Đs9 c3 5 giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

GIẢI BÀI TỐN BẲNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH A Kiến thức Các bước giải toán cách lập hệ phương trình: Bước 1: Lập hệ phương trình - Chọn ẩn số đặt điều kiện, đơn vị thích hợp cho ẩn số - Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết - Lập hệ phương trình biểu thị tương quan đại lượng Bước 2: Giải hệ phương trình vừa tìm Bước 3: Kết luận - Kiểm tra xem nghiệm hệ phương trình, nghiệm thỏa mãn điều kiện ẩn - Kết luận toán B Các dạng toán Dạng 1: Toán quan hệ số Cách giải: - Biểu diễn số có hai chữ số: ab 10a  b(0  a 9) - Biểu diễn số có ba chữ số: abc 100a  10b  c(0  a 9) 1  - Tổng nghịch đảo hai số x, y là: x y Bài 1: Tổng chữ số số có hai chữ số Nếu thêm vào số 63 đơn vị số thu viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại Hãy tìm số đó? Lời giải Gọi chữ số hàng chục x (  x 9; x  N ) Gọi chữ số hàng đơn vị y (  y 9; y  N ) Vì tổng hai chữ số nên: x  y 9(1) Số cần tìm là: xy 10 x  y  yx 10 y  x  x 1 xy  63  yx  10 x  y  63 10 y  x (2)    xy 18 y   Ta có: Vậy số cần tìm 18 Bài 2: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tổng bình phương 85 Lời giải Gọi số bé x ( x  N ; x  85) Gọi số lớn y ( y  N ; y  85)  x 1  y  x 6   2 Theo ta có:  x  y 85  y 7 Vậy hai số tự nhiên cần tìm Bài 3: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, tổng chữ số 11, đổi chỗ hai chữ số hàng chục hàng đơn vị cho số tăng thêm 27 đơn vị Lời giải Gọi số có hai chữ số là: ab(a, b  0; a, b 9; a  b 11) a  b 11    10b  a  (10a  b) 27 a 4  b 7 Vậy số tự nhiên cần tìm 47 Bài 4: Tìm số tự nhiên có ba chữ số, tổng chữ số 17, chữ số hàng chục 4, đổi chỗ chữ số hàng trăm hàng đơn vị cho số giảm 99 đơn vị Lời giải  x  y 13  x 6 x4 y     647 100 x  40  y  (100 y  40  x )  99 y    Gọi số cần tìm là: Vậy số tự nhiên cần tìm 647 Bài 5: Tìm tất số tự nhiên có hai chữ số, biết chữ số hàng đơn vị nhỏ chữ số hàng chục tích hai chữ số ln lớn tổng hai chữ số 34 Lời giải  a  b 2  a 8 ab(0 a, b 9; a 0)     ab  (a  b) 34 b 6 Gọi chữ số phải tìm là: Vậy số cần tìm 86 Bài 6: Cho số có hai chữ số Nếu đổi chỗ hai chữ số số lớn số cho 63 Tổng số cho số tạo thành 99 Tìm số cho Lời giải Gọi số có hai chữ số là: xy ( x, y 0; x, y  N ) Số ngược lại là: yx Theo ta có:  yx  xy 63    yx  xy 99  x 1   y 8 Vậy số cần tìm 18 Bài 7: Trong phịng học có số bàn, nếp xếp bàn học sinh học sinh khơng có chỗ ngồi, xếp bàn học sinh thừa bàn Hỏi lớp có bàn học sinh Lời giải xZ - Gọi số bàn x  - Gọi số học sinh   y yZ - Nếu xếp bàn học sinh số học sinh 3x Cịn học sinh khơng có chỗ nên số học sinh 3x   3x   y (1) - Nếu xếp bàn học sinh thừa bàn nên số học sinh là: 4( x  1)  4( x  1)  y (2) Từ (1)(2)  x 10; y 36 Vậy lớp có 10 bàn 36 học sinh Bài 8: Đem số có hai chữ số nhân với tổng chữ số 405 Nếu lấy số viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại nhân với tổng chữ số 486 Hãy tìm số có hai chữ số Lời giải Gọi chữ số hàng chục x , chữ số hàng đơn vị y ( x, y  N ;0  x, y 9 ) (10 x  y )( x  y ) 405    (10 y  x )( x  y ) 486  x 5   y 4 Vậy số cần tìm 54 Bài 9: Tìm số có hai chữ số, biết lấy bình phương số trừ bình phương số gồm hai chữ số số phải tìm viết theo thứ tự ngược lại số phương Lời giải 2 Gọi số phải tìm là: xy ( x, y, n  N ;0  y  x 9)  xy  yx n (1) VT  1 (10 x  y )  (10 y  x) 99 x  99 y 32.11.( x  y )( x  y )  x  y 11 ( x  y )( x  y ) 11    x  y 11 Để tích số phương Do  y  x 9  x  y 9;1 x  y 17  thừa số chia hết cho 11 là: x  y 2 Khi (1) trở thành: 11 ( x  y ) n  x  y số phương Mà: x  y 9  x  y   1; 4;9  x  y 1  x 6   +)  x  y 11  y 5 2 Thử lại: 65  56 33 +) Hai trường hợp lại bị loại Bài 10: Tuyển sinh Bắc Giang, 2013 Tìm hai số tự nhiên 12 đơn vị biết tích chúng 20 lần số lớn cộng với lần số bé Lời giải Cách 1: giải cách lập phương trình Gọi số bé x x N  Khi số lớn x  12 Vì tích chúng 20 lần số lớn cộng với lần số bé nên ta có phương trình: x.( x  12) 20( x  12)  x  x 24 Vậy số bé 24; số lớn 36 Cách 2: giải cách lập hệ phương trình Gọi số lớn x Gọi số bé y ( x, y  N ; x  y ) Ta có hệ phương trình  x  y 12  x 24    xy 20 x  y  y 36 Dạng 2: Chuyển động sông nước Phương pháp: Nắm vững công thức sau - Nếu gọi quãng đường S ; Vận tốc v ; Thời gian t , ta có cơng thức sau: S S S vt ; v  ; t  t v - Gọi vận tốc thực canô v1 ; vận tốc dịng nước v2 , ta có: + Vận tốc canơ xi dịng v1  v2 + Vận tốc canơ ngược dịng v1  v2 Từ ta có vxuoi  vnguoc 2.vthuc Bài 1: Hai ca nô khởi hành từ A đến B cách 85km ngược chiều Sau 40 phút gặp Tính vận tốc thật ca nô, biết vận tốc ca nô xi dịng lớn vận tốc ca nơ ngược dòng nước 3km / h (vận tốc thật ca nô không đổi) Lời giải x km / h   x   Gọi vận tốc thật ca nơ xi dịng  y km / h   y  3 Vận tốc thật ca nơ ngược dịng  Vận tốc ca nơ xi dịng x   km / h  Vận tốc ca nô ngược dòng y   km / h   ( x  3)  ( y  3) 9 (1) ( x  3)  km  Qng đường ca nơ xi dịng 5 ( y  3)  ( x  3)  ( y  3) 85 3 Quãng đường ca nơ ngược dịng  x 27; y 24 Từ     (2) Bài 2: Một ca nơ chạy xi dịng khúc sông dài 64  km  72  km  , chạy ngược dịng khúc sơng 120  km  32 km hết tất 7h Nếu ca nơ chạy xi dịng chạy ngược dịng   hết 7h Tính vận tốc riêng ca nô vận tốc nước Lời giải x km / h  Gọi vận tốc riêng ca nô  y km / h   x, y   Gọi vận tốc nước  Vận tốc ca nơ xi dịng x  y  t xuôi  Vận tốc ca nô ngược dòng 72 ( h) x y x  y  tnguoc  64 ( h) x y 64  72  x  y  x  y 7  x 20     y 4  120  32 7 Ta có hệ phương trình  x  y x  y Vậy vận tốc riêng canô 20  km / h  km / h  vận tốc dòng nước  Bài 3: Tuyển sinh Hà Nội, năm 2015 - 2016 Một tàu tuần tra chạy ngược dịng 6km Sau chạy xi dịng 48km dịng km / h  song có vận tốc dịng nước  Tính vận tốc tàu tuần tra nước yên lặng, biết thời gian xi dịng thời gian ngược dịng Lời giải Cách 1: Vận tốc ngược dòng x   km / h   thời Gọi vận tốc tàu nước yên lặng 60  h gian ngược dòng x  x  km / h   x   Vận tốc xi dịng x   km / h   thời Theo đầu ta có phương trình: 48 60 1   x 22 x2 x (thỏa mãn) 48  h gian xi dịng x  Vậy vận tốc tàu tuần tra nước yên lặng Vận tốc xi dịng là: 22  km / h  Cách 2: Vxi  Vận tốc ngược dịng là: t h Gọi thời gian tàu chạy xi dịng   Gọi thời gian tàu chạy ngược dòng Ta có: t2  h   Gọi V vận tốc tàu nước yên lặng, Vxuôi Vthuc   48 t1 Vnguoc  60 t2 48 V  t1 48 60 V  2;Vnguoc Vthuc   V  t1 t2 ta có: t1  t2 (1)  60 48  60 48 60 48    2      4(2)   t2 t1  4t12  16t12  48 0  t2 t1 t t1 t  t 1 2  t1   t 2  V 22( km / h) 1 Bài 4: Tuyển sinh Hà Nội, năm 2000 Một ca nô chạy song giờ, xuôi dòng 81 km ngược dòng 105 km Một lần khác chạy khúc song đó, ca nơ chạy giờ, xi dịng 54 km ngược dịng 42 km Hãy tính vận tốc xi dịng ngược dịng ca nơ, biết vận tốc dịng nước vận tốc riêng ca nơ khơng đổi Lời giải Gọi x vận tốc xi dịng ( x  ) Gọi y vận tốc ngược dòng ( y  )  81 105  x  y 8     54  42 4 Ta có hệ phương trình  x y  x 27   y 21 (thỏa mãn) Bài 5: Một thuyền xi dịng ngược dịng khúc sông dài 40km hết 30 phút Biết thời gian thuyền xi dịng 5km thời gian ngược dịng 4km Tính vận tốc dịng nước? Lời giải Gọi x vận tốc thuyền nước yên lặng ( x  ) y vận tốc dòng nước ( y  ) 40 40 Thời gian xi dịng 40km x  y ngược dòng x  y 40  40  x  y  x  y 2 x      y     x  y x  y Dạng 3: Chuyển động đường S S S v.t  v  ; t  t v Cách giải: Áp dụng công thức: Bài 1: Tuyển sinh Nghệ An năm 2014 - 2015 Một ô tô xe máy hai địa điểm A B cách 180km, khởi hành lúc ngược chiều gặp sau Biết vận tốc ô tô lớn vận tốc xe máy 10km/h Tính vận tốc xe? Lời giải x km / h  x  10 Gọi vận tốc ô tô  ( ) y km / h   y  Gọi vận tốc xe máy  ( ) Ta có phương trình: x  y 10 Sau tô được: 2x  km  Sau ô tô được: y  km   1 Theo đầu ta có phương trình x  y 180 (2) Từ (1)(2) ta x 50; y 40(km / h) Bài 2: Tuyển sinh Quảng Ninh năm 2015 Hằng ngày, Nam đạp xe học với vận tốc không đổi quãng đường dài 10km Nam tính tốn thấy đạp xe với vận tốc lớn thời gian học rút ngắn 10 phút so với đạp xe với vận tốc ngày Tuy nhiên, thực tế sang lại khác dự kiến Nam đạp xe với vận tốc lớn nửa quãng đường (dài 5km), nửa qng đường cịn lại đường phố đơng đúc nên Nam đạp xe với vận tốc ngày Vì vậy, thời gian đạp xe học sáng Nam 35 phút Hãy tính vận tốc đạp xe ngày vận tốc xe đạp lớn Nam (lấy đơn vị vận tốc km/h) Lời giải x km / h   x   Gọi vận tốc đạp xe ngày Nam  y km / h   y   Vận tốc xe đạp lớn Nam  10  h Thời gian Nam học đạp xe với vận tốc ngày x 10  h Thời gian Nam học đạp xe với vận tốc lớn y Thời gian đạp xe đến trường theo dự kiến thời gian đạp xe đến trường ngày 10 10 10  (h) y phút nên ta có: x = 5 7    ( h) x y 12 12 Thời gian đạp xe thực tế hơm 35 phút nên ta có: 10 10  x  y 6  x 15     y 20 5   Ta có hệ phương trình:  x y 12 Vậy vận tốc đạp xe ngày 15 (km/h) Vận tốc đạp xe lớn 20 (km/h) Bài 3: Một ô tô quãng đường AB với vận tốc 50km/h tiếp quãng đường BC với vận tốc 45km/h Biết quãng đường tổng cộng dài 165km thời gian ô tô quãng đường AB thời gian quãng đường BC 30 phút Tính thời gian tơ mơi quãng đường? Lời giải x h x    S AB 50 x Gọi thời gian ô tô quãng đường AB    10 y h y    S BC 45 y Gọi thời gian ô tô quãng đường BC    50 x  45 y 165 x      x  0,5  y y  Bài 4: Một ô tô mô tô từ A đến B dài 120km Xe ô tô đến sớm xe mô tô Lúc trở xe mô tô tăng vận tốc thêm 5km/h giờ, xe ô tô giữ nguyên vận tốc dừng lại nghỉ địa điểm đường hết 40 phút, sau đến A lúc với xe mơ tơ Tính vận tốc ban đầu xe, biết hay hai xe xuất phát lúc Lời giải Gọi vận tốc xe ô tô mô tô x y ( x, y  )  120 120 1  (1) x y 120 120   (2) Lại có tiếp: y  x Từ (1)(2) ta có x 60; y 40( km / h) 11 Dạng 4: Toán có nội dung hình học Cách giải: - Ghi nhớ cơng thức tính chu vi diện tích loại hình sau +) Chu vi tam giác: Bằng tổng độ dài ba cạnh +) Chu vi hình chữ nhật:  a  b  - Diện tích hình: Tam giác, hình chữ nhật, tam giác vng, hình vng, hình thang Bài 1: Một hình thang có diện tích 140cm 2, chiều cao 8cm Tính độ dài đáy hình thang, biết chúng 5cm Lời giải  ( x  y ).8 140  x  y 35  x 20      x  y    y 15  Ta có:  x  y 5 Vậy độ dài hai đáy hình thang 20 15cm Bài 2: Tuyển sinh vào 10 Bắc Ninh, năm học 2012 - 2012 Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 34m Nếu tăng thêm chiều dài 3m chiều rộng 2m diện tích tăng thêm 45m2 Hãy tính chiều dài chiều rộng mảnh vườn? Lời giải Gọi chiều dài mảnh vườn x  m  Gọi chiều rộng y  m    x, y  17  12  x  y 17  x 12   Theo ta có hệ phương trình ( x  3)( y  2) xy  45  y 5 Vậy chiều dài 12 (m); chiều rộng 5(m) Bài 3: Tuyển sinh vào 10 Bắc Ninh, năm học 2015 Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 28m Đường chéo hình chữ nhật dài 10 Tính chiều dài chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật Lời giải Gọi chiều dài x  m    x  28 Gọi chiều rộng hình chữ nhật y  m   x  y   Chu vi hình chữ nhật 28m nên x  y 14 x  y 100 Đường chéo hình chữ nhật 10m nên  x  y 14  2 Vậy ta có hệ phương trình  x  y 100 x; y  6;8 Giải hệ phương trình ta nhận     Bài 5: Tuyển sinh vào 10 Hải Dương, năm học 2014 Một sân trường hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng 16 mét Hai lần chiều dài lần chiều rộng 28 mét Tính chiều dài chiều rộng sân trường? Lời giải x m , y m x  y  16  Gọi chiều dài chiều rộng sân trường hình chữ nhật       x  y 16   x  y  28  Theo ta có hệ Vậy chiều dài 36  m   x 36   y 20 chiều rộng 20  m  Bài 6: Tuyển sinh vào 10 Thái Bình, năm học 2015 - 2016 Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 168 m Nếu giảm chiều dài 1m tăng chiều rộng thêm 1m mảnh vườn trở thành hình vng Tính chiều dài, chiều rộng mảnh vườn Lời giải 13 Gọi chiều dài chiều rộng Diện tích mảnh vườn x, y  m   x  y   168m2  xy 168  1 Giảm chiều dài 1m tăng chều rộng 1m mảnh vườn hình vng nên ta có x   y   x  y  (2) Thế vào ta được: y  y  168 0  y 12  x 14 Vậy chiều dài 14m, chiều rộng 12m Bài 7: Tuyển sinh vào 10 Bắc Giang, năm học 2015 Nhà bạn Dũng ông bà Nội cho mảnh đất hình chữ nhật Khi bạn Nam đến nhà bạn Dũng chơi, Dũng Nam tìm kích thước mảnh đất cho biết: mảnh đất có chiều dài gấp bốn lần chiều rộng giảm chiều rộng 2m, tăng chiều dài lên gấp đơi diện tích mảnh đất tăng thêm 20m2 Các em giúp Nam tìm chiều dài chiều rộng mảnh đất nhà bạn Dũng Lời giải Cách 1: Giải cách lập phương trình x m x  2 Gọi chiều rộng mảnh đất    Vậy chiều dài là: 4x  m  Diện tích mảnh đất là: 4x  m  Diện tích mảnh đất sau giảm chiều rộng 2m tăng chiều dài lên gấp đôi là: x  x   Theo ta có phương trình: x( x  2)  x 20  x 5 m 20 m Vậy chiều rộng   ; chiều dài   Cách 2: Giải cách lập hệ phương trình x m Gọi chiều dài   y m Gọi chiều rộng   14  x 4 y  S x y 4 y 2 Diện tích là: x.( y  2) 4 y  20  y  y  0  y 5  x 20 m 20 m Vậy chiều rộng   ; chiều dài   Dạng 5: Tốn làm chung cơng việc Cách giải: - Nếu đội (người) làm xong công việc x (đơn vị thời gian: Ngày, gừo, phút, ) đơn vị thời gian đội (người) làm x cơng việc (xem tồn cơng việc  ) - Nếu vịi nước chảy đầy bể x (đơn vị thời gian: Ngày, giừo, phút, ) đơn vị thười gian vịi nước chảy x (bể) - Ta thường xem tồn cơng việc Bài 1: Hai công nhân làm chung công việc 16 xong Nếu người thứ làm giờ, người thứ hai làm họ làm cơng việc Hỏi cơng nhân làm xong cơng việc Lời giải x h x  0 Gọi thời gian người thứ làm xong công việc    y h y  0 Gọi thời gian người thứ hai làm xong công việc    15 Trong 1(h) người thứ làm x công việc Trong 1(h) người thứ hai làm y công việc 1 1  x  y 16  x 24     y 48   1 Ta có hệ phương trình  x y 24  h  Vậy thời gian người thứ hồn làm xong cơng việc thời gian người thứ hai hồn làm xong cơng việc 48  h  Bài 2: Hai vịi nước chảy vào bể khơng có nước 6(h) đầy bể Nếu vịi chảy riêng cho đầy bể vịi thứ hai cần nhiều vòi thứ Hỏi chảy riêng vịi chảy đầy bể bao lâu? Lời giải Ta có hệ phương trình 1 1    x y   y  x 5   x 10   y 15 Vậy vòi thứ chảy 10 Vòi thứ hai chảy 15 đầy bể Bài 3: Hai tổ công nhân làm chung công việc dự định hồn thành cơng việc Nhưng làm chung tổ điều động làm việc khác Do cải tiến cách làm suất tổ tăng 1,5 lần nên tổ hồn thành nốt phần cơng việc lại Hỏi với suất ban đầu, tổ làm sau xong công việc? Lời giải 16 x h Gọi thời gian để minh tổ làm xong công việc   y h x  6; y   Thời gian tổ làm xong công việc    Trong tổ làm x công việc 1 1    (1) x y Trong 1(h) người thứ hai làm y công việc 1 1 5   Trong làm hai tổ làm  x y  Trong 2(h) tổ làm với suất 1,5 lần nên được: 1,5  x x công việc  x 18( h) 1  5(  )  1(2)   x y x  y 9(h) Vậy thời gian tổ một làm xong cơng việc 18  h  h Vậy thời gian tổ một làm xong cơng việc   Bài 4: Hai máy cày có cơng suất khác làm việc cày cánh đồng 15 Nếu máy cày 12 giờ, máy cày 20 hai máy cày 20% cánh đồng Hỏi máy làm việc riêng cày xong cánh đồng bao lâu? Lời giải x h y h x, y  90  Gọi   ,   thời gian để máy thứ nhất, thứ hai cày xong cánh đồng  15 15  x  y 6    12  20  Ta có hệ phương trình  x y  x 300   y 200 Bài 5: Hai máy bơm nước vào ruộng Nếu cho máy thứ bơm suốt mở máy thứ hai bơm them đầy bể Nếu cho máy bơm thứ bơm suốt 16 17 30 phút mở máy thứ hai bơm them đầy ruộng Nếu dung máy bơm phải bơm nước đầy ruộng? Lời giải x h Gọi thời gian máy bơm đầy bể   y h x  y  1 Gọi thời gian máy bơm đầy bể    1 8  x  4( x  y ) 1     21  3(  ) 1 x y Ta có hệ phương trình  x Vậy thời gian máy bơm đầy bể thời gian máy bơm đầy bể  x 18   y 12 18  h  12  h  Dạng 6: Toán tỉ số phần trăm Cách giải: a a%  100 - Chú ý rằng: a - Tỉ số hai số a b b Bài 1: Hai tổ sản xuất giao làm 800 sản phẩm thời gian quy định, nhờ tăng suất lao động, tổ vượt mức 10%, tổ hai vượt mức 20% nên hai tổ làm 910 sản phẩm Tính số sản phẩm phải làm theo kế hoạch tổ? Lời giải * Gọi số sản phẩm tổ 1,2 theo kế hoạch x, y ( x, y  N ; x, y  800 )  x  y 800 (1) 18 10 x Nhờ tăng suất lao động, tổ vượt mức 10% tức là: 100 20 y Nhờ tăng suất lao động, tổ vượt mức 10% tức là: 100 Vì hai tổ làm 910 sản phẩm nên: (x  10 20 x )  ( y  y ) 910(2) 100 100  x  y 800  x 500    Từ (1)(2) 2  y 910  y 300 Vậy số sản phẩm tổ làm 500 (sản phẩm) số sản phẩm tổ làm 300 (sản phẩm) Bài 2: Hai trường A B có 420 học sinh đỗ vào 10 đạt tỷ lệ 84% Riêng trường A tỷ lệ đỗ 80%, trường B tỷ lệ đỗ 90% Tính số học sinh dự thi trường Lời giải x, y  x , y   Gọi số học sinh dự thi trường A, B 100   x  y 420    80 x  90 y 420 Ta có hệ phương trình 100 100 x   y  Bài 3: Trong tháng đầu, hai tổ công nhân sản xuất 800 chi tiết máy, sang tháng thứ hai, tổ vượt mức 15% tổ vượt mức 20%, cuối tháng hai tổ sản xuất 945 chi tiết máy Hỏi tháng tổ công nhân sản xuất chi tiết máy? Tháng Tháng Phương trình tổ 800 945 Tổ x 115%.x Tổ y 120%.y  x  y 800  x 300   115%.x  120% y 945  y 500 19