đs9 c1 b2 2 giai he phuong trinh bang pp cong

B: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại sốDạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại sốI.. Cách giải:- Nếu hệ số của cùng một ẩn bằng nhau thì ta trừ vế với vế- Nếu

B: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại sốI Cách giải:

- Nếu hệ số của cùng một ẩn bằng nhau thì ta trừ vế với vế- Nếu hệ số của cùng một ẩn đối nhau thì ta cộng vế với vế

- Nếu không có hệ số của ẩn nào bằng nhau hoặc đối nhau thì ta nhân hai vế của phương trình vớisố thích hợp rồi đưa về trường hợp thứ nhất.

II Bài toán

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y ;  2;3

b) Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 2 ta được phương trình tương đương

Do đó hệ phương trình có vô số nghiệm

Cụ thể, tập nghiệm của nó cũng là tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn 1

y x

Do đó, hệ phương trình có nghiệm x y;  tính bởi công thức

x R

( 2 1) 2 1 23 (1 2) 1 2



Cộng từng vế của hai phương trình của hệ mới tạo thành, ta được 2 3x 6 3

2 3

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

 ;  3;2 33

23( 2 1) ( 2 1)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y ;  1; 2

Bài 3: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

Lời giải

a) Cộng từng vế của hai phương trình ta được 8y 16 suy ra y 2

Thế y 2 vào phương trình thứ hai ta được 2x 3.2 4 hay 2x 2 suy ra x 1Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là 1;2

b) Trừ từng vế của hai phương trình ta được 5x 5x  7y3y  9 1 hay 4y8 suyra y 2

Thế y 2 vào phương trình thứ nhất, ta được 5x  7 2  9 hay 5x 14 9 suy ra x 1

Vậy hệ phương trình có nghiệm 1; 2 

c) Cộng từng vế của hai phương trình ta được 2y8 suy ra y 4

thế y 4 vào phương trình thứ nhất ta được 4x3.4 0 hay 4x12 suy ra x 3Vậy hệ phương trình có nghiệm 3; 4

d) Trừ từng vế của hai phương trình ta được 3x 9 suy ra x 3

Thế x 3 vào phương trình thứ nhất ta được 4 3 3.y0 hay 3y 12 suy ra y 4Vậy hệ phương trình có nghiệm 3; 4

e) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3 và nhân hai vế của phương trình thứ 2, tađược

 

Cộng từng vế của hai phương trình của hệ mới ta được 13x 13 hay x 1 Thế x 1 vàophương trình thứ nhất của hệ đã cho ta có 3.1 2 y7 suy ra y 2

Vậy nghiệm của hệ phương trình có nghiệm là 1; 2

f) Nhân hai vế của phương trình thứ nhát cho 5 và nhân của hai vế của phương trình thứhai cho 4 ta được hệ

20 15 3020 8 16

Cộng từng vế của hai phương trình của hệ mới ta được 23y 46 suy ra y 2

Thế y 2 vào phương trình thứ nhất của hệ đã cho ta có 4x 3.2 6 hay 4x 0 suy ra0

x 

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là 1;2

g) Chia cả hai vế của phương trình thứ hai cho 2, ta được hệ

  

Cộng từng vế của hai phương trình của hệ mới ta được 0x0y0 Hệ thức này luôn thỏamãn với các giá trị tùy ý của x và y.

Với giá trị tùy ý của x giá trị của y tính được nhờ hệ thức 3x 5y2 suy ra

h) Nhân hai vế của phương trình thứu nhất cho 4 ta được hệ

Cộng từng vế của hai phương trình của hệ mới ta được 0x0y12 Không tìm được bất kìgiá trị x y, nào thỏa mãn hệ thức này.

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

Bài 4: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế

  

Lời giải

a) Đặt

  

 

Trừ từng vế của hai phương trình  1 và  2 ta nhận được phương trình2y 4 tức là y 2

Thế y 2 vào phương trình  2 ta được phương trình

3x 4 2 53x  8 53x 3



3 2 y52y 2

  

Nhân hai vế của phương trình  1 với 2 và nhân hai vế của phương trình  2 với 3 ta được

hệ phương trình

  6 4 8 3

  

Cộng từng vế của hai phương trình  3 và  4 ta nhận được phương trình13y 13

x 

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x y ;  2; 1 

Bài 5: Giải các hệ phương trình sau

3 5 4 15 2 72 5 8 7 18



b)

53 5 4 15 2 7 6 35 8 7 15 2 7

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y ;  1; 4 4 2 

Bài 6: Giải các hệ phương trình sau

4 2 3 2 3 32 3 2 3 3 1

4 4 3 4 4 32 3 2 3 3 1

3 12

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

3 11;



3 6 3

x yx y

3 653 2

 

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

3 6 3 2;

  

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là 3; 2 

b) Sử dụng loại máy tính phù hợp (chẳng hạn CASIO FX570 - VN PLUS), ấn liên tiếp cácphím sau

Màn hình hiện ra kết quả như sau: X 13Ấn = kết quả như hình sau Y 5

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là 13; 5 

c) Sử dụng loại máy tính phù hợp (chẳng hạn CASIO FX570 - VN PLUS), ấn liên tiếp cácphím sau

Màn hình hiện ra kết quả như sau:

X 

Ấn = kết quả như hình sau

Y 

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là

  

a) Gọi x là sô mililit dung dịch acid HCl nồng độ 20% và y là số mililit dung dịch axit

HCl nồng độ 5% cần lấy Hãy biểu thị qua x và y

+ Thể tích của dung dịch acid HCl nồng độ 10% nhận được sau khi trộn lẫn hai dung dịchacid ban đầu

+ Tổng số gam acid HCl nguyên chất có trong hai dung dịch acid này

b) Sửu dụng kết quả ở câu a, hãy lập một hệ hai phương trình bậc nhất với hai ẩn là a y,Dùng MTCT giải hệ phương trình này để tính số mililit cần lấy của mỗi dung dịch acid



Ta có

x 

và

x y x yx y x y

u v

 

 

 

Trở lại ẩn x y, ta có 1

 

 do đó 11

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  1;1

b) Điều kiện  1



 

 

Khi 2

 suy ra 1

 

 

 

Trở lại ẩn x y, ta có

 

 do đó

 

Vậy hệ có nghiệm duy nhất 5

;64

D Xác định đường thẳng, giao điểm giữa các đường thẳngBài 1: Xác định a b, để đồ thị hàm số y ax b đi qua hai điểm

a) A2; 2  và B  1;3 b) A2;1 và B1; 2c) A3; 6  và B  2;4

Lời giải

a) Vì đồ thị hàm số y ax b  đi qua điểm A2; 2  nên ta có phương trình 2a b 2 1 Vì đồ thị hàm số y ax b đi qua điểm B  1;3 nên ta có phương trình   a b 3 2 Từ  1 và  2 ta có hệ phương trình

a ba b

 



3 53

aa b

  

  

 

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

5 4;3 3

 

 

aa b

 

Vậy với a1;b3 thì đồ thị hàm số y ax b đi qua hai điểm A2;1 và B1; 2

c) Hai điểm A3; 6  và B  2;4 thuộc đường thẳng y ax b nên ta có hệ phương trìnhẩn a b, là

a ba b

 

  

5 10

aa b

  

Vậy với a2;b0 thì đồ thị hàm số y ax b đi qua hai điểm A3; 6  và B  2;4

Bài 2: Xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng

a)  d : 2x y 3 và  d' :x2y4

b)  d : 2x y 2 và  1

x y

 

2 21

2 2 12

 

2 20 0

 

2 2

 

 

 

Giải hệ phương trình ta được nghiệm là 1;2

Để      d ; d ; d đồng quy thì  d phải đi qua 1;2 Do đó

2.1 3.2 m  suy ra m 4

Vậy với m 4 thì ba đường thẳng đồng quy.

E Xác định tham số m để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện về nghiệm số

Bài 1: Cho hệ phương trình

+ Điều kiện để phương trình có nghiệm duy nhất là a0;a2 Khi đó

Vậy với a 1 thì hệ có nghiệm nguyên là 2;5

Bài 2: Cho hệ phương trình

22 1

x my

a) Tìm số nguyên mđể hệ có nghiệm duy nhất x y;  mà x0;y0

b) Tìm số nguyên mđể hệ có nghiệm duy nhất x y;  mà x y; là các số nguyên

Lời giải

a) + Với m 0 thì hệ có nghiệm 12;

Vì m   nên m     3, 2; 1;0

Vậy với m     3, 2; 1;0 thì hệ có nghiệm duy nhất x y;  mà x0;y0

b) + Với m 0 thì hệ có nghiệm 12;

+ Với m 0 thì hệ có nghiệm duy nhất 2 2

Bài 3: Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có nghiệm chung

*2 0

2 0 2

x my

  

   

Xét phương trình  2 suy ra x my 2 3  Thay vào phương trình  1 ta có

Vậy m 2 thì hai phương trình có nghiệm chung.

Bài 4: Cho hệ phương trình

4 104

x my

  



a) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất x y,  sao cho x0,y0.b) Tìm giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất x y,  với x y, là số nguyên dương.

 

  

Với m m  1;0;1;2; ;7b) m   1;3

Bài 5: Cho hệ phương trình

mx yx my

 

a) Giải hệ phương trình khi m 1

b) Tìm giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất x y,  sao cho biểu thức A3x ynhận giá trị nguyên.

 

 

Giải hệ phương trình ta được nghiệm là 4;1

b) + Với mọi m hệ luôn có nghiệm

3 929 62

 

  

Để thỏa mãn bài toán khi hệ phương trình

011 0

   

011 0

   

  

1 01 0

1 0 *1 0

- Khi m  1 0 m1 thay vào  * suy ra x2  x 1 0 Dễ thấy phương trình vô nghiệm.

+Khi x 0 thay vào  * không thỏa mãn.

+ Khi x 1 thay vào  * suy ra m  2 0 m2Giá trị của m 2.

BÀI TẬP TỰ LUYỆNBài 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số

0,3 0,5 31,5 2 1,5

 

Lời giải

a) Cộng từng vế của phương trình ta được 5x 20 suy ra x 4

Thế x 4 vào phương tình thứ nhất ta được 3.4 2 y6 hay 2y 6 suy ra y 3

b) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất cho 4 ta được hệ

1, 2 2 121,5 2 1,5

Cộng từng vế của phương trình ta được 2, 7x 13,5 suy ra x 5

Thế x 5 vào phương trình hai ta được 1,5.5 2 y1,5 hay 2y6 suy ra y 3Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm 5;3

c) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất cho 3

 

Cộng từng vế của phương trình ta được 0x0y0 Hệ thức này luôn thỏa mán với các giátrị tuy ý của x và y Với giá trị tùy ý của y, giá trị của x được tính nhờ hệ thức

3x9y12 suy ra x3y 4.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là 3y 4;y với y  .

Bài 2: Giải các hệ phương trình

b) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 2, nhân hai vế của phương trình thứ hai với

  

Cộng từng vế hai phương trình của hệ ta được 5y5 suy ta y 1

Thay y 1 vào phương trình 3x2y7 ta được 3x 2 1  7 Do đó x 3

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là 3; 1 

Bài 3: Giải các hệ phương trình:

4 5 156 4 11

 

 

 

14 5.222

 

 

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 2; 2b) Ta có

4 5 156 4 11

12 15 4512 8 22

4 5 1523 23

4 15 51

 

15 5.141

 

 

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 5

 

3 52 6 10

b) Nhân hai vế của phương trình thứ hai với -2 ta được

Cộng từng vế của hai phương trình của hệ ta được 11y 11 suy ra y 1

Thay y 1 vào phương trình thứ nhất của hệ ta được 4x  5 11 do đó 32

x 

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là 3

 

  

 b.

( 1)( 3) 27( 2)( 1) 8



Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; ) (10;0)x y 

Bài 6: Giải các hệ phương trình sau

a

1 113 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

1( ; ) (1; )

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; ) (100;0)x y 

Bài 7: Giải các hệ phương trình sau

   

  

 

Giải hệ phương trình ta được nghiệm 1

 

Giải hệ phương trình ta được nghiệm 12;5

Bài 8: Giải các hệ phương trình sau

a)

 

Giải hệ ta được 1

Vậy nghiệm của hệ phương trình là 0; 2 



b)

  

 

Giải hệ phương trình ta được nghiệm

217 ;6

x y

 

Giải hệ phương trình ta được nghiệm 26;8.

Bài 10: Giải các hệ phương trình sau

yy

Suy ra

Vậy nghiệm của hệ là 2; 5 c) Đặt 

Vậy nghiệm của hệ là 1;3.

Bài 11: Dùng MTCT thích hợp để tìm nghiệm của các hệ phương trình sau:

a)

12 5 24 05 3 10 0

  

c)

; 152

 

Lời giải

Sử dụng máy tính cầm tay ta giải được nghiệm của các hệ phương trình là

a) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

150;13 13



b) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất 1;3

Bài 13: Xác định a b, để đồ thì hàm số y ax b đi qua hai điểm A và B trong mỗi trường hợpsau:

 

 

Giải hệ phương trình ta được

a 

và b 4

Vậy đồ thị hàm số là

 

 

Giải hệ phương trình ta được a 3 và b 1Vậy đồ thị hàm số là y3x1

Bài 14: Xác định a b, để đồ thì hàm số y ax b đi qua hai điểm A và B trong mỗi trường hợpsau:

 nên 211 2

a ba b

  

  

   

 

b) Gọi đồ thị của hàm số y ax b là d

Ta có

A dB d

 nên 8 25 4

a ba b

 

 

8 25 4 8 2

 

  

 

 

Bài 15: Xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng

a)  d :y x  2 và  d' :y2x1

b)  d :y x y   1 0 và  d' :x 2y 4 0c)  d x:  3y 5 0 và  d' : 2x y 18 0

Xác định tham số m để ba đường thẳng đồng quy.

Để ba đường thẳng đồng quy thì Mdm hay1 2 .2 5 7

Vậy với 76

m 

thì ba đường thẳng đồng quy.

Bài 17: Cho hệ phương trình

4 98

x my

Hướng dẫn giải

4 98

 

Thay vào (*) 3m2 26m23 0 (thỏa mãn).(m1)(3m23) 0

3 

mm