đs9 c1 b2 1 giai he phuong trinh bang pp the

Phương pháp thế Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế: Bước 1: Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình cònlại của hệ để được phương trì

ĐS9 C1 B2: GIẢI HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

A TRỌNG TÂM KIẾN THỨC

1 Phương pháp thế

Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

Bước 1: Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình cònlại của hệ để được phương trình chỉ còn chứa 1 ẩn

Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho

Nhận xét: Tùy theo hệ phương trình ta có thể lựa chọn cách biểu diễn x theo y hoặc biểu diễn

- Nếu a 0 và b 0 thì phương trình vô nghiệm

- Nếu a 0 và b 0 thì phương trình có vô số nghiệm.

2 Phương pháp cộng đại số

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:

Để giải một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có hệ số của cùng một ẩn nào đó trong haiphương trình bằng nhau hoặc đối nhau, ta có thể làm như sau:

Bước 1: Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình chỉ còn chứamột ẩn

Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đãcho

Trường hợp trong hệ phương trình đã cho không có hai hệ số của cùng một ẩn bằng nhau hay đối nhau, ta có thể đưa về trường hợp đã xét bằng cách nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (khác 0).

B CÁC DẠNG BÀI TẬP

A: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

I Phương pháp giải: Căn cứ vào quy tắc thế để giải hpt bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế ta làm như sau

- Từ 1 phương trình của hệ phương trình đã cho (coi như pt thứ nhất), ta biểu diễn 1 ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được 1 phương trình mới (chỉ còn 1 ẩn).

- Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ phương trình và giữ nguyên phương trình thứ nhất, ta được hpt mới tương đương với hệ phương trình đã cho.

*) Chú ý: Ta thường chọn phương trình có các hệ số có giá trị tuyệt đối không quá lớn thường là 1 và -1

II Bài toán

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau

Ta thấy rằng 0y 0 có nghiệm đúng với mọi y R

Do đó hệ phương trình vô số nghiệm.

Cụ thể, tập nghiệm của nó cũng là tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

Ta thấy rằng 0x 0 có nghiệm đúng với mọi x R

Do đó hệ phương trình vô số nghiệm.

Cụ thể, tập nghiệm của nó cũng là tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn1

12

y x

Do đó, hệ phương trình có nghiệm x y;  tính bởi công thức

112

Ta thấy phương trình Ox 16 vô nghiệm với mọi x R

Do đó hệ phương trình vô nghiệm.

Ta thấy phương trình Oy 16 vô nghiệm với mọi y R

Do đó hệ phương trình vô nghiệm.

Bài 3: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế

Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được 2x 2x2 8 hay 0x  4 8 1 

Do không có giá trị nào của x thỏa mãn hệ thức  1 nên hệ phương trình đã cho vônghiệm

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta cóy2x3

Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được 4x 2 2 x3 4 hay 0x  6 4 (1)

Do không có giá trị nào của x thỏa mãn hệ thức  1 nên hệ phương trình đã cho vônghiệm

Ta thấy với mọi giá của của x đều thỏa mãn (2)

Với mỗi giá trị tùy ý của x , giá trị tương ứng của y được tính bởi (1)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là x x ; 2 với x   tùy ý

Ta thấy với mọi giá của của y đều thỏa mãn (2)

Với mỗi giá trị tùy ý của y, giá trị tương ứng của x được tính bởi (1)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là  1 3 ;y y với y   tùy ý

Thay y 3 3x vào phương trình  2 ta được 2x 3 3 3  x 5

Giải phương trình này ta được x 2

Thay x 2 vào phương trình  3 ta được y 3

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là 2; 3 

Bài 4: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế

 

3 5 2 13

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x y  ;   13; 5 

Bài 5: Giải các hệ phương trình sau

a

23

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y ;  4; 3 

Bài 6: Giải các hệ phương trình sau

Bài 7: Giải các hệ phương trình sau

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là

b) Từ phương trình thứ hai của hệ ta có x 2 3.y

Thay vào phương trình thứ nhất ta được

y 

suy ra  5  5 1 5 5

x    x 

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 1; 2 3 

Bài 11: Cho hệ phương trình 2  

Ta thấy mọi giá trị của x đều thỏa mãn (1)

Với giá trị tùy ý của x thì giá trị tương ứng của y được tính bởi phương trình y2x3

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x x ;2 3 với x   tùy ý

Dạng 2: Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

I Phương pháp giải

- Biến đổi hệ phương trình đã cho về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

- Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn tìm được.

II Bài toán

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y ;  2;2

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y  ;   2;1

Bài 4: Giải hệ phương trình sau:

x x

Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

I Cách giải: Ta thực hiện theo các bước sau

Bước 1: Chọn ẩn phụ cho các biểu thức của hệ phương trình đã cho để được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mới ở dạng cơ bản (tìm điều kiện của ẩn phụ nếu có).

Bước 2: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế, từ đó tìm nghiệm của

hệ phương trình đã cho.

II Bài toán

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau

26

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y ;  36;12

Bài 4: Giải các hệ phương trình sau

( 1)3( 2 ) ( 2 1) 7

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y ;  22;3

Bài 5: Giải các hệ phương trình sau:

2 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y ;  1;3

Bài 6: Giải các hệ phương trình sau

66

Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm: (3;-1); (3;-3); (-1;-1); (-1;-3)

Bài 7: Giải các hệ phương trình sau

a

2 2

c Đặt

2 3

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước

I Cách giải:

Ta thường sử dụng các kiến thức sau

- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm  

- Đường thẳng d ax by c:   đi qua điểm M x y 0; 0  ax0by0 c

II Bài toán

Bài 1: Xác định các hệ số a và b, biết rằng hệ phương trình sau:  

x ay I

Bài 3: Biết rằng: Đa thức P x  chia hết cho đa thức x a khi và chỉ khi P a   0

Hãy tìm các giá trị của m và n sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho x 2 và1

m 

và

103

n 

.

Bài 4: Cho hai đường thẳng  d1 :mx 2 3 n2 y6;  d2 : 3m1x2ny56.

Tìm các giá trị của tham số m và n để d d1, 2 cắt nhau tại điểm I2; 5 

Lời giải

Vì d d1, 2 cắt nhau tại điểm I2; 5  nên

1 2

x y

b Tìm giá trị của m thỏa mãn 2x2  7y1

c Tìm các giá trị nguyên của m để biểu thức

m x

m

y m

b Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất x y;  thỏa mãn x2y

c Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất x y;  sao cho P x 23y2 đạt giá trị nhỏ nhất

Vậy m 2 hoặc 1m2 hoặc m  2 là các giá trị cần tìm.

c Hệ có nghiệm duy nhất khi m 2, khi đó nghiệm của hệ là:

2( 2)32( 2)

Từ đó x   7 3 10 Vậy hệ phương trình có nghiệm là 10;7

b) Từ phương trình thứ hai ta có y 2 4x Thế vào phương trình thứ nhất, ta được

c) Từ phương trình thứ hai ta có x3y 2 Thế vào phương trình thứ nhất ta được

0,5 3y 2 1,5y1 hay 0y 0

Ta thấy với mọi giá trị của y đều thỏa mãn phương trình 0y 0

Vậy với giá trị tùy ý của y giá trị tương ứng của x được tính bởi phương trình x3y 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm là 3y 2;y với y   tùy ý

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế

x y

0 0

3

42

Phương trình 0x 0 nghiệm đúng với mọi x  

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm

Các nghiệm của hệ được viết như sau

342

Phương trình 0x 1 vô nghiệm

Vậy hệ phương trình vô nghiệm

Bài 3: Giải hệ phương trình

x y

x y y

x y

Phương trình 0x 16 vô nghiệm

Vậy hệ phương trình vô nghiệm

Phương trình 0x 0 nghiệm đúng với mọi x  

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm

Các nghiệm của hệ được viết như sau 2 3

x y

66