Bí Kíp Công Phá Kì Thi THPT Quốc Gia Giải Hệ Phương Trình Bằng Máy Tính Fx 570 ES PLUS Version 2.1 Finally

Bí Kíp Cơng phá Hệ Phương Trình fx 570 ES PLUS Chun đề đặc biệt Bí Kíp Cơng Phá Kì Thi THPT Quốc Gia Giải Hệ Phương Trình Bằng Máy Tính Fx 570 ES PLUS Version 2.1 Finally I, Giới thiệu Xin chào tất em! Khi em đọc dòng em nắm tay bí kíp giải hệ phương trình giúp tăng khả lấy điểm thứ em cách dễ dàng Hi vọng, sau đọc xong tài liệu này, em cảm thấy Hệ Phương Trình thật đơn giản khơng cịn thấy sợ câu thứ Ở phiên 2.0 anh bổ sung, sửa đổi, hoàn thiện, nâng cấp nhiều vấn đề version 1.0 II, Lý chọn đề tài Có nhiều em gửi thắc mắc tới anh : “tại anh lại giải câu hệ ?” câu hỏi anh băn khoăn hồi cịn ơn thi em, mà khơng thầy giáo giải thích cho anh cả, anh phải tự mị mẫm cho lý do, thầy dạy cho phương pháp làm thầy giải thích thường đưa dấu hiệu người ta cho làm Nhưng hơm nay, anh trình bày với em hướng việc công pháp điểm thứ với máy tính fx 570 ES PLUS, đảm bảo học xong em mức Trung Bình – chăm chút làm được, thực tế sau anh phát hành version 1.0 nhiều bạn quay lại cảm ơn anh, làm thành cơng nhiều hệ phương trình III, u cầu chung Có tinh thần Quyết tâm đỗ Đại Học !!! Có kiến thức sử dụng phương pháp thế, đưa phương trình tích, phương pháp hàm số, phương pháp đánh giá Ví dụ như: A  Đưa phương trình tích A.B    B  Phương pháp hàm số: f ( x)  f ( y) mà hàm f đồng biến ( nghịch biến) đoạn  a; b x, y a; b Thì phương trình có nghiệm x = y Phương pháp đánh giá: thường sử dụng BĐT Cơ-Si BĐT có SGK lớp 10 Ta có : a, b  0; a  b  ab Có máy tính có tính SOLVE : fx 570 es plus, fx 570 es, Lý anh chọn Fx 570 ES PLUS máy tính đại mang vào phòng thi nâng cấp fx 570 es nên cho tốc độ cao chút có số tính IV, Nội Dung Bí Kíp Cơng phá Hệ Phương Trình fx 570 ES PLUS Chuyên đề đặc biệt Anh hướng dẫn em công phá tất hệ phương trình từ 2010 máy fx 570 es plus theo cách tự nhiên dễ hiểu * Đường lối chung để giải hệ phương trình : Từ phương trình, phức tạp phải kết hợp phương trình Mối quan hệ x y (muốn làm điều em phải dùng pp thế, đưa phương trình tích, ẩn phụ, hàm số, đánh giá….) Thế vào phương trình để đưa phương trình ẩn, giải ln, phương trình chứa phải dùng thêm phương pháp giải được, tùy vào mức độ đề thi Vậy vai trò máy ? Máy tính giúp ta làm chủ chơi tác giả nữa, tức nhờ máy ta tìm mối quan hệ Bước để áp dụng phương pháp cho thích hợp, tránh tượng “mị”, Bước Vai trị giúp ta định hướng cách làm nhanh  Nội dung tài liệu này: (Anh bám sát nội dung thi, không xa đà vào hệ khó, phức tạp so với đề thi) Anh chia làm dạng : Từ phương trình tìm ln quy luật ( 90% Đề thi thử ĐH cho dạng này) Biểu hiện: cho Y nguyên X, X tìm số nguyên Phải kết hợp phương trình tìm quy luật ( số đề thi thử cho) Biểu cho Y nguyên X, X lẻ Muốn tìm quy luật x y dạng em cần kết hợp phương trình cộng trừ vế để khử số hạng tự *Sau tìm mối liên hệ X Y vào phương trình cịn lại lại có khả a Bấm máy phương trình nghiệm đẹp : xác suất 90% xử lý b Bấm máy phương trình nghiệm xấu: Bí Kíp Cơng phá Hệ Phương Trình fx 570 ES PLUS Chuyên đề đặc biệt thường đề ĐH họ cho nghiệm xấu dạng  a   a  b nghiệm phương trình bậc 2, muốn xử lý ta phải áp dụng định lý Vi-et đảo, anh nói   c rõ tập Với phương pháp em xử lý 90% hệ đề thi thử THPT Quốc Gia đề thi thức, phương pháp cịn giúp luyện giải phương trình vơ tỷ tốt, chí bất phương trình vơ tỉ Nhưng phương pháp có giới hạn nó, có điểm mạnh điểm yếu riêng, anh trình bày cụ thể trình giải *Dạng 1: Các mối quan hệ rút từ phương trình Khởi động dễ trước : * Các ví dụ Khởi động đơn giản trước !!!  x  xy  y  Ví dụ 1: (CĐ-2014) Giải hệ phương trình sau  2  x  xy  2y   x  2y * Nhận xét chung: (x, y  R) Hệ gồm phương trình ẩn, điều đặc biệt chỗ phương trình biến đổi cịn phương trình khơng có mà biến đổi, nhìn qua em thấy Vậy dàn ý chung là: từ phương trình biến đổi đưa mối quan hệ x y vào phương trình khơng biến đổi Bằng giác quan ta tìm để xử lý phương trình số 2, em đa số viết dùng đủ cách nhóm tự biến đổi mị lúc mối quan hệ x y Nhưng anh trình bày phương pháp sử dụng máy tính để tìm mối liên hệ sau: Sử dụng tính Solve: Các em biến đổi phương trình hết vế : X  XY  2Y  X  2Y  Ấn máy: Alpha X x - Alpha X Alpha Y – Alpha Y x Alpha + alpha X - alpha Y ( không cần ấn = 0, khác version 1.0) Giải thích “Alpha X, Alpha Y” gọi biến X, biến Y với máy tính mặc định X biến, Y tham số Sau em bấm: Shift Solve Máy : Y?  tức máy hỏi ban đầu cho tham số Y để cịn tìm X Các em khởi tạo giá trị ban đầu cho Y cách nhập: = Nếu máy hỏi “ Solve for X” em ấn “0=” Bí Kíp Cơng phá Hệ Phương Trình fx 570 ES PLUS Chuyên đề đặc biệt Bây máy xử lý Máy hiện: X= -R= tức y=0 có nghiệm x=0 sai số nghiệm Rồi Y=0 X=0 Tiếp theo em ấn “mũi tên sang trái” để quay trở phương trình Lại bắt đầu khởi tạo giá trị ban đầu Y=1, X=0 Thì máy lại tính X = Cứ tới Y=5, X =0 ta bảng giá trị sau: Bảng 1: Y X -3 -4 -5 -6 *Cách 2: phức tạp kiểm soát toàn nghiệm Với Y = ta tìm nghiệm X = Để xem phương trình có cịn nghiệm khác khơng em làm sau: Ấn mũi tên sang ngang sửa phương trình thành: (X2  XY  2Y2  X  2Y) : (X  0) Phương trình để bỏ nghiệm vừa tìm tìm nghiệm Sau lại bấm ban đầu X = -1 Sau lại ấn X2  XY  2Y2  X  2Y (X  0)(X  1) Sau lại bấm giải nghiệm máy báo “ Can’t solve” tức vô nghiệm hay hết nghiệm Vậy Y=0 X=0, X = -1 Tiếp theo em ấn “mũi tên sang trái” để quay trở phương trình Ta lại phải sửa phương trình thành: X  XY  2Y  X  2Y Lại bắt đầu khởi tạo giá trị ban đầu Y=1, X=0 Thì máy lại tính X = -2 Cứ tới Y=5 kết sau: Bảng 2: Y X 0 -1 -2 -3 4 -4 -5 -6 10 Bí Kíp Cơng phá Hệ Phương Trình fx 570 ES PLUS Chuyên đề đặc biệt Cách đẩy đủ thời gian chỉnh sửa phương trình nên tài liệu đa phần anh giải cách 1, thi ĐH khơng q phức tạp *Cách 3: Để tìm nghiệm khác ngồi nghiệm tìm Ví dụ Y=0, lúc máy hỏi “ Solve for X” Các em ấn = tìm nghiệm X = Các em ấn “-9=” nghiệm X = -1 Các em ấn “9=” nghiệm X=0 Vậy ta tìm nghiệm X = -1 X =0 Y= Anh hay dùng cách cho hệ cách cho phương trình ẩn, để tăng tốc độ làm Các kết hoàn toàn máy, từ bảng ta thấy Y = tới Y=5 anh thấy xuất quy luật Tại Y=0, Y=1 khơng xuất quy luật có nhân tử khác gây nhiễu tính Solve tính dị nghiệm theo cơng thức Newton nên tìm nghiệm gần với giá trị biến X , TH khởi tạo giá trị ban đầu X = Từ Y=2 anh thấy xuất quy luật đó, dễ dàng nhận thấy x+y+1 = Vậy anh biến đổi phương trình theo xem không: Thêm bớt để ép nhân tử : x  xy  2y   x  2y  x  xy  2y  x  2y   x(x  y  1)  2xy  2y  2y   x(x  y  1)  2y(x  y  1)   (x  2y)(x  y  1)  Vậy nghiệm vừa bị nhiễu x-2y =0 Cịn lại dễ dàng nào:  x  2y  x  ( y  1) vào phương trình  * x=2y thì: y  y  y   y  1 * x= -(y+1) em tự xử lý Anh nói dài thơi lúc làm nhanh lắm!!! Như anh vừa trình bày chi tiết cách giải hệ máy tính casio fx-570 ES Plus dễ chưa sử dụng ứng dụng Solve tìm nghiệm phương trình ẩn dù có phức tạp tới đâu Bí Kíp Cơng phá Hệ Phương Trình fx 570 ES PLUS Chuyên đề đặc biệt Tiếp tục nhé, nâng level nên  (1  y) x  y  x   (x  y  1) y Ví dụ 2: (ĐH-B-2014) Giải hệ phương trình   2y  3x  6y   x  2y  4x  5y  (x, y số thực)  Nhận xét chung Thấy phương trình số khó biến đổi, phương trình dễ , ta thử xem Lưu ý này: điều kiện pt x  y lúc khởi tạo giá trị ban đầu “ Solve for X” em phải nhập số lớn Y, chẳng hạn “9=” Tại lại ? Vì em cho Y = mà giá trị ban đầu X = máy có kiểu dị nghiệm :  2,1  2,  2,3  :  1,7  1,8  1,9  Nhưng theo đường x  y khơng xác định ngay, máy dừng dị nghiệm báo “Can’t Solve” Do phải khởi tạo giá trị ban đầu X lớn Y Các em làm tương tự, anh cho kết luôn: Y X Dựa vào bảng ta thấy : x  y  x  y 1 Vậy anh theo hướng “x-y-1=0” trước vế phải có sẵn kìa, cần biến đổi số cịn lại xem có không chuyển hướng (1  y) x  y  x   (x  y  1) y  (1  y) x  y  x   (x  y  1) y   (1  y) x  y  (x  y  1)  (y  1)  (x  y  1) y   (1  y)  x  y  1  (x  y  1) 1  y   Tới phải nói may mắn    pt  (1  y )( x  y  1)   y    x  y 1  x  y 1    y 1   y   x  y 1    Bí Kíp Cơng phá Hệ Phương Trình fx 570 ES PLUS Chuyên đề đặc biệt Thế vào phương trình ta được: Với y = 9-3x =0  x=3 Với y = x - y  3( y  1)  y    y   y  y2  3y   1 y Điều kiện ban đầu y  mà lại có y  Vậy y  0;1 Dễ thấy VT đồng biến với điều kiện trên, VP nghịch biến, em tính đạo hàm thấy nên phương trình có nghiệm nghiệm Thử bấm máy xem nào: alpha X x + alpha X -2 Alpha = 1- alpha X Sau bấm Shift solve ,5 = Phải dùng biến X mà máy mặc định Ta tìm X khoảng [0;1] mà nên phải khởi giá trị ban đầu X = 0,5 chẳng hạn X=0,618033… Nếu x nguyên xong đằng khơng cịn may mắn Vậy Bộ Giáo Dục cố tình nghiệm lẻ để làm khó ta, anh có cách Ta thử bình phương nghiệm X lên xem có đẹp khơng câu trả lời khơng! Hi vọng nghiệm khơng q xấu, có dạng a b dạng nghiệm phương trình bậc ta c giải *Tư là: phương trình bình phương lên bậc đầy đủ nên phân tích thành: (x  Sx  P)( x  S ' x  P ' ) Do anh cần tìm nhân tử (x  Sx  P) xong, ta cần tìm nghiệm Về lý thuyết thực tế anh tìm nghiệm ln Bản chất phương trình bậc nên ta bình phương lên để chuyển sang vế Các em nhập lại phương trình thành: (2 alpha X x + alpha X -2) - (1- alpha X) Các em bấm dấu “=” để lưu phương trình vào máy Sau bấm Shift solve = Máy báo X = 0,3228… Sau em bấm RCL X Shift STO A để lưu nghiệm X vừa tìm vào A Vậy nghiệm, để tìm nghiệm thứ ta làm : Bí Kíp Cơng phá Hệ Phương Trình fx 570 ES PLUS Chuyên đề đặc biệt Nhấn nút đẩy lên lần để tìm phương trình ta lưu Đưa mũi tên sang trái, sửa phương trình thành: ((2 alpha X x + alpha X -2) - (1- alpha X)): ( X-A) Sau bấm Shift solve Máy hỏi A? 0,3228… em bấm dấu = Máy “Solve for X” em ấn 0= Máy báo X = 0,6180 Các em ấm phím đẩy sang trái ấn = để lưu lại phương trình Sau em bấm RCL X Shift STO B để lưu nghiệm X vừa tìm vào B Vậy có nghiệm thứ 2, em lại ấn nút đẩy lên lần, đẩy sang trái để sửa phương trình tìm nghiệm thứ em lại sửa thành ((2 alpha X x + alpha X -2) - (1- alpha X)) : ( X-A)(X-B) Sau bấm Shift solve = = 0= Được nghiệm thứ : X= -1,61803… Các em ấm phím đẩy sang trái ấn = để lưu lại phương trình Sau em bấm RCL X Shift STO C để lưu nghiệm X vừa tìm vào C Tương tự phương trình tìm nghiệm thứ : ((2 alpha X x + alpha X -2) - (1- alpha X)) : ( X-A)(X-B)(X-C) Sau bấm Shift solve = = = 0= Các em nghiệm thứ : X = -2,3228… Vậy ta nghiệm A,B,C,X Ta biết rõ ràng nghiệm B = 0,618… nghiệm phương trình ban đầu nên ta xét tích BA,BC,BX xem tích đẹp Thấy ngay: BC = - B+C = -1 Vậy phương trình chứa nghiệm B,C x  x  ( định lý Vi-et đảo) Đây cách phân tích phương trình bậc thành nhân tử với máy tính Vậy ta cố nhóm để xuất nhân tử này: với y  y  , ép nhân tử sau: Bí Kíp Cơng phá Hệ Phương Trình fx 570 ES PLUS Chuyên đề đặc biệt y  3y   1 y  2( y  y  1)  y   y   2( y  y  1)   ( y  y  1)(2  y  (1  y ) 0 y  1 y )0 y  1 y  1 1 (tm)  x  y  2  y2  y 1     1 y (loai )   Các em tự kết luận nhé!  x 12  y  y(12  x )  12  Ví dụ 3: (ĐH-AA1-2014) Giải hệ phương trình  (x, y số thực)  x  8x   y  *Nhận xét chung: Ta thấy phương trình dễ biến đổi phương trình 2  y  12 Điều kiện   x  12 * Anh cho bảng kết bấm máy Y 12 X 3,16 2,828 2,64 2,44 0 3,464 Nhận xét chung Y tăng X giảm Với Y=2, Y=4, Y=5, Y=6 kết xấu ta thử bình phương lên xem có sử dụng khơng Y X2 9,9999 6 12 0 12 Chứng tỏ bác BGD không làm khó ta Nhận thấy y  x  12 Căn vào phương trình y  12  x Làm để chứng minh điều này, dễ thấy khơng thể phân thích thành nhân tử trước Giờ hàm số đánh Do x, y không độc lập lên không dùng hàm số ( kinh nghiệm nhỏ anh) Vậy thử đánh giá, mà có tích nên có Cơ-si thơi Ta dùng máy thử ln cho nhanh Bí Kíp Cơng phá Hệ Phương Trình fx 570 ES PLUS Chuyên đề đặc biệt Chúng ta dùng chức CALC để tính giá trị biểu thức Các em nhập nguyên vế trái vào: x 12  y  y(12  x ) Alpha X 12 – alpha Y + alpha Y – (12 – alpha X x ) Sau em bấm CALC Máy X? em nhập = Máy lại hỏi Y? em nhập vào 11= tùy ý X 1 2 3 Y 10 11 10 11 11 Giá trị hàm 11,9 12 11,7 11,38 10,89 8,7 error Ta nhận thấy VT  12  VP đánh giá phương pháp đắn Áp dụng Bất đẳng thức Cô-si ta được: x 12  y  y(12  x )  x  (12  y) y  (12  x )   12 2   x0  x  12  y  Dấu “=” xảy   2   y  12  x  y  12  x Thế vào phương trình ta được: x3  8x 1  10  x2 Ta bấm máy xem có nghiệm ngun khơng , có coi xong Các em bấm sau: Alpha X Shift x -8 Alpha X -1 = 10 – alpha X x Sau ấn Shifl Solve 9= ( em ấn 0= bị nghiệm -1, nên phải ấn 9= để tìm nghiệm dương xem thêm cách nhé) Ra x=3, tới mỉm cười Ta biến đổi theo x-3 = x  x   10  x  ( x  x  3)  2(1  10  x )  Anh ghép với 10  x2 nhân liên hợp xuất x   ( x  3)( x  3) Tới em vào máy giải phương trình bậc xem nghiệm nhé, đừng nói em khơng biết bấm máy Được x=3 nghiệm xấu không Ta tiến hành chia x3  x  cho (x-3) x  3x  10 Bí Kíp Cơng phá Hệ Phương Trình fx 570 ES PLUS Chuyên đề đặc biệt Vậy ta có: ( x  3)( x  3x  1)  2(1  10  x )   ( x  3)( x  3x  1)  x2   10  x  2( x  3)  ( x  3)  x  3x    10  x  Ta có x  nên x  x   0  0  2( x  3)  10  x 0 Do phương trình có nghiệm x=y=3 Ví dụ 4: Đề thi thử THPT Quốc Gia Sở GD TP HCM  y2 y    y2  x    x Giải hệ phương trình :  x  x 1  y  y2  y  y x    Giải: Khi nhìn vào phương trình ta thấy phương trình số dễ biến đổi phương trình 1, em khơng nhìn điều thử phương trình Điều kiện: x  2, y  Các em nhập phương trình : x  Alpha X + AlphaX  AlphaY + x 1 y   y  y sau: y x AlphaY = Alpha Y x + Alpha Y AlphaX Sau em bấm: Shift Solve máy “ Y?” em nhập = Máy “ Solve for X” tức khai báo giá trị ban đầu X Các em bấm “ = ” Máy trả giá trị nghiệm X = 0,5 Vậy Y = X = 0,5 Để tìm nghiệm tiếp với Y=2 em bấm : Shift Solve máy “ Y?” em nhập = Cứ với Y = 3,4,5 ta thu bẳng giá trị sau: Y X 0,5 0,333…= 1/3 0,25 = 1/4 0,2 = 1/5 0,16666 =1/6 11 Bí Kíp Cơng phá Hệ Phương Trình fx 570 ES PLUS Chuyên đề đặc biệt Dựa vào bảng, ta thấy xuất quy luật : X   XY  X   Y 1 Ta ép để xuất nhân tử sau: x 1 y   y2  y y x xy  x  y    y2  y  y x x  ( xy  x  1) x  y  y x  xy   ( xy  x  1) x  y ( xy  x  1)   ( xy  x  1)( x  y )  0(3) Rất may không bị nhiễu nhân tử x  y ví dụ Với x  2, y  xy  x   nên từ (3) ta có : x  y vào phương trình (1) ta có:   y 1 1  y2  y2      y  1   y   ( y  2)  y    y2  1  y 1  y2  1  y y2   y2  y    y  1(loai )   y  2(tm)  x  Vậy hệ có nghiệm (4; 2) *Dạng 2: Các mối quan hệ rút từ kết hợp phương trình Dấu hiệu là: bấm nghiệm phương trình xấu Ví dụ 1:  2( x  y)3  xy   0(1)  2 ( x  y )  x  xy  y  x  y   0(2) Giải: Để sử lý dạng này, phải cộng (trừ) (1) với (2) nhân với k, đơn giản k =1 có phải cộng (trừ) k =1,2,3,4,5, Nhưng dạng hiếm, khó em ( x  y )  x  xy  y  x  y   k [2( x  y )3  xy  3]  Các em thử k =1,2,3,4,5 -1,-2,-3,-4,-5 Y ngun X ngun 12 Bí Kíp Cơng phá Hệ Phương Trình fx 570 ES PLUS Chuyên đề đặc biệt Ta bảng giá trị sau: Y X -1 Dễ thấy quy luật x + y =1 Ta biến đổi sau: ( x  y )  x  xy  y  x  y   [2( x  y )3  xy  3]   ( x  y )  2( x  y )3  x  y  x  y    ( x  y )3 ( x  y  1)  3[( x  y )3  1]  x  2( y  y  1)  ( x  y  1)   ( x  y )3 ( x  y  1)  3[( x  y )3  1]  2[x  ( y  1) ]  ( x  y  1)   ( x  y  1){( x  y )3  3[( x  y )  ( x  y )  1)]-2(x-y+1)+1}=0  ( x  y  1){( x  y )3  3( x  y ) +2+x+5y}=0 x  y   0(3)   ( x  y )  3( x  y ) +2+x+5y=0(4) Lấy 2.(4) – (1) : 6( x  y )  x  10 y   xy    6( x  xy  y )  xy  x  10 y   16 14 25 25  (5 x  xy  y )  ( x  x  1)  [ y  10 y  ( ) ]    ( )  5 14 14 14 25  25   (x  y )  ( x  1)  [ y  ]2      5  14  Do VT > nên phương trình vơ nghiệm Vậy: x +y -1 = thay vào (1) được:  x(1  x)    x  x    x  Vậy hệ có nghiệm x  y  1 y 2 ( em làm theo phương pháp đánh giá )  x  11x  y    Ví dụ 2: Giải hệ phương trình :   4 x  22 x  21  y  y  y  (2 x  1) x  Gợi ý: Bấm máy phương trình Y nguyên  X lẻ  nghĩ tới dạng 2: kết hợp phương trình Lấy (2) – k(1) bấm máy với k = 1,2,3,4… Y= [4 x  22 x  21  y  y  y  (2 x  1) x  1]-k.(2 x  11x  y  9)  Với k=1, Y=  X = 9,… nghiệm xấu 13 Bí Kíp Cơng phá Hệ Phương Trình fx 570 ES PLUS Chuyên đề đặc biệt Với k= 2, Y=0……….X = đẹp, thử tiếp Y = X =2,5 Vậy xong Ta có bảng giá trị sau : Y X 2,5 8,5 13 Chú ý có phải bấm ln với X xem có đẹp khơng? Dễ dàng suy được: y   x  muốn chứng minh điều có dùng hàm số thơi, để ý vào phương trình nhé, cố ép dạng hàm, thường người ta gợi ý cho x, y độc lập vế nghĩ tới hàm số Lấy (2) - 2.(1) ta được: y  y  y   (2 x  1) x   ( y  y  y  1)  2( y  1)  (2 x  1) x   2 x   ( y  1)3  2( y  1)    2x 1  2x 1 Xét hàm f (t )  t  2t xong, phần lại em tự làm tiếp * Dạng anh mở rộng thêm chủ yếu anh tập chung vào dạng có tới 90% hệ đề thi thử ĐH dạng 1, minh chứng ví dụ sau đây:  x   x   y   y Ví dụ (ĐH-AA1-2013) Giải hệ phương trình:  (với x, y số thực)  x  x( y  1)  y  y   Giải: Điều kiện x   Bảng kết với phương trình 1: Y X x + 1+ Can’t x - 1- y4 + = y 17 82 257 Dự đoán: y  x  Từ em kết hợp với PP hàm số x y đứng độc lập nên nghĩ tới hàm số Ta biến đổi phương trình thành:   x 1   x 1  y4   y Xét hàm: f (t )  t   t với t  f '(t )  2t   vớiv t  hàm đồng biến nên : y  x  t 2 Thế vào phương trình (2) ta được: y ( y  y  y  4)  (3) g ( y )  y  y  y  4, g '( y )  y  y   với y  Dễ thấy g (1)  nên phương trình (3) có nghiệm y=0 y = suy x = x = Vậy hệ có nghiệm (1;0) (2;1) 14 Bí Kíp Cơng phá Hệ Phương Trình fx 570 ES PLUS Chuyên đề đặc biệt  x  y  xy  x  y   Ví dụ (ĐH-B-2013) Giải hệ phương trình:   x, y  R 4 x  y  x   x  y  x  y Giải:  Bảng kết với phương trình 1: 2x + y2 - 3xy + 3x - 2y + =  Lưu ý trường hợp ban đầu cho X = nhé, để KQ em trung với anh Y X -0,5 0,5 1,5 Dễ dàng nhận quy luật 2x+1 = y, em ghép để xuất nhân tử (2x-y+1) x  y  3xy  3x  y    x(2 x  y  1)  xy  x  y  y    x(2 x  y  1)  y (2 x  y  1)  x  y    ( x  y  1)(2 x  y  1)  có phần tử gây nhiễu x-y+1 mà may không ảnh hưởng lúc ta bấm máy  y  x 1 Vậy :   y  2x 1 *Với y = x + thay vào phương trình (2) ta có: 3x  x   3x   x  em bấm nghiệm x = x = cần khởi tạo giá trị ban đầu “-9=” “9=” em tìm nghiệm có nhân tử “ x  x ” Ta phân tích thành: 3( x  x)  ( x   x  1)  ( x   x  4)  1    ( x  x ) 3   0  x   3x  x   x    x 1  x2  x    x  Vậy ta tìm nghiệm (0;1) (1;2) *Với y = 2x + thay vào phương trình (2) được:  3x  x   x  làm tương tự được: x(3   )0 x0 4x 1 1 9x   Vậy hệ có nghiệm (0;1) (1;2) 15 Bí Kíp Cơng phá Hệ Phương Trình fx 570 ES PLUS Chuyên đề đặc biệt  x  3x  x  22  y  y  y  Ví dụ 3: (ĐH-AA1-2012) Giải hệ phương trình:   x, y  R x2  y  x  y    Gợi ý:  Bảng kết với phương trình 1: x3 - 3x2 - 9x + 22 = y3 + 3y2 - 9y Y X 2 1,79 3 -1 100 102 Bài có phần tử gây nhiễu cho việc bấm máy, ta tìm đc có nhân tử: x = y+2 x-1= y+3 x-2 = y x-1 = y+1 vào mà chọn mối quan hệ thích hợp Rõ ràng x y độc lập với nên nghĩ tới pp hàm số, em biến đổi thành: ( x3  3x  3x  1)  12( x  1)  ( y  y  y  1)  12( y  1)  ( x  1)3  12( x  1)  ( y  1)3  ( y  1) Để xét hàm em phải ý vào đoạn mà ta cần xét nhé, phải bám vào pt 2, BGD giải chi tiết rồi, anh định hướng cho em 5 x y  xy  y  2( x  y )  Ví dụ (ĐH-A-2011) Giải hệ phương trình:  (với x, y số thực) 2  xy ( x  y )   ( x  y) Gợi ý:  Bảng kết với phương trình 2: xy(x2 + y2 ) + = (x + y)2 Y X -1,4141 1 0,5 1/3 1/4 1/5 Các em bấm máy để tìm quy luật phương trình : y  xy  x y  2( x  y )  Y X 0,5 1/3 1/4 1/5 Rõ ràng ta thấy pt có nhân tử (xy-1) ta cố tính nhóm để xuất (xy - 1)(x + y ) - (x + y ) + - (x + y) = (xy - 1)(x + y ) + 2(1- xy) = (xy - 1)(x + y - 2) = + TH 1: xy = : Các em tự làm đơn giản +TH : x  y  , thay vào : y ( x  y )  xy  x y  2( x  y )  Vậy lại có nhân tử (xy -1) = ta lại ép nhân tử : y  xy  x y  2( x  y )   2 xy  x y  x  y   2 y( xy  1)  x( xy  1)   ( x  y)( xy  1)  Tới dễ rồi, cịn lại em tự biến đổi tiếp 16 Bí Kíp Cơng phá Hệ Phương Trình fx 570 ES PLUS Chuyên đề đặc biệt (4 x  1) x  ( y  3)  y  0(1) Ví dụ (ĐH-A-10) Giải hệ phương trình:  ( x, y  R) 2 x  y   x  7(2)  Đây câu 10 điểm đề ĐH 2010: ĐK: y   , x Bảng kết với phương trình 1: (4x + 1)x + (y - 3) - 2y = Y X X2 Dự đoán: X  1,11 0,866 0,5 1/3 Can’t solve -1 1,3228 -2 1,5  2Y 2x   y Để ý vế x, y hoàn toàn độc lập nên ta lại áp dụng phương pháp hàm số (4x + 1)x + (y - 3) - 2y = - 2y x [(2x) + 1] = [(5 - 2y) + 1] 2 t Xét hàm: f (t )  (t  1)  (t  t ) hàm đồng biến biến f '(t )  2  x0 5 x vào (2) 2x   y   y x   y 5  x    x    x   0(3) 2  5  Xét hàm g ( x)  x    x    x  đoạn 2   3  0,  4 5  g '( x)  x  x   x    x(4 x  3)   nên hàm số nghịch biến  4x  4x 2  1 Mà g    nên x  nghiệm (3) 2 Với x   y2 1  Vậy hệ có nghiệm  ;  2  17 Bí Kíp Cơng phá Hệ Phương Trình fx 570 ES PLUS Chuyên đề đặc biệt *Mở rộng : Ngồi giải Hệ Phương trình, máy tính FX – 570 ES PLUS hỗ trợ tốt việc giải Bất Phương Trình Phương Trình bậc cao phương trình vơ tỷ Sau anh muốn bổ sung thêm vậy: Trích Đề thi thử THPT Chuyên Vinh lần 2015 ngày 17/5/2015 Giải bất phương trình : 3( x  1) x   2( x  x ) (1)  ( x  1)[3( x  1) x   x ]  Giải: ĐK: x   Bấm máy giải nghiệm phương trình: 3( x  1) x   x Được nghiệm X = 6,464… X = -0,464… Các em lưu A B, để ý AB = -3 A+B = nên chắn có nhân tử x  x  Ta cố gắng ép để có nhân tử: 3( x  1) x   x  3( x  1) x   2( x  x  3)  (12 x  6)  x  1( x   2 x  1)  2( x  x  3) ( x  1)  4(2 x  1)  2( x  x  3) x 1 2x 1 x2  6x   x   2( x  x  3) x 1 2x 1 Vậy ta có: 2x 1 ( x  1).( x  x  3)(  2)  x 1 2x 1  x   ( x  1).( x  x  3)[- x   2( x  1)]