đs9 c1 b2 1 giai he phuong trinh bang pp the

Trang 1

ĐS9 C1 B2: GIẢI HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

A TRỌNG TÂM KIẾN THỨC

1 Phương pháp thế

Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

Bước 1: Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình cònlại của hệ để được phương trình chỉ còn chứa 1 ẩn.

Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.

Nhận xét: Tùy theo hệ phương trình ta có thể lựa chọn cách biểu diễn x theo y hoặc biểu diễn

y theo x* Chú ý:

Giải và biện luận phương trình: ax b 0- Nếu 0

- Nếu a 0 và b 0 thì phương trình vô nghiệm

- Nếu a 0 và b 0 thì phương trình có vô số nghiệm.

2 Phương pháp cộng đại số

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:

Để giải một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có hệ số của cùng một ẩn nào đó trong haiphương trình bằng nhau hoặc đối nhau, ta có thể làm như sau:

Bước 1: Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình chỉ còn chứamột ẩn.

Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đãcho.

Trường hợp trong hệ phương trình đã cho không có hai hệ số của cùng một ẩn bằng nhau hayđối nhau, ta có thể đưa về trường hợp đã xét bằng cách nhân hai vế của mỗi phương trình vớimột số thích hợp (khác 0).

B CÁC DẠNG BÀI TẬP

A: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

I Phương pháp giải: Căn cứ vào quy tắc thế để giải hpt bậc nhất hai ẩn bằng phươngpháp thế ta làm như sau

- Từ 1 phương trình của hệ phương trình đã cho (coi như pt thứ nhất), ta biểu diễn 1 ẩntheo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được 1 phương trình mới (chỉ còn 1 ẩn).

Trang 2

- Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ phương trình vàgiữ nguyên phương trình thứ nhất, ta được hpt mới tương đương với hệ phương trình đãcho.

*) Chú ý: Ta thường chọn phương trình có các hệ số có giá trị tuyệt đối không quá lớnthường là 1 và -1

II Bài toán

Bài 1: Giải các hệ phương trình saua

Ta thấy rằng 0x 0 có nghiệm đúng với mọi x R

Do đó hệ phương trình vô số nghiệm.

Trang 3

Cụ thể, tập nghiệm của nó cũng là tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn1

y x

Do đó, hệ phương trình có nghiệm x y;  tính bởi công thức

yxx R

 

 

Ta thấy phương trình Ox 16 vô nghiệm với mọi x R

Do đó hệ phương trình vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y ;  2;2

Bài 3: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế



Trang 4

 

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có y x 2

Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được 2x 2x2 8 hay 0x  4 8 1 

Do không có giá trị nào của x thỏa mãn hệ thức  1 nên hệ phương trình đã cho vônghiệm.

 

Trang 5

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta cóy2x3

Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được 4x 2 2 x3 4 hay 0x  6 4 (1)

Do không có giá trị nào của x thỏa mãn hệ thức  1 nên hệ phương trình đã cho vônghiệm.

Ta thấy với mọi giá của của x đều thỏa mãn (2)

Với mỗi giá trị tùy ý của x , giá trị tương ứng của y được tính bởi (1)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là x x ; 2 với x   tùy ý.

 

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta cóx 1 3 (1)y

Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được 3 1 3  y9y3 hay 0y  3 3Suy ra 0y 0 (2)

Ta thấy với mọi giá của của y đều thỏa mãn (2)

Với mỗi giá trị tùy ý của y, giá trị tương ứng của x được tính bởi (1)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là  1 3 ;y y với y   tùy ý.

h)

  

Thay x 2 vào phương trình  3 ta được y 3

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là 2; 3 

Trang 6

  

3 12 5 14 3 2

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm

2 4 5 (1)2 1 2

 

Từ phương trình  2 ta có y3x4 3  Thay vào phương trình  1 ta được

12x 4 3x4 1612x12x16160x 0 (vô số nghiệm)

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Trang 7

d)

  

  

Từ phương trình  1 ta có x3y4 3  Thay vào phương trình  2 ta được

2 3y 4 6y 8

6y 8 6y 8   

0y 0 (vô số nghiệm)

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

e)

  

3 2 12 5 1 2

y 

Thay giá trị y 5 vào phương trình  3 ta có

Trang 8

3 5 2 13

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x y  ;   13; 5 

Bài 5: Giải các hệ phương trình sau

a

1 0

xyx y

yx y

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y ;  4; 3 

 



Trang 9

 

 * :x x  2 2 1  1

2x 2 2 12x 3 2

 

 

(luôn đúng)

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.

a)

2 02 3 5 2

x y

Lời giải

a) Cách 1: Ta có

2 02 3 5 2

x y

Trang 10

2 2 3 5 2 

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y;  2; 2

Cách 2: Ta có

2 02 3 5 2

5 22

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y ;  2; 2

x

Trang 11

Lời giải

a) Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có y2 2 5 x 3 Thay vào phương trình thứ hai ta được

Trang 12

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là

  

Lời giải

a) Giải hệ phương trình

  

  

Từ phương trình  1 suy ra x 5 2 2 y Thay vào phương trình  2 ta có

Trang 13

   

Lời giải

a) Giải hệ phương trình

  

  

Từ phương trình  1 suy ra x 5y Thay vào phương trình  2 ta có

y 

suy ra  5  5 1 5 5

x    x 

Trang 14

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

5 5 5 1;

   

Từ phương trình  2 suy ra xy 4 2 3 4 x Thay vào phương trình  1 ta có

2 3x 3 4 2 3 4   x 2 5 3 14 3x14 3 x1

Khi x 1 suy ra y 2 3

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 1; 2 3 

Bài 11: Cho hệ phương trình 2 

Trang 15

Ta thấy mọi giá trị của x đều thỏa mãn (1)

Với giá trị tùy ý của x thì giá trị tương ứng của y được tính bởi phương trình y2x3

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x x ;2 3 với x   tùy ý.

Dạng 2: Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

I Phương pháp giải

- Biến đổi hệ phương trình đã cho về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn- Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn tìm được.

II Bài toán



Trang 16

2 13 99

  

x y

  

x y

2 

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y ;  3;5b

( 1)( 1) ( 2)( 1) 1



Trang 17

 

3(3 2) 4( 2 ) 0



b

( 2)(6 1) (2 3)(3 1)(2 1)(12 9) (4 1)(6 5)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y  ;   2;1

Bài 4: Giải hệ phương trình sau:

Lời giải

Trang 18

 

(9 2) 9 2 22 3

22 3 

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y  ;   2;2 3



Trang 19

( 3 1) 3

 

 

II Bài toán

Trang 20

a

128 15

;a b

xy , ta có:1

128 15 1

 

38 15 1

 

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y ;  28;21.

 

b

Trang 21

 

 

u v

132 

1 2

  

  

x y

xx y

x y

  



Trang 22

  

u v

8 10 515 5 7

 

y (thỏa mãn)

Trang 23

( 1)3( 2 ) ( 2 1) 7

1 52 1

 

Bài 5: Giải các hệ phương trình sau:

3( 2 ) ( 2 1) 7



Trang 24

2 2 11 2  

 

 

 



Trang 25

5 3 74 5 13

 

Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm: (3;-1); (3;-3); (-1;-1); (-1;-3)

a

b Đặt

vy , ta được:2 6

( 3) 41

151  

v Vậy hệ phương trình có hai nghiệm x y   ;   1; 1 ; 5; 1   .

Trang 26

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trướcI Cách giải:

Ta thường sử dụng các kiến thức sau

- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm 

- Đường thẳng d ax by c:   đi qua điểm M x y 0; 0  ax0by0 c

II Bài toán

Bài 1: Xác định các hệ số a và b, biết rằng hệ phương trình sau:  

x ayI

2310 2 8

  

Trang 27

Vậy a2;b5

Bài 3: Biết rằng: Đa thức P x  chia hết cho đa thức x a khi và chỉ khi P a   0

Hãy tìm các giá trị của m và n sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho x 2 và1

 

 

 

 

Vậy 43

m 

và 10

Trang 28

Lời giải

Vì d d1, 2 cắt nhau tại điểm I2; 5  nên

I dI d

2 2 3 2 5 63 1 2 2 5 56

 , m là tham sốa Giải hệ phương trình khi m 1

 

y m

a Với m 1 ta được: 20

b Hệ có nghiệm x y,  thỏa mãn x2 2y2 1 khi và chỉ khi:

Vậy

2 102

Trang 29

b Tìm giá trị của m thỏa mãn 2x2  7y1

c Tìm các giá trị nguyên của m để biểu thức

2x 3yx y

 

 là hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.b Ta có: x y  1 x y 1; 2(y1)2 7y1

2y  3y 1 01

12 

yy

Trang 30

a Tìm m để hệ phương trình có nghiệm

b Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất x y;  thỏa mãn x2y

c Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất x y;  sao cho P x 23y2 đạt giá trị nhỏ nhất

4 0

4 0    

     

 

Vậy điều kiện: m 2.

b Hệ có nghiệm duy nhất  m2 4 0  m2

Khi đó:

(3 1)( 2) 3 1(*)

mm

Trang 31

1 02 01 0

2 0  

 

   

  

 

Vậy m 2 hoặc 1m2 hoặc m  2 là các giá trị cần tìm.

c Hệ có nghiệm duy nhất khi m 2, khi đó nghiệm của hệ là:

2( 2)32( 2)

 

 

Từ đó x   7 3 10 Vậy hệ phương trình có nghiệm là 10;7

b) Từ phương trình thứ hai ta có y 2 4x Thế vào phương trình thứ nhất, ta được

Trang 32

c) Từ phương trình thứ hai ta có x3y 2 Thế vào phương trình thứ nhất ta được

0,5 3y 2 1,5y1 hay 0y 0

Ta thấy với mọi giá trị của y đều thỏa mãn phương trình 0y 0

Vậy với giá trị tùy ý của y giá trị tương ứng của x được tính bởi phương trình x3y 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm là 3y 2;y với y   tùy ý.

3.2 2 8

    

  

Trang 33

0 03

4 2.2 12

0 1

xx y

 

 

3 35 10

 

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy

 

 

Trang 34

 

 

14 382 8

 

 

Vậy hệ phương trình có nghiệm duynhất là

19 18;

 

x yy

 

 

nhất là

14 5;

 



Trang 35

b)

x yx y

 

 

2 11 2 511 2

 

0 1611 2

 

Phương trình 0x 16 vô nghiệmVậy hệ phương trình vô nghiệm

Phương trình 0x 0 nghiệm đúng với mọi x  Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.

Các nghiệm của hệ được viết như sau 2 3

 



Trang 36

b)

2 0

x yx y

 

2 2222

  

2 2 5 36 4 5 6 2

2 2 5 36 6 6



Trang 37

Cộng từng vế của phương trình của hệ ta được x y   x y    1 hay 2x 1 hay

y 

1 13;2 2



Trang 38

4 3 2 15 2 3

44 3 2 15 2 3

 

35 

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y ;   3; 5