Bài 3 giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

BÀI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững quy tắc rút - + Biết biến đổi lựa chọn phù hợp để rút ẩn theo ẩn tốn hệ phương trình  Kĩ + Nắm vững phương pháp giải hệ phương trình phương pháp + Giải hệ phương trình quy phương trình bậc hai ẩn + Giải hệ phương trình cách đặt ẩn phụ + Tìm điều kiện tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Quy tắc Quy tắc dùng để biến đổi hệ phương trình Ví dụ: Giải hệ phương trình (I):  x  y 3 x  y 0 thành hệ phương trình tương đương Quy tắc Hướng dẫn giải gồm hai bước Bước Từ phương trình cho (coi phương trình thứ nhất), ta biểu diễn ẩn theo ẩn vào phương trình thứ hai để phương trình (chỉ có ẩn) Bước Dùng phương trình để thay cho phương trình thứ hai hệ (phương trình thứ thường thay hệ thức biểu diễn ẩn theo ẩn có bước 1) Chú ý: Nếu q trình giải hệ phương trình Ta có  I    y 3  x x  y 0  y 3  x  2 x    x  0       y 3  x 3x  0 y 3  x x 1 y 2 x 1 phương pháp thế, ta thấy xuất phương Vậy hệ (I) có nghiệm  x; y   1;  trình có hệ số hai ẩn hệ phương trình cho có vơ số nghiệm vô nghiệm II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Giải hệ phương trình phương pháp Phương pháp giải Thực theo hai bước Bước Từ phương trình cho (coi Ví dụ: Giải hệ phương trình  I  :  x  y 3 x  y 4 phương trình thứ nhất), ta biểu diễn ẩn phương pháp Trang theo ẩn vào phương trình thứ hai để Hướng dẫn giải phương trình (chỉ có ẩn) Bước Dùng phương trình để thay cho phương trình thứ hai hệ (phương trình thứ thường thay hệ thức biểu diễn ẩn theo ẩn có bước 1) Ta có  I       y 3  x  x  y 4   y 3  x  x    x  4  y 3  x y 3  x   x 4 x 5   y 3  x y 1  x 1 x 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y   1;1 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Giải hệ phương trình   x  y 3 phương pháp x  y  Hướng dẫn giải Ta có     x  y 3 x 2 y    x  y  x  y    x 2 y  2  y  3  y   x 2 y  x 2 y  x 1   y   y 2 y 2   Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y   1;  Lưu ý: Trong phương pháp lựa chọn rút x theo y hay rút y theo x nên cố gắng chọn phương trình cho liên hệ y, x có hệ số ngun Ví dụ 2: Giải hệ phương trình  x  y 4 phương pháp x  y 5 Hướng dẫn giải  x  y 4 y 3 x  y  x     Ta có x  y 5 x  y 5 4 x  y 5     y 2 x    4 x  x  5  Vậy hệ phương trình   y 2 x     x  5    y  x   4 x   x   2   y 2 x     x     5   y  x  y 1   x 2  x 2  x  y 4 có nghiệm  x; y   2;1 x  y 5 Lưu ý: Nếu lựa chọn phương trình để liên hệ y, x có hệ số ngun lựa chọn phương trình để liên hệ y, x dễ biến đổi Trang Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Giải hệ phương trình   x  y 5 phương pháp x  y 8  x  y 4 Câu 2: Giải hệ phương trình x  y 11 phương pháp ĐÁP ÁN Câu 1:  3x  y 5 y 5  x   x  y 8 x  y 8     y 5  3x y 5  3x 4 x    x  8  x  10  x 8   y 5  x y 5  3x y 5  x y 2    10  x 8 x 2 x 1 x 1  Vậy hệ phương trình    x  y 5 nhận  x; y   1;  nghiệm x  y 8 Câu 2:    x  y 4 x 3 y  x  y     x  y 11 x  y 11 3 x  y 11   x 2 y     y   y 11 2  x 2 y   17  y 17 2   x  y   3 3  y    y 11     x  y  x 1   y 2  y 2   x  y 4 Vậy hệ phương trình x  y 11 nhận  x; y   1;  nghiệm  Dạng 2: Giải hệ phương trình quy hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp Phương pháp giải Thực theo bước sau Ví dụ: Giải hệ phương trình Bước 1: Nhân khai triển, chuyển vế đưa hệ phương 3  x  1   y  1 4 phương pháp    x     y  1 5 trình phương trình bậc hai ẩn Bước 2: Giải hệ phương trình phương pháp Hướng dẫn giải 3  x  1   y  1 4  Bước 3: Kết luận   x     y  1 5   x   y  4 x  y   x   y  0 x  y 10  y  x   2  4 x  y 10   y  x   2    x   x   10 2  2 Trang 3   y 2 x   4 x  x  10  2   y 2 x    17 17  x 2  y 2 y  x   2  x 1  x 1  3  x  1   y  1 4 Vậy hệ phương trình  có   x     y  1 5 nghiệm  x; y   1;  Ví dụ mẫu  x  y    y  x  1 3 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình  phương pháp  x  y  1  y  x  3 1 Hướng dẫn giải  x  y    y  x  1 3 Xét hệ phương trình   x  y  1  y  x  3 1   xy  x  yx  y 3 x  y 3 y 2 x    xy  x  xy  y 1 x  y 1 x  y 1    y 2 x  y 2 x  y 2 x     x  x   x  x    x         y 2 x  y 1  x 2 x 2   x  y    y  x  1 3 Vậy hệ phương trình  có nghiệm  x; y   2;1  x  y  1  y  x  3 1  x  y  1  y  x  1  Ví dụ 2: Giải hệ phương trình  phương pháp  x  y  1  y   3x   5 Hướng dẫn giải  x  y  1  y  x  1  xy  x  xy  y    xy  x  xy  y 5  x  y  1  y   3x   5       x  y  x  y 5 y  x  x  y 5 Trang  y  x    x    x   5       y  x   x  y  x  x 3 y 1 x 3  x  y  1  y  x  1  Vậy hệ phương trình  có nghiệm  x; y   3;1  x  y  1  y   3x   5 Bài tập tự luyện dạng   x  1   y   9 Câu 1: Giải hệ phương trình  phương pháp 3  x  1  y 6  x  y  1  y  x   7 Câu 2: Giải hệ phương trình  phương pháp  x   y   y  x  1 8   x  y    y  1  Câu 3: Giải hệ phương trình  phương pháp 3  x  1  y 6 3 y  x    x  y  1 5 Câu 4: Giải hệ phương trình  phương pháp 3 x   y   y  x   4 ĐÁP ÁN Câu 1: 2  x  1   y   9 x  y 13   Ta có  3x  y 9 3  x  1  y 6  2 x    x   13  x  14 x 2    y  3x  y 3  y  3x      x  1   y   9 Vậy hệ phương trình  có nghiệm  x; y   2;3 3  x  1  y 6 Câu 2:  x  y  1  y  x   7 xy  x  xy  y 7 x 7  y    Ta có  x  xy  xy  y  x  y 8 x  y  y x           x 7  y x 3    y   y 8  y 2    x  y  1  y  x   7 Vậy hệ phương trình  có nghiệm  x; y   3;   x   y   y  x  1 8 Câu 3:   x  y    y  1  x  y  y   x  y  y 2 x     Ta có  x   y 6 x  y 3 3x  y 3 3  x  1  y 6    Trang  y 2 x   3x   x   3       y 2 x  x  x  3 y 2 x  x  3 y 2 x  x   y 2 x    x   18  y    5 x     x  y    y  1    18  Vậy hệ phương trình  có nghiệm  x; y   ;   7 3  x  1  y 6 Câu 4: 3 y  x    x  y  1 5 yx  y  3xy  x 5  Ta có  x  3xy  xy  y 4 x  y  y x                y  x 5 x  y 4 x  y  x  y 4 x  y  x  y 4  x  y   6   y    y 4         x  y   36 y  30  y 4 x  y   34 y 34 x  y  y  x 1 y  Trang 3 y  x    x  y  1 5 Vậy hệ phương trình  có nghiệm  x; y   1;  1 3 x   y   y  x   4 Dạng 3: Giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp giải Thực theo bước sau 1  x  y 2 Bước Đặt điều kiện Ví dụ: Giải hệ phương trình    1 Bước Đặt ẩn phụ cho biểu thức hệ  x y phương trình để đưa hệ phương trình dạng hệ Hướng dẫn giải phương trình bậc hai ẩn Chú ý điều kiện Điều kiện: x 0 ; y 0 ẩn phụ 1 Bước Sử dụng phương pháp giải hệ phương Đặt a ; b  a, b 0  Hệ phương trình y x trình theo ẩn phụ Bước Với giá trị ẩn phụ tìm thay vào biểu thức đặt ẩn phụ để xác định nghiệm hệ phương trình Bước Kết luận cho trở thành   a  2b 2 3a  4b 1 a  2b 2 a 2  2b  3a  4b 1 3a  4b 1  a 2  2b  3   2b   4b 1     a 2  2b  10b  1 a 2  2b  10b  a 2  2b   b  a 1   b  Với a 1 suy b 1  x 1 (thỏa mãn); x 1 suy   y 2 (thỏa mãn) y 2 Vậy nghiệm hệ phương trình  x; y   1;  Ví dụ mẫu Trang   x   Ví dụ 1: Giải hệ phương trình     x   y 2  y 2 Hướng dẫn giải Điều kiện: x 1 ; y  Đặt 1 b  a, b 0  a ; y 2 x 3a  4b   Hệ phương trình cho trở thành   a  2b  3a  4b    Ta có   a  2b  3a  4b   a   2b    4  3   2b   4b      a   2b   10b     a   2b  b   a   2b   b   a   1   x  3  x 4 (thỏa mãn điều kiện); Với a  suy x b 1   y  2  y 0 (thỏa mãn điều kiện) suy y 2 2 Vậy nghiệm hệ phương trình  x; y   4;0   x   y   Ví dụ 2: Giải hệ phương trình  3 x   y  7 Hướng dẫn giải Điều kiện: x 2 ; y  Đặt x  a ; y  b  a 0; b 0  Hệ phương trình cho trở thành  2a  3b  3a  b 7 Trang 2a  3b  2a  3b    3 7 Giải hệ phương trình 3a  b 7 b  a   21 13  a     3 b  a   2 Với a 1 suy b 2 suy  7 3 2a   a        b  a   2 13 13 2 a2 a 1  (thỏa mãn điều kiện)  3 b 2 b  a   2  x  1  x  1  x 3 (thỏa mãn điều kiện); y  2  y  4  y 3 (thỏa mãn điều kiện)  x   y   Vậy hệ phương trình  có nghiệm  x; y   3;3 3 x   y  7 Bài tập tự luyện dạng  x  y 5 Câu 1: Giải hệ phương trình  2  x  y 4   x  y  x  y 3 Câu 2: Giải hệ phương trình    2  x  y x  y 7 x   y  1 Câu 3: Giải hệ phương trình  3 x   y  6 ĐÁP ÁN Câu 1: 4a  3b 5 Đặt a x  a 0  ; b  y  b 0  ta có hệ phương trình sau a  2b 4  4a  3b 5 Giải hệ phương trình a  2b 4   4   2b   3b 5 4a  3b 5 4a  3b 5 16  8b  3b 5  Ta có a  2b 4  a 4  2b   a 4  2b a 4  2b     16  11b 5 11b 11 b 1 b 1    a 4  2b a 4  2b a 4  2b a 2 (thỏa mãn điều kiện)    Với a 2 suy x 2  x  b 1 suy x 1  x 1  x  y 5 Vậy hệ phương trình  có nghiệm  x; y    x  y 4    2;1 ;  2;1 ;   2;  ;  2;  Câu 2: Trang Điều kiện: x  y ; x 2 y Đặt a  1 ; b x y x  2y  Giải hệ phương trình  a; b 0   6a  3b 3 a  7b 2 6a  3b 3 a  7b 2 6a  3b 3 6a  3b 3   Ta có a  7b 2 a 2  7b  ta có hệ phương trình sau  6   7b   3b 3 12  42b  3b 3  45b      a 2  7b a 2  7b a 2  7b    b   a     x y  Với a  suy x y 5 b 1   x  y 5 suy x  2y 5  x  y  x ; y Vậy suy nghiệm hệ phương trình   x  y 5  x  y  Ta có    x  y 5   x  y   3  x  y 5   x  y    10  y    x  y       y   y 5    x  y     10 y    x  y      y 5   25  x  (thỏa mãn điều kiện)   10 y     x  y  x  y 3  25  10  Vậy hệ phương trình  có nghiệm  x; y   ;   9    2  x  y x  y Câu 3: Đặt a  x  Ta có   a 0  ; b  y 1  b 0  ta có hệ phương trình sau  a  2b 1 3a  b 6 7 a    3a   1 a  2b 1 a  2b 1 13a  12 1    3a  b 6 b  3a  b  3a  b  3a      13a 13 a 1 a 1   (thỏa mãn điều kiện) b  3a  b  3a  b 3    x  1  x    Với a 1 suy x  1   x     x   y  3  y 2   b 3 suy y  3   y     y  Trang 10 7 x   y  1 Vậy hệ phương trình  có nghiệm  x; y      1;  ;   1;   ;   3;  ;   3;    3 x   y  6 Dạng Tìm điều kiện tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải Tìm giá trị tham số để hệ phương trình nhận  x0 ; y0  nghiệm ax  by c Hệ phương trình ax  by c có nghiệm  x0 ; y0    m  1 x  ny 3 Ví dụ: Cho hệ phương trình   2mx  y 2 Tìm m, n để hệ phương trình có nghiệm  x; y   1;  Hướng dẫn giải  ax  by c  ax0  by0 c  - Tìm giá trị tham số để nghiệm hệ phương  m  1 x  ny 3 Hệ phương trình  nhận cặp số  2mx  y 2 trình thỏa mãn số điều kiện khác  x; y   1;  Bước Dựa vào điều kiện nghiệm thiết lập  m  1  n.2 3   2m.1  2 phương trình có ẩn tham số Bước Giải phương trình tham số  Bước Kết luận      nghiệm hệ phương trình nên m  2n 2 2m  2 m  2n 2 m 0 n 1 m 0  m  1 x  ny 3 n 1 Vậy với m 0 hệ phương trình   2mx  y 2  nhận  x; y   1;  nghiệm hệ phương trình Ví dụ mẫu x  y 3 Ví dụ Cho hệ phương trình x  y m  Tìm m để hệ phương trình có nghiệm  x0 ; y0   với y0 x0 Hướng dẫn giải  x 3  y 2   y   y m   x  y 3 x 3  y Ta có x  y m   x  y m       x 3  y  y m  Trang 11  x 3  y   8 m  y  2m   x   8 m y   Vậy hệ phương trình  x  y 3  2m   m  ; nhận  x; y    nghiệm x  y m    Mặt khác theo đề hệ phương trình  x  y 3 có nghiệm x  y m   x0 ; y0  với y0 x0 nên 2m   m   2m  8  m  3m 15  m 5 3 Vậy với m 5 hệ phương trình  x  y 3 có nghiệm  x0 ; y0  với y0 x0 x  y m  Lưu ý: Với hệ phương trình bậc chứa tham số ta giải hệ phương trình bậc có đầy đủ hệ số lưu ý chia hai vế cho đại lượng đại lượng khác  x  y 2 m  Ví dụ Cho hệ phương trình  ( m tham số, m 0 ) Tìm điều kiện m để hệ x  y  m  phương trình có nghiệm  x0 ; y0  cho x0  y0 nhỏ Hướng dẫn giải 2 x  y 2 m   Ta có  x  y  m  2 x  y 2 m    y x  m    2 x  x  m  2 m    y x  m  2 x  x  m  2 m    y x  m  5 x 5 m  12   y x  m  12  x  m    y  x  m  12  x  m   y   Trang 12  x  y 2 m  Suy hệ phương trình  ln có nghiệm x  y  m   x0 ; y0    m 12  ;  với m 0 5 Khi x0  y0  m  Vì 12 14   m 5 m 0 nên  x0  y0   m  14 14 14 0   5 Dấu "=" xảy m 0  x  y 2 m  Vậy với m 0 hệ phương trình  có nghiệm  x0 ; y0  thỏa mãn x0  y0 nhỏ x  y  m  Bài tập tự luyện dạng   m  1 x   n   y 6 Câu 1: Xác định m để hệ phương trình  có nghiệm  x; y   1;  m  x  n  y  12      Câu 2: Xác định m để hệ phương trình  x  y 3 có nghiệm  x; y  cho x 2 y x  y 2a  x  y a  Câu 3: Tìm m để hệ phương trình x  y 2a có nghiệm   x; y  , cho x; y số nguyên  x  my m  1 1 Câu 4: Cho hệ phương trình  Tìm số nguyên m cho hệ phương trình có nghiệm  mx  y 3m  1   x; y  mà x, y số nguyên ĐÁP ÁN Câu 1:   m  1 x   n   y 6 Hệ phương trình  có nghiệm  x; y   1;  suy  m  1 x   n   y 12 2  m  1   n   6 2m   14n  28 6 2m  14  24    m   n   12 m  2n 15 m  1  n  2  12             m  7n  12 m  2n 15 m 7n  12 m  2n 15 m 7n  12 7n  12  2n 15 Trang 13       m 7n  12 9n 27 m 7n  12 n 3 m 9 n 3   m  1 x   n   y 6 Vậy với m 9; n 3 hệ phương trình  có nghiệm  x; y   1;   m  1 x   n   y 12 Câu 2: x  y 3 y 3  x Ta có x  y 2a   x  y 2a      y 3  x 2 x    x  2a    y 3  x y 3  x y 3  x     2a   x  2a  3x 2a   x     2a  y   2a  x    2a   2a  ; Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y      x  y 3 Theo giả thiết hệ phương trình x  y 2a  có nghiệm  x; y  cho x 2 y nên  2a   2a 2  2a  2  4a  6a   a  3 Vậy với a  hệ phương trình  x  y 3 có nghiệm  x; y  cho x 2 y x  y 2a  Câu 3: Ta có  x  y a  y  x  a    3x  y 2a 3x  y 2a     y  x  a  3x    x  a   2a    y  x  a   x  5a  10 2a y  x  a   x  3a  10  y  x  a    3a  10  x   y  x  a    3a  x   x  y a   3a  Vậy hệ phương trình x  y 2a nhận  x; y    5;  x  a   nghiệm    Trang 14  3a  5 Để hệ phương trình có nghiệm nguyên    x  a    Vì 5  để 3a 3a       a 2k 2  k   Với x  ; a   suy y  x  a    x  y a  Vậy để hệ phương trình x  y 2a có nghiệm số ngun a 2k   k   Câu 4: Từ phương trình (2) ta có y 3m   mx 2 Thế vào phương trình (1) ta x  m  3m   mx  m    m  1 x 3m  2m  (3) Hệ phương trình có nghiệm phương trình (3) có nghiệm nhất, tức m  0  m 1  3m  2m   m  1  3m  1 3m   x   x     m 1  m  1  m  1   m  m 1 Khi hệ phương trình tương đương với  m m   y 3m   m y  1  m 1 m 1   m 1 Để x, y     Do m  1   2;  1;1; 2  m    3;  2;0;1 m 1 Kết hợp điều kiện m 1 có m    3;  2;0 thỏa mãn Vậy m    3;  2;0 giá trị cần tìm Trang 15