Bài 4 giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

CHƯƠNG 3: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN BÀI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững quy tắc cộng đại số + Biết cách giải hệ phương trình quy tắc cộng đại số  Kĩ + Thành thạo giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số + Biết cách giải hệ phương trình quy hệ phương trình bậc hai ẩn + Biết cách giải hệ phương trình cách đặt ẩn phụ + Tìm điều kiện tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Quy tắc cộng đại số Ví dụ 1: Giải hệ phương trình Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi hệ 3x  2y 5 2x  y 1  I :  phương trình thành hệ phương trình tương đương Quy tắc cộng đại số gồm hai bước sau: Hướng dẫn giải Bước Cộng trừ vế hai phương Cộng vế với vế hai phương trình hệ (I) ta trình hệ phương trình cho để 3x 6 phương trình Do đó: Bước Dùng phương trình thay cho hai phương trình hệ (vẫn giữ nguyên phương trình kia) Chú ý: Trường hợp 1: Nếu hệ số ẩn hai phương trình ta trừ hai phương trình đó, đối ta cộng 3x 6 x 2 x 2   x  y 1 x  y 1 y 1  I   Vậy hệ phương trình có nghiệm  x;y   2;1 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình 3x  2y 5 2x  y 1  II  :  hai phương trình Trường hợp 2: Nếu hệ số ẩn hai phương trình khơng khơng đối ta phải thực biến đổi Hướng dẫn giải 3x  2y 5  4x  2y 2  II    7x 7   3x  2y 5 x 1  y 1 nhân hai vế phương trình với số Vậy hệ phương trình có nghiệm để đưa trường hợp II CÁC DẠNG BÀI TẬP  x;y   1;1 Dạng 1: Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số Phương pháp giải Thực theo hai bước Bước Cộng trừ vế hai phương 2x  3y 7 Ví dụ: Giải hệ phương trình  x  2y 4 trình hệ phương trình cho để Hướng dẫn giải phương trình Ta lấy phương trình thứ hai nhân với sau trừ Bước Dùng phương trình thay cho hai phương trình cho hai phương trình hệ (vẫn giữ 2x  3y 7   x  2y 4 nguyên phương trình kia) Giải hệ phương trình tìm Chú ý: Trường hợp 1: Nếu hệ số ẩn hai phương trình ta 2x  3y 7   2x  4y 8 2x  3y 7  y 1 2x 4 x 2   y 1 y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm  x;y   2;1 Trang trừ hai phương trình đó, đối ta cộng hai phương trình Trường hợp 2: Nếu hệ số ẩn hai phương trình khơng không đối ta phải thực hỉện biến đổi nhân hai vế phương trình với số để đưa trường hợp Ví dụ mẫu x  2y 7 Ví dụ Giải hệ phương trình  phương pháp cộng đại số 3x  2y 13 Hướng dẫn giải Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ ta hệ phương trình x  2y 7 x  2y 7 2y 7  2y 4 x 3      2x 6 x 3 x 3 x 3  y 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm  x;y   3;2   4x  3y 5 Ví dụ Tìm số nghiệm hệ phương trình sau  x  y 3 Hướng dẫn giải Ta nhân hai vế phương trình thứ hai với sau cộng hai phương trình lại với hệ phương trình 4x  3y 5   7x 14  4x  3y 5   x 2 4.2  3y 5   x 2 3y 3   x 2 y 1  x 2  4x  3y 5 Vậy hệ phương trình  có nghiệm  x;y   2;1 x  y 3 Bài tập tự luyện dạng 7x  2y 3 Câu 1: Giải hệ phương trình  phương pháp cộng đại số 5x  3y 11  4x  5y 23 Câu 2: Giải hệ phương trình  phương pháp cộng đại số 2x  3y 13 x  4y 8 Câu 3: Giải hệ phương trình  phương pháp cộng đại số 2x  5y 13 Dạng 2: Giải hệ phương trình quy hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp cộng đại số Phương pháp giải Thực theo bước sau Ví dụ: Giải hệ phương trình Trang Bước Nhân khai triển chuyển vế đưa hệ 2  x     y  1   3  x     y  1 8 phương trình hệ phương trình bậc hai ẩn Bước Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số Bước Kết luận Hướng dẫn giải 2  x     y  1  Ta có  3  x     y  1 8 2x   3y     3x   2y  8 2x  3y   3x  2y 12 Nhân hai vế phương trình với hai vế phương trình hai với sau ta cộng hai vế phương trình với 2x  3y  4x  6y  10   3x  2y 12 9x  6y 36 2x  3y    13x 26 2x  3y   13x 26 2x  3y    x 2 2.2  3y   x 2 3y 9  x 2  y 3  x 2 2  x     y  1  Vậy hệ phương trình  có 3  x     y  1 8 nghiệm  x;y   2;3 Ví dụ mẫu 2x  y    y  2x  1 5 Ví dụ Giải hệ phương trình  x  y  1  y   x  8 Hướng dẫn giải 2x  y    y  2x  1 5 2xy  4x  2xy  y 5 4x  y 4   Ta có  xy  x  2y  xy  x y   y  x       x  2y 8   4x  y 5 Giải hệ phương trình  x  2y 8 Nhân hai vế phương trình với sau cộng hai phương trình lại với ta hệ phương trình Trang  9x 18   x 2   x 2  x 2        x  2y 8   x  2y 8   2y 6  y 3 2x  y    y  2x  1 5 Vậy hệ phương trình  có nghiệm  x;y   2;3 x  y  1  y   x  8 3x  y  1  y   3x  1 Ví dụ Giải hệ phương trình  2x  y    2y  x   4 Hướng dẫn giải 3x  y  1  y   3x  1  Ta có  2x  y    2y  x   4 3x  2y 1    4x  4y 4 3xy  3x  2y  3xy 1  2xy  4x  2yx  4y 4 3x  2y 1   x  y 1 3x  2y 1 Giải hệ phương trình    x  y 1 Nhân hai vế phương trình hai với sau cộng hai phương trình lại với ta hệ phương x 3 x 3  trình  x  y  y  3x  y  1  y   3x  1 Vậy hệ phương trình  có nghiệm nhất:  x;y   3;   2x  y    2y  x   4 Bài tập tự luyện dạng   x  y    y  1  Câu 1: Giải hệ phương trình  2  x  1  y 6 2x   2y   4y  x  1 8 Câu 2: Giải hệ phương trình  3x  y  1  y   3x   15 2y  x    x   2y   Câu 3: Giải hệ phương trình  5x  y  3  y  5x   7 Dạng 3: Giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn dụ Phương pháp giải Thực theo bước sau Bước Đặt ẩn phụ cho biểu thức cùa hệ phương trình để đưa hệ phương trình dạng hệ phương trình bậc hai ẩn Bước Đặt điều kiện ẩn phụ   x   y  2  Ví dụ: Giải hệ phương trình    3  x  y  2 Hướng dẫn giải Bước Sử dụng phương pháp cộng đại số Trang giải hệ phương trình theo ẩn phụ Bước Với giá trị ẩn phụ tìm thay vào biểu thức đặt ẩn phụ để xác định nghiệm hệ phương trình x  0 x 1  Điều kiện   y  0 y  Đặt 1 a; b ta có hệ phương trình sau x y 2 Bước Kết luận a  3b 2   a  2b  Điều kiện a, b 0 a  3b 2  Giải hệ phương trình  a  2b  Trừ phương trình cho phương trình hai ta hệ a  3b 2 a  3b 2     3 a  2b  b   1 a    2    b    a   (thỏa mãn điều kiện) b   Với a  1   x  2  x 3 (TMĐK) x Với b  1   y  2  y 0 y2 2 (TMĐK) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x;y   3;0  Ví dụ mẫu 3 x   y  4 Ví dụ Giải hệ phương trình  2 x   y  7 Hướng dẫn giải Trang Đặt a  x   a 0  ; b  y   b 0  3a  2b 4 Hệ phương trình cho trở thành  2a  3b 7 3a  2b 4 Giải hệ phương trình  2a  3b 7 3a  2b 4   2a  3b 7 9a  6b 12    4a  6b 14 3a  2b 4  13a 26 3a  2b 4 3.2  2b 4 2b 2 b 1     a 2 a 2 a 2 a 2  x  2  Với a 2 x  2    x    y  1  b 1 y  1    y    x 3  x    y   y   3 x   y  4 Vậy hệ phương trình  có nghiệm  x;y     3;  1 ;  3;   ;   1;  1 ;   1;    2 x   y  7  2x   y   Ví dụ Giải hệ phương trình  2 2x   y  13 Hướng dẫn giải 2x  0  Điều kiện   y  0  x    y 2 Đặt a  2x   a 0  ; b  y   b 0   4a  3b  Hệ phương trình cho trở thành:  2a  3b 13  4a  3b  Giải hệ phương trình  2a  3b 13 4a  3b    2a  3b 13 4a  3b    4a  6b 26 4a  3b    b 3 Với a 2 b 3 4a  3b   9b  27 4a  3.3    b 3 4a 8   b 3 a 2  b 3 2x  2  2x  4  2x 3  x  y  3  y  9  y 11 Trang  2x   y   3  Vậy nghiệm hệ phương trình   x;y   ;11  2  2 2x   y  13 Bài tập tự luyện dạng 3 15  x  2y  1  Câu 1: Giải hệ phương trình    3  x 2y  2  3 x   2y  7  Câu 2: Giải hệ phương trình   x   6  2y  2x  2y  1 Câu 3: Giải hệ phương trình  2  x    2y  11 Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải - Tìm giá trị tham số để hệ phương trình nhận  x0 ;y0  nghiệm ax  by c Hệ phương trình  có nghiệm ax  by c  x0 ;y0  ax0  by0 c  ax0  by0 c  2m  1 x  ny 5 Ví dụ: Cho hệ phương trình   mx   n   y 7 Tìm m, n để hệ phương trình có nghiệm  x;y   1;2  Hướng dẫn giải - Tìm giá trị tham số để nghiệm hệ  2m  1 x  ny 5 Hệ phương trình  nhận cặp số  mx   n   y 7 phương trình thỏa mãn số điều kiện khác  x;y   1;2  nghiệm hệ phương trình nên Bước Tìm nghiệm hệ phương trình theo tham số m Bước Dựa vào điều kiện nghiệm thiết lập phương trình chứa tham số Bước Giải phương trình tham số Bước Kết luận  2m  1  n.2 5    m.1   n   7 m 1   m  2n 3 2m  2n 4   m  2n 3 n 1  m 1  n 1 Vậy với  hệ phương trình  m 1  2m  1 x  ny 5 nhận  x;y   1;2  làm   mx   n   y 7 nghiệm Trang Ví dụ mẫu x  2y 1 Ví dụ Cho hệ phương trình  Tìm m để hệ phương trình có nghiệm  x0 ;y0  3x  4y m  thỏa mãn x y0  Hướng dẫn giải Ta có: x  2y 1   3x  4y m  3x  6y 3   3x  4y m  2y m   x 2y  m  y   x m  x  2y 1 Theo đề hệ phương trình  có nghiệm  x0 ;y0  thỏa mãn x y0  nên 3x  4y m  m 1  m   2m  m   m 2 x  2y 1 Vậy với m 2 hệ phương trình  có nghiệm  x0 ;y0  thỏa mãn x y0  3x  4y m  x  y m Ví dụ Cho hệ phương trình  (m tham số) Tìm điều kiện m để hệ phương trình 2x  5y 3m  có nghiệm số nguyên Hướng dẫn giải Ta có: x  y m   2x  5y 3m  2x  2y 2m   2x  5y 3m  x  y  m x  y m    m 3y m  y   Để hệ phương trình có nghiệm số nguyên m m      3 Suy m có dạng m 3k  k   Vậy với m 3k  k   hệ phương trình cho có nghiệm số nguyên Bài tập tự luyện dạng 2  m  1 x   2n  1 y 2 Câu 1: Xác định m; n để hệ phương trình  có nghiệm  x;y   3;2   m   x  3ny 21 x  2y 7 Câu 2: Xác định a để hệ phương trình  có nghiệm  x;y  thỏa mãn x  y 3x  2y 2a  Trang  m  1 x  y 3 Câu 3: Xác định m để hệ phương trình  có nghiệm thỏa mãn điều kiện  mx  y m x y 0 ĐÁP ÁN Dạng Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số Câu 7x  2y 3  Ta có  5x  3y 11 21x  6y 9   10x  6y 22 31x 31   7x  2y 3 x 1   7.1  2y 3 x 1   2y 4 x 1  y 2 7x  2y 3 Vậy nghiệm hệ phương trình   x;y   1;2  5x  3y 11 Câu 4x  5y 23  Ta có  2x  3y 13 4x  5y 23   4x  6y 26 y 3   2x  3y 13 y 3   2x  3.3 13 y 3   2x 4 y 3  x 2  4x  5y 23 Vậy nghiệm hệ phương trình   x;y   2;3 2x  3y 13 Câu x  4y 8 2x  8y 16 3y 3 y 1 x 4     Ta có  2x  5y 13 2x  5y 13 2x  5y 13 2x  5.1 13 y 1 x  4y 8 Vậy nghiệm hệ phương trình   x;y   4;1 2x  5y 13 Dạng 2: Giải hệ phương trình quy hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp cộng đại số Câu 4  x  y    y  1  4x  4y  3y     Ta có  2x   y 6 2  x  1  y 6 4x  y    2x  y 4 6x 0   2x  y 4 x 0  y    x  y    y  1  Vậy nghiệm hệ phương trình   x;y   0;   2  x  1  y 6 Câu 2x   2y   4y  x  1 8  Ta có  3x  y  1  y   3x   15 2x  4xy  4xy  4y 8  3xy  3x  3y  3xy  15 x  2y 4  x  y  3y 9  x  y 5 Trang 10 y 3  x   y 3  x  2x   2y   4y  x  1 8 Vậy nghiệm hệ phương trình   x;y    2;3 3x  y  1  y   3x   15 Câu 2y  x    x   2y    Ta có  5x  y  3  y  5x   7 2yx  4y  4x  2xy    5xy  15x  5xy  4y 7 4x  4y   15x  4y 7 11x 11  15x  4y 7 x 1  15.1  4y 7 x 1  4y 8 x 1   y 2 2y  x    x   2y   Vậy nghiệm hệ   x;y   1;2  5x  y  3  y  5x   7 Dạng 3: Giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn dụ Câu Điều kiện x 0; y 1 1  a;b 0  ta hệ phương trình Đặt a  ; b  x 2y  15a  3b 1  Giải hệ phương trình   6a  b   Với a  15a  3b 1   9 18a  3b   15a  3b 1   6a  b  11  33a    15a  3b 1  a   b   1   x 6 x Với b  1   2y  2  2y 4  y 2 2y  2 Trang 11 5  x  2y  1  Vậy nghiệm hệ phương trình   x;y   6;2    5  x 2y  Câu Điều kiện x  1; y  Đặt a  x   a 0  ; b   b   ta hệ phương trình 3a  4b 7 2y  a  6b 6 3a  4b 7 Giải hệ phương trình  a  6b 6 3a  4b 7   a  6b 6 3a  4b 7   3a  18b 18 22b 11   a  6b 6 Với a 3 x  3  x  9  x 8  b    a  6   b   a 3  y   2y  2  2y 1 1   2y  2       b  2y  2  2y    2y   y     3 x   2y  7        Vậy nghiệm hệ phương trình   x;y    8;  ;  8;         x   6  2y  Câu 2x  2y  1  Ta có  x   2y   11    2x  2y  1   2x   2y   11  2x  2y  1  2x  2y  7 2a  3b 1 Đặt a x; b  2y   b 0  ta hệ phương trình  2a  3b 7 2a  3b 1   2a  3b 7 2a  3b 1    4a 8 2a  3b 1   a 2 2.2  3b 1   a 2 3b 3   a 2 b 1  a 2 Với a 2 x 2  2y  1  2y 0  y 0     b 1 2y  1    2y    2y   y  2x  2y  1 Vậy cặp nghiệm hệ phương trình   x;y    2;0  ;  2;  1  2  x    2y  11 Trang 12 Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước Câu 2  m  1 x   2n  1 y 2 Hệ phương trình  nhận cặp số  x;y   3;2  nghiệm nên  m   x  3ny 21 2  m  1 x   2n  1 y 2    m   x  3ny 21 6m   4n  2   3m   6n 21 6m  4n    3m  6n 15 3m  2n   3m  6n 15 8n 16 n 2 n 2  n 2 n 2      3m  2n  3m  2n  3m  2.2  3m 3 m 1 2  m  1 x   2n  1 y 2 Vậy với m 1; n 2 hệ phương trình  nhận cặp số  x;y   3;2  nghiệm  m   x  3ny 21 Câu x  2y 7 x  2y 7   Ta có  3x  2y 2a  2x 2a  x  y   2  x a  a   y  2  x a  a  y    x a  x  2y 7 a   Vậy hệ phương trình  nhận  x;y   a  3;    nghiệm   3x  2y 2a  x  2y 7 Theo giả thiết hệ phương trình  có nghiệm  x;y  thỏa mãn x  y nên 3x  2y 2a  a    a 5  a   a   2a   a  10  3a 12  a 4 x  2y 7 Vậy với a 4 hệ phương trình  có nghiệm  x;y  thỏa mãn x  y 3x  2y 2a  Câu  m  1 x  y 3  2m  1 x 3  m  Ta có   mx  y m  mx  y m  0.x   Với m  ta có hệ phương trình   mx  y m Vậy với m   0  (vơ lí)    x  y   2 hệ phương trình vơ nghiệm Trang 13 3m   2m  1 x 3  m x   2m   Với m  ta có:  mx  y m mx  y m 3m  x   2m     m m  y m  2m  3 m  x   2m   y m  m  m  2m  3m 3 m 3 m 3m     x x  2m  x  2m  x  2m    2m      2 2 2 y  m  2m  1  3m  m  y  2m  m  3m  m  y  2m  m  3m  m  y  m  2m    2m  2m   2m  2m  2m  2m  Suy x  y   m m  2m m  m    2m  2m  2m  Theo x  y  nên m2  m  0 2m  1 11   11 Ta có m  m  m  2.m    m     với m  2 4  2 2 m2  m  Vậy để  2m    m   2m  1  m  1 x  y 3 Để hệ phương trình  có nghiệm thỏa mãn điều kiện x  y  m    mx  y m Trang 14