Bài 5 giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

CHƯƠNG 2: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN BÀI GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH Mục tiêu  Kiến thức + Trình bày áp dụng bước giải toán cách lập hệ phương trình để giải tốn  Kĩ + Biết cách giải trình bày lời giải tốn sau cách lập hệ phương trình: o Bài toán chuyển động o Bài toán liên quan đến hình học o Bài tốn cơng việc o Bài tốn có sử dụng kiến thức phần trăm o Bài tốn tìm số o Bài tốn tìm tuổi Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Các bước giải tốn cách lập hệ Ví dụ: Lúc 7h sáng xe từ tỉnh A phương trình: vào tỉnh B, quãng đường dài 200km Cùng lúc Bước Lập hệ phương trình xe tải từ tỉnh B tỉnh A hai xe gặp - Chọn ẩn số đặt điều kiện thích hợp cho ẩn Tính vận tốc xe biết số vận tốc xe lớn vận tốc xe tải 20km/h - Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn Hướng dẫn giải đại lượng biết Gọi vận tốc xe xe tải x - Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ (km/h); y (km/h) (x > y > 0) đại lượng Quãng đường xe sau 2.x (km) Bước Giải hệ phương trình Quãng đường xe tải sau 2.y (km) Bước Kết luận Vì sau hai xe gặp nên ta Kiểm tra xem nghiệm hệ phương có phương trình x  y 200  1 trình, nghiệm thỏa mãn điều kiện ẩn, nghiệm không, kết luận Mặt khác vận tốc xe lớn vận tốc xe tải 20 (km/h) nên ta có phương trình x  y 20   Từ (1) (2) ta có hệ phương trình 2 x  y 200   x  y 20 Giải hệ phương trình 2 x  y 200    x  y 20  x  y 100   x  y 20 2 x 120   y x  20  x 60   y x  20  x 60   y 40 Với x 60 km / h; y 40 km / h thỏa mãn điều kiện x > y > Vậy vận tốc xe 60 (km/h); vận tốc xe tải 40 (km/h) II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Giải toán chuyển động cách lập hệ phương trình Phương pháp giải Trang Thực theo bước sau Ví dụ: Một tơ từ A dự định đến B lúc Bước Lập hệ phương trình sáng Nếu xe chạy với vận tốc 30(km/h) đến - Chọn ẩn số đặt điều kiện thích hợp cho ẩn B chậm Nếu chạy với vận tốc 60(km/h) số (chọn đại lượng vận tốc, thời tới sớm Tính độ dài quãng đường AB, thời gian, quãng đường làm ẩn) điểm mà ô tô xuất phát - Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn Hướng dẫn giải đại lượng biết Gọi thời gian ô tô từ A đến B với vận tốc 30 s s s v t; t  ; v  v t (km/h) x (h) Gọi thời gian ô tô từ A đến B với vận tốc 60 Với s quãng đường đơn vị (km); (m) (km/ h) y (h) (x > y > 0) t thời gian với đơn vị giờ; phút; giây Quãng đường AB v vận tốc với đơn vị (km/h); (m/s) Bước Giải hệ phương trình Bước Kiểm tra xem nghiệm hệ phương trình, nghiệm thỏa mãn điều kiện ẩn, nghiệm không, kết luận S 30 x 60 y  30 x  60 y 0  1 Theo ra, xe chạy với vận tốc 30 (km/h) đến B chậm giờ, xe chạy với vận tốc 60 (km/h) tới B sớm nên ta có phương trình x  y 2   30 x  60 y 0 Từ (1), (2) ta có hệ   x  y 2  x  y 2    x  y 0  x  y 2    y 2  x 4   y 2 (thỏa mãn điều kiện) Vậy quãng đường AB S 30.4 120 (km) Thời gian ô tô dự định  3 (giờ) Thời điểm xe ô tô xuất phát  6 (giờ) Ví dụ mẫu Ví dụ Bác Chiến xe đạp từ thị trấn làng, bác Sơn xe đạp từ làng lên thị trấn Họ gặp bác Chiến rưỡi, bác Sơn Một lần khác hai người từ hai địa điểm khởi hành đồng thời, sau 15 phút họ cách 10,5km Tính vận tốc người biết khoảng cách từ làng lên thị trấn 38 km Hướng dẫn giải Đổi 15 phút  giờ, rưỡi 1,5 Gọi vận tốc bác Chiến x (km/h), vận tốc bác Sơn y (km/h) (x; y > 0) Quãng đường bác Chiến sau rưỡi 1,5.x (km) Quãng đường bác Sơn sau 2.y (km) Trang Mà quãng đường từ thị trấn làng dài 38km nên 1,5x  y 38  1 Quãng đường bác Chiến sau 15 phút Quãng đường Bác Sơn sau 15 phút x (km) y (km) Sau 15 phút hai bác cách 10,5 (km) Mà quãng đường từ thị trấn làng dài 38 km nên 5 x  y 27,5   4 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình 1,5x  y 38   5  x  y 27,5 3x  y 76    x  y 22 3 x  y 76   3x  3y 66  y 10    x  y 22  y 10 (thỏa mãn điều kiện)   x 12 Vậy vận tốc bác Chiến 12 (km/h); vận tốc bác Sơn 10 (km/h) Hai xe xuất phát ngược chiều xe từ A xe từ B gặp tổng quãng đường hai xe quãng đường AB Ví dụ Tìm vận tốc chiều dài đoàn tàu hoả biết đoàn tàu chạy ngang qua văn phòng ga từ đầu máy đến hết toa cuối giây Cho biết sân ga dài 378 m thời gian kể từ đầu máy bắt đầu vào sân ga toa cuối rời khỏi sân ga 25 giây Hướng dẫn giải Gọi x (m/s) vận tốc đoàn tàu ( x  ) Gọi y (m) chiều dài đoàn tàu ( y  ) Tàu chạy ngang văn phòng ga giây nghĩa giây tàu di chuyển quãng đường chiều dài tàu Ta có phương trình y 7 x  1 Khi đầu máy bắt đầu vào sân ga dài 378 m toa cuối rời khỏi sân ga 25 giây nghĩa 25 giây tàu di chuyển quãng đường chiều dài tàu cộng với 378 m Ta có phương trình y  378 25x   Từ (1) (2) ta có hệ phương trình 7 x  y 0   25x  y 378 7 x  y 0   18 x 378 7 x  y 0    x 21  y 147   x 21 (thỏa mãn điều kiện) Vậy vận tốc đoàn tàu 21(m/s); chiều dài đồn tàu 147 m Bài tốn 2: Giải tốn chuyển động liên quan tới dịng nước cách lập hệ phương trình Phương pháp giải Thực theo bước sau Ví dụ: Một thuyền xi, ngược dịng Bước Lập hệ phương trình khúc sông dài 40 km hết 30 phút Biết thời Trang - Chọn ẩn số đặt điều kiện thích hợp cho ẩn gian thuyền xi dịng km thời gian thuyền số (chọn đại lượng vận tốc, thời ngược dịng km Tính vận tốc dòng nước gian, quãng đường làm ẩn) Hướng dẫn giải - Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết s s s v t; t  ; v  v t Đổi 30 phút  Gọi x (km/h) vận tốc thuyền nước yên lặng Với s quãng đường đơn vị (km); (m) Gọi y (km/h) vận tốc dòng nước (x > y > 0) t thời gian với đơn vị giờ; phút; giây Vận tốc ca nơ xi dịng x + y (km/h) v vận tốc với đơn vị (km/h); (m/s) Vận tốc ca nơ ngược dịng x - y (km/h) Chú ý: với v0 vận tốc thực ca nơ, vd vận Vì thời gian thuyền xi dịng 5km thời gian tốc dịng nước thuyền ngược dịng 4km nên ta có phương trình Vận tốc xi dịng vx v0  vd   1 xy x y Vận tốc ngược dòng Vn V0  Vd Suy v0  v x  v v ; vd  x n 2 Bước Giải hệ phương trình Vì thuyền xi, ngược dịng khúc sơng dài 40km hết 30 phút nên ta có phương trình Bước Kiểm tra xem nghiệm 40 40    2 xy x y hệ phương trình, nghiệm thỏa mãn điều Từ (1) (2) ta có hệ phương trình kiện ẩn, nghiệm không, kết luận   x  y  x  y 0    40  40   x  y x  y 32  40  x  y  x  y 0    40  40   x  y x  y  72  x  y 2    40  40   x  y x  y   x  y 16    40 2  x  y Trang   x  y 16    1  x  y 20  x  y 16   x  y 20  x 18  (thỏa mãn điều kiện)  y 2 Vậy vận tốc dòng nước (km/h) Ví dụ mẫu Ví dụ Hai ca nô khởi hành từ hai bến Avà B cách 85 km ngược chiều Sau 40 phút hai ca nơ gặp Tính vận tốc riêng canơ, biết vận tốc ca nơ xi dịng lớn vận tốc ca nơ ngược dịng 9(km/h) vận tốc dòng nước 3(km/h) Hướng dẫn giải Đổi 40 phút  Giả sử ca nơ từ A xi dịng ca nơ từ B ngược dịng Gọi vận tốc ca nơ xi dịng x (km/h), vận tốc ca nơ ngược dịng y (km/h) (x > y > 0) Quãng đường ca nô từ A sau 5 x (km) 3 Quãng đường ca nô từ B sau 5 y (km) 3 Theo khoảng cách hai bên 85km sau 5 hai ca nô gặp nhau, suy x  y 85  1 3 Mặt khác vận tốc ca nơ xi dịng lớn vận tốc ca nơ ngược dịng (km/h) nên x  y 9   Từ (1) (2) ta có hệ phương trình 5  x  y 85  3  x  y 9  x  y 51    x  y 9  x 30 (thỏa mãn điều kiện)   y 21 Vận tốc riêng ca nô xi dịng x 30  27 (km/h) Vận tốc riêng ca nơ ngược dịng x 21  24 (km/h) Ví dụ Một ca nơ xi dịng 42 km ngược dịng 40 km Vận tốc ca nơ xi dịng lớn vận tốc ca nơ ngược dịng (km/h) Tính vận tốc riêng ca nô biết thời gian ca nô ngược dịng lâu thời gian ca nơ xi dịng Hướng dẫn giải Gọi vận tốc xi dịng ca nơ x (km/h), vận tốc ngược dịng ca nô y (km/h) (x > y > 0) Trang Thời gian ca nơ xi dịng 42 km 42 (giờ) x Thời gian ca nơ ngược dịng 40 km 40 (giờ) y Theo thời gian canơ ngược dịng lâu thời gian canơ xi dịng giờ, suy 40 42  1  1 y x Mặt khác vận tốc ca nơ xi dịng lớn ngược dòng (km/h) Suy x  y 4   Từ (1) (2) ta có hệ phương trình  40 42 1   x  y  x  y 4  42  40 1  40  y    42 y  y  y       y xy   x  y 4  x  y 4  160  y  y  y   x  y 4  y  y  160 0   x  y 4  y  16   y  10  0   x  y 4   y  16     y 10  x  y 4   y 10  (thỏa mãn điều kiện)  x 4 Vậy tốc độ riêng ca nô xy 12 (km/h) Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Một người xe máy từ Chu Lai đến phố cổ Hội An Nếu với vận tốc 35 (km/h) đến nơi Nếu với vận tốc 45 (km/h) đến nơi sớm so với dự định 13 phút 20 giây Tính quãng đường Chu Lai - Hội An chậm so với dự định Câu 2: Quãng đường AB dài 80 km Hai ô tô ngược chiều gặp điểm cách B 50 km Nếu ô tô xuất phát từ A trước ô tô xuất phát từ B 32 phút hai xe gặp qng đường Tìm vận tốc xe Trang Câu 3: Một ca nơ chạy sơng giờ, xi dịng 108 km ngược dòng 63 km Một lần khác ca nơ giờ, xi dịng 81 km ngược dịng 84 km Tính vận tốc dịng nước vận tốc riêng ca nơ Câu 4: Một ca nơ chuyển động xi dịng từ bến A đến bến B sau đỏ chuyển động ngược dòng từ B A hết tổng thời gian Biết quãng đường sông từ A đến B đài 60 km vận tốc dòng nước km/h Tính vận tốc thực ca nơ Dạng 2: Giải bải tốn liên quan đến kiến thức hình học cách lập hệ phương trình Phương pháp giải Thực theo bước sau Ví dụ: Một hình chữ nhật có chu vi 340 m Ba Bước Lập hệ phương trình lần chiều dài lớn bốn lần chiều rộng 20 m - Chọn ẩn số đặt điều kiện thích hợp cho ẩn Tính chiều dài chiều rộng hình chữ nhật số (chọn đại lượng chiều cao, Hướng dẫn giải đáy, chiều dài, chiều rộng, chu vi, diện tích Gọị chiều dài hình chữ nhật x (m), chiều làm ẩn) rộng hình chữ nhật y (m) (x > y > 0) - Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết • Với tam giác S  a.h; C a  b  c Trong S diện tích tam giác, đơn vị km ; m a; b; c độ dài cạnh tam giác, đơn vị km; m; C chu vi tam giác đơn vị km; m; • Với hình vng S a ; C 4 a a độ dài cạnh hình vng đơn vị km; m; • Với hình chữ nhật S a.b; C 2  a  b  Nửa chu vi hình chữ nhật 340 170 (m) Ta có phương trình x  y 170  1 Theo ba lần chiều dài lớn bốn lần chiều rộng 20 m nên 3x  y 20    x  y 170 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình  3 x  y 20 3x  3y 510 7 y 490   3x  y 20  x  y 170  y 70   x  y 170  y 70  (thỏa mãn điều kiện)  x 100 Vậy chiều dài hình chữ nhật 100m, chiều rộng hình chữ nhật 70 m a, b kích thước chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật đơn vị km; m; • Với hình thang S  a  b h a; b độ dài đáy hình thang đơn vị km; m; h chiều cao hình thang đơn vị km; m; • Với hình bình hành Trang S ah; C 2  a  b  a, b độ dài cạnh đáy hình bình hành đơn vị km; m; h chiều cao tương ứng với cạnh đáy hình bình hành đơn vị km; m; • Với hình thoi S  b.c; C 4 a a độ dài cạnh hình thoi đơn vị km; m; b, c độ dài hai đường chéo hình thoi đơn vị km; m; Bước Giải hệ phương trình Bước Kiểm tra xem nghiệm hệ phương trình, nghiệm thỏa mãn điều kiện ẩn, nghiệm không, kết luận Ví dụ mẫu Ví dụ Diện tích hình thang 140 cm , chiều cao cm Xác định chiều dài cạnh đáy, biết cạnh đáy 15cm Hướng dẫn giải Gọi độ dài đáy lớn, đáy nhỏ hình thang x (cm); y (cm) (x > y > 0) Diện tích hình thang 140 cm , chiều cao cm nên ta có phương trình  x  y  140  x  y 35  1 Vì đáy lớn dài đáy bé 15 cm nên x  y 15    x  y 35 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình   x  y 15 2 x 50    x  y 15  x 25 (thỏa mãn điêu kiện)   y 10 Vậy chiều dài đáy lớn 25cm, chiều dài đáy bé 10cm Ví dụ Một tam giác có chiều cao cạnh đáy tương ứng Nếu chiều cao tăng thêm dm cạnh đáy giảm dm diện tích tăng thêm 12 dm Tính chiều cao cạnh đáy cho Hướng dẫn giải Gọi độ dài cạnh đáy tam giác x (dm), độ dài chiều cao cùa tam giác y (dm) (x, y > 0) Trang Diện tích tam giác S  Theo chiều cao x y dm   cạnh đáy suy 3x 4 y  3x  y 0  1 Diện tích tam giác chiều cao tăng thêm dm cạnh đáy giảm dm S   x    y  3  dm  Nếu chiều cao tăng thêm dm cạnh đáy giảm dm diện tích tăng thêm 12 dm suy  x    y  3  xy  12  xy  3y  2y  xy  24  3x  2y 30 (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình 3 x  y 0   3 x  y 30 2 y 30   3 x  y 30  y 15 (thỏa mãn điều kiện)   x 20 Vậy độ dài cạnh đáy 20 dm, độ dài chiều cao 15 dm Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Một hình chữ nhật có diện tích 600 m Nếu bớt cạnh hình chữ nhật m diện tích hình cịn lại 416 m Tìm chiều dài chiều rộng hình chữ nhật Câu 2: Một tam giác cân có chu vi 34 m Tính độ dài cạnh tam giác biết độ dài cạnh bên lớn độ dài cạnh đáy m Dạng 3: Giải toán suất lao động cách lập hệ phương trình Phương pháp giải Thực theo bước sau Ví dụ: Một xí nghiệp theo kế hoạch làm với Bước Lập hệ phương trình suất 60 dụng cụ ngày Thực tế, suất - Chọn ẩn số đặt điều kiện thích hợp cho ẩn ngày xí nghiệp vượt mức kế hoạch 10 dụng cụ số (chọn đại lượng công việc, nên xí nghiệp vượt mức kế hoạch 30 dụng cụ suất, thời gian làm ẩn) xong sớm ngày Tính số dụng cụ xí nghiệp phải - Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn làm theo kế hoạch thời gian xí nghiệp dự định đại lượng biết hoàn thành theo kế hoạch A A A N t; N  ; t  t N Hướng dẫn giải Gọi số dụng cụ mà xí nghiệp dự định làm theo kế A khối lượng công việc, N hoạch x (dụng cụ) suất, t thời gian hoàn thành cơng việc Thời gian xí nghiệp dự định hồn thành theo kế Bước Giải hệ phương trình hoạch y (ngày) (x, y > 0) Bước Kiểm tra xem xong nghiệm Năng suất theo kế hoạch 60 dụng cụ ngày hệ phương trình, nghiệm thỏa mãn điều suy 60 y x  x  60 y 0  1 Trang 10