Website:tailieumontoan.com PHÒNG GD VÀ ĐT HUYỆN ĐAN PHƯỢNG ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2020-2021 MƠN: TỐN Đề số 12 Câu (5,0 điểm) 1 x5 x x x x x ;x P 4x x với 2 1) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P 2 2) Cho số a, b, c thỏa mãn a b c 9 Tính giá trị biểu thức: A (2a 2b c ) (2b 2c a ) (2c 2a b) 19 Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sau: 2x 1) 2) Câu 2 x 2021 x x 2020 4 x x 2021 x x 2020 x x 1 x 10 x 25 7 x 14 (3,0 điểm) 1) Tìm tất số nguyên dương n cho n ước n 14 2) Chứng minh m số nguyên tố lớn số A 3n 2020m hợp số với số tự nhiên n Câu Cho hình vng ABCD có cạnh a N điểm tuỳ ý cạnh AB Gọi E giao điểm CN DA Vẽ tia Cx vng góc với CE cắt AB F Lấy M trung điểm EF 1) Chứng minh EDC FBC CM vng góc với EF 2) Chứng minh CE FB.FN ba điểm B, D, M thẳng hàng 3) Tìm vị trí N AB cho diện tích tứ giác AEFC gấp ba lần diện tích hình vuông ABCD Câu (2,0 điểm) a ,a ,a ,a ,a a a2 a3 a4 a5 1 Tìm giá trị Cho số thực không âm thỏa mãn M a1a2 a2 a3 a3 a4 a4 a5 lớn Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com HẾT PHỊNG GD VÀ ĐT HUYỆN ĐAN PHƯỢNG ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2020-2021 MÔN: TOÁN HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu (5,0 điểm) 1) Cho biểu thức P 1 x5 x x x x x ;x 4x x với 2 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P 2 2) Cho số a, b, c thỏa mãn a b c 9 Tính giá trị biểu thức: A (2a 2b c) (2b 2c a) (2c 2a b) 19 Hướng dẫn giải 1) a) Ta có: P x5 x x x x x2 x3 x x 1 x (2 x 1) (2 x 1) (2 x 1)(2 x 1) (2 x 1) x x 1 x (2 x 1) (2 x 1)(2 x 1) x4 x 1 x 1 x 1 x4 1 x 1 x 1 P 0 0 2x 1 b) (*) co x với x Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com (*) x x Từ Kết hợp với điều kiện Vậy P 0 x 1 x 1 ;x 2 1 ;x 2 2) Đặt: x a b c 2a 2b c 2(a b c) 3c 2 x 3c Tương tự: 2b 2c a 2(b c a) 3a 2 x 3a; 2c 2a b 2(c a b) 3b 2 x 3b A (2 x 3c) (2 x 3a) (2 x 3b) 19 12 x 12 x(a b c ) a b c 19 9 a b c 81 19 100 Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sau 2x 1) 2) 2 x 2021 x x 2020 4 x x 2021 x x 2020 x x x 10 x 25 7 x 14 Hướng dẫn giải a 2 x x 2021 1) Đặt: b x x 2020 Phương trình cho trở thành: a 4b 4ab (a 2b) 0 a 2b 0 a 2b Khi đó, ta có: x x 2021 2 x x 2020 x x 2021 2 x 10 x 4040 11x 2019 x 2019 11 Vậy phương trình có nghiệm x 2019 11 2) ĐKXĐ: Với x R Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Có x x x 10 x 25 0 với x x 14 0 x 2 x x x 10 x 25 7 x 14 (2 x 1) ( x 5) 7 x 14 | x 1| | x |7 x 14(*) Vì x 2 x 0; x | x 1|2 x 1;| x |x (*) x x 7 x 14 x 18 x Vậy phương trình có nghiệm Câu x 9 (3,0 điểm) 1) Tìm tất số nguyên dương n cho n ước n 14 2) Chứng minh m số nguyên tố lớn số A 3n 2020m hợp số với số tự nhiên n Hướng dẫn giải 1) Có n ước n 14 n 2n n 14 n6 Z Z n2 n2 Z n2 n 2 ước nguyên dương n 1, 2,3, 6 Vì n 2 n2 2,3, 6 n 0,1, 4 n 0,1, 1, 2, 2 Mà n số nguyên dương nên 2) Có n 1, 2 A 3n 2020m 3n 2019m m 3 n 673m m 1 m 1 Vì m số nguyên tố lớn nên m không chia hết cho Nên m chia cho dư dư m 1 m 1 3 A3 Mà A nên A hợp số Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu Cho hình vng ABCD có cạnh a N điểm tuỳ ý cạnh AB Gọi E giao điểm CN DA Vẽ tia Cx vng góc với CE cắt AB F Lấy M trung điểm EF 1) Chứng minh EDC FBC CM vng góc với EF 2) Chứng minh CE FB.FN ba điểm B, D, M thẳng hàng 3) Tìm vị trí N AB cho diện tích tứ giác AEFC gấp ba lần diện tích hình vng ABCD Hướng dẫn giải E M N A B F D C 1) Chứng minh EDC FBC CM vng góc với EF Ta có ECD BCF (cùng phụ với ECB ) Chứng minh EDC FBC ( g c.g ) EDC FBC CE CP ECF cân C Mà CM đường trung tuyến nên CM CF 2) Chứng minh CE FB.FN ba điểm B , D , M thẳng hàng Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông CNF ta có: CF FB.FN Có CE CF CE FB.FN CEF vng C có CM đường trung tuyến nên Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: CM FE TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com AEF vng A có AM đường trung tuyến nên AM FE Suy CM AM M thuộc đường trung trực AC Vì ABCD hình vng nên B , D thuộc đường trung trực AC Vậy ba điểm B , D , M thẳng hàng 3) Tìm vị trí N AB cho diện tích tứ giác AEFC gấp ba lần diện tích hình vng ABCD Đặt DE x ( x 0) BF x 1 S ACFE S ACF S AFE AF ( AE CB ) ( AB BF )( AE AD ) 2 1 (a x).DE (a x) x 2 S ACFE 3S ABCD (a x ) x 3a 6a ax x 0 (2a x)(3a x) 0 Do x, a nên 3a x 2a x 0 x 2a AE a AN AE 1 N trung điểm AB Có AE // BC nên NB BC Vậy N trung điểm AB S ACFE 3S ABCD Câu (2,0 điểm) a ,a ,a ,a ,a a a2 a3 a4 a5 1 Tìm giá trị Cho số thực không âm thỏa mãn M a1a2 a2 a3 a3 a4 a4 a5 lớn Hướng dẫn giải M a1a2 a2 a3 a3 a4 a4 a5 a1a2 a2 a3 a2 a5 a1a4 a3 a4 a4 a5 a a a a a a2 a1 a3 a5 a4 a1 a3 a5 a1 a3 a5 a2 a4 1 a1 a2 0, a3 a5 , a2 Dấu “=” xảy chẳng hạn Vậy GTLN M HẾT Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC