22 y 3 x; y 22;3 Vậy hệ phương trình có nghiệm Bài 5: Giải hệ phương trình sau 2( x x) y 0 ( y 1) 3( x x ) ( y 1) Lời giải 2( x x) y 0 ( y 1) 3( x x ) ( y 1) Ta có: x x y 2 x 1 y 3 x; y 1;3 Vậy hệ phương trình có nghiệm Bài 6: Giải hệ phương trình sau x y 6 ( x 7; y 6) 13 x y 6 a 5 x y 7 x x 0 ĐK : 2 y y x x y y 13 b Lời giải 11 x 26 y x y 3 ( x 7; y 6) 13 x y 6 a x 3 x 16 x 3 1 y 6 y 30 y 6 x; y 16;30 Vậy hệ phương trình có nghiệm 5 x y 7 2 x x y y 13 b 5 x y 7 4 x y 13 5u 3v 7 4u 5v 13 x 2 y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm: (3;-1); (3;-3); (-1;-1); (-1;-3) Bài 7: Giải hệ phương trình sau a 7 x 13 y 39 5 x 11 y 33 b 2 x y 10 2 x y 5 c ( x 3) y 6 3( x 2) y 7 Lời giải 7u 13v 39 x u 0; y v u 11 v 33 a Đặt x 0 y x; y 0; 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm b Đặt x u 0 y v 0 2u v 10 u 2v 5 u 5 x 5 v 0 y 0 x; y 5;0 ; 5;0 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm c Đặt ( x 3) u 0 v y u 2v 6 3u 5v 7 u 4 v x ( x 3) 4 x y v x; y 1; 1 ; 5; 1 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm Bài 8: Giải hệ phương trình sau a 2( x 1)2 y 7 5( x 1) y 4 b Lời giải 12 x 2( y y ) 10 2 3 x ( y y ) 9 u x 0 v y2 y b) Đặt u 2v 10 6u 2v 18 u 4 ( x; y ) (2;1); (2; 3); ( 2;1); ( 2; 3) v 3 x; y (2;1), (2; 3), ( 2;1), ( 2; 3) Vậy hệ phương trình có nghiệm Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước Cách giải: Ta thường sử dụng kiến thức sau - Hệ phương trình bậc hai ẩn có nghiệm ax0 by0 c a ' x0 b ' y0 c ' x0 ; y0 M x ; y ax0 by0 c - Đường thẳng d : ax by c qua điểm 0 Bài 1: Xác định hệ số a b , biết hệ phương trình sau: 1; 1 a) b) 4 x ay 6 bx 2ay 8 có nghiệm là: I 2; Lời giải 1; 1 a) Vì nghiệm phương trình (I), nên thay giá trị vào hệ phương trình (I) 4.1 a 1 6 b a ta được: a 6 b 2a 8 a b 8 2a Vậy a 2; b 12 13 a b 12 4 a.3 6 a 2 b 2a.3 8 b 2a.3 b) Tương tự ta có: a 2 b 6 a 2 a 2 ; b 10 b 10 Vậy Bài 2: (3a b) x (4a b 1) y 35 Cho hệ phương trình: bx 4ay 29 Tìm giá trị a, b để hệ phương trình 1; 3 có nghiệm Lời giải Thay x 1; y vào hệ phương trình ta được: 3a b 4a b 1 35 b.1 4a 3 29 3a b 12a 3b 35 b 12a 29 9a 4b 38 b 12a 29 a b 5 Vậy a 2; b 5 Bài 3: Biết rằng: Đa thức P x P a 0 chia hết cho đa thức x a Hãy tìm giá trị m n cho đa thức sau đồng thời chia hết cho x x : P x mx3 m x 2n 1 x 3n Lời giải Theo giả thiết P x đồng thời chia hết cho đa thức x x , ta có: 14 P 0 P 1 0 m m 2n 1 3n 0 m.1 m 2n 1 3n 0 4m n 18 2m n 6 4m 2m 18 n 6 2m m 18m 24 n 6 2m n 10 Vậy m 10 n Bài 4: d : mx 3n y 6; d : 3m 1 x 2ny 56 Cho hai đường thẳng I 2; Tìm giá trị tham số m n để d1 , d cắt điểm Lời giải 2m 3n 6 I d1 I d m n 56 I 2; d , d Vì cắt điểm nên Vậy m 8; n giá trị cần tìm Bài 5: Tuyển sinh vào 10, Bắc Ninh năm 2011 - 2012 x y 5m Cho hệ phương trình: x y 2 , m tham số a Giải hệ phương trình m 1 b Tìm m để hệ có nghiệm x, y 2 thỏa mãn x y 1 Lời giải 2 x y 5m x y Hệ phương trình tương đương x 2m y m x 2 m a Với ta được: y 0 2 x, y b Hệ có nghiệm thỏa mãn x y 1 khi: 15 m 8 n 4m 2(m 1)2 1 2m 4m 0 m Vậy m 10 10 giá trị cần tìm Bài 6: (m 1) x y m(1) x, y Cho hệ phương trình: x (m 1) y 2(2) , m tham số, giả sử hệ có nghiệm a Tìm đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m b Tìm giá trị m thỏa mãn x y 1 2x 3y c Tìm giá trị nguyên m để biểu thức x y nhận giá trị nguyên Lời giải a Từ (1) ta có: y m m 1 x , thay vào phương trình (2) ta được: x m 1 m m 1 x 2 m 2m x m m m m x m m 1 m 1 x m 0 m m 2 y m Hệ phương trình có nghiệm m 1 x m x y 1 y Ta có: m hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m y 1 x y 1 x y 1; 2( y 1) y 1 y y 0 y 1 b Ta có: +) Với y 1 1 m 1 m 1 y m 2(loai ) m +) Với Vậy m 1 giá trị cần tìm x y 2( y 1) y y 2m 5 2 Z Z x y y y m m m c Ta có 16 m 1; 5 m 1; 3;3; 7 Vậy m 1; 3;3; 7 Bài 7: (2m 1) x y 3m Cho hệ phương trình: (m 3) x (m 1) y 2m (1) (2) a Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x; y b Tìm m để hệ có nghiệm thỏa mãn x 2 y 2 x; y c Tìm m để hệ có nghiệm cho P x y đạt giá trị nhỏ Lời giải Từ (1) y (m 3) x (2m 1) x 3m thay vào phương trình (2) ta được: (m 1) 2m 1 x 3m 2m 3(m 3) x (m 1)(2m 1) x (m 1)(3m 2) 6m 2(m 4) x 3m 5m (*) a Hệ có nghiệm (*) có nghiệm m 0 3m 5m 0 m 0 m 2 m 2 Vậy điều kiện: m 2 b Hệ có nghiệm m 0 m 2 (2m 1)(3m 1) 3m (3m 1)(m 2) 3m 3 m 2(m 2) (*) x y 2(m 2)(m 2) 2( m 2) 2(m 2) Khi đó: Do đó: m 0 3m 2(3 m) 5m m x 2 y 0 m 0 2(m 2) 2(m 2) 2(m 2) m Vậy m m m giá trị cần tìm c Hệ có nghiệm m 2 , nghiệm hệ là: 17 m 1 m 3m x 2(m 2) (3m 1) 3(3 m) 3m 3m P 4(m 2) 4( m 2) m 4m y 3 m 2(m 2) (3m 4) P 0 P m (m 2) BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Giải hệ phương trình sau x y 3 a 3x y 2 b x y 1 2 5 x y 3 Hướng dẫn x y 3 a) 3 x y 2 x 10 y 7 b) 18 x y 1 2 5 x y 3 x 3 y Bài 2: Giải hệ phương trình sau 2( x y ) 3( x y ) 4 a ( x y ) 2( x y ) 5 ( x 1)( y 1) xy b ( x 3)( y 3) xy Hướng dẫn 1 x 2( x y ) 3( x y ) 4 ( x y ) 2( x y ) y 13 a) ( x 1)( y 1) xy b) ( x 3)( y 3) xy x y Bài 3: Giải hệ phương trình sau x y 2 1 a x 2 y 1 x y x y 8 b x y x y Hướng dẫn x y 2 1 a) x 2 y 19 x 19 x; y ; 3 y 4 18 x x y x y 8 18 x; y ; 5 y 4 b) x y x y Bài 4: (3a 2) x 2(2b 1) y 30 Cho hệ phương trình (a 2) x 2(3b 1) y 20 Tìm giá trị a, b để hệ phương trình có nghiệm 3; 1 Hướng dẫn Thay x 3; y vào hệ phương trình ta a 2; b 19
Ngày đăng: 10/08/2023, 04:49
Xem thêm: