11 hsg toan 9 2020 2021 huyen chuong my toan thcs vn

Website:tailieumontoan.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CHƯƠNG MỸ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2020-2021 MƠN: TỐN Thời gian làm 150 phút Đề số 11 Câu (5 điểm) x1 x  7 x  x    x  x x  x  với x 0 ; x 4 Cho biểu thức 1) Rút gọn biểu thức P P 2) Tính giá trị biểu thức P x  21  48  21  48 3) Tìm tất giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên; Q P x x  12 x 4) Tìm giá trị nhỏ Câu (2 điểm) 1) Chứng minh rằng: n  10n  chia hết cho 384 với n số nguyên lẻ 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  y 2 xy  11 Câu (3 điểm) 1) Giải phương trình: x    x   x  10  12 2) Tìm tất số nguyên a cho a  2022 số phương Câu (3 điểm) 1) Cho hình vng ABCD Gọi E điểm cạnh BC Qua A kẻ tia Ax vng góc với AE cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI G Chứng minh rằng: a) AE  AF tứ giác EGFK hình thoi b) AF FK FC c) Cho hình vng ABCD cố định có độ dài cạnh a , chứng minh E di động cạnh BC chu vi EKC khơng đổi  d) Cho BAE 30 Tính diện tích tứ giác AEKF theo a (Sử dụng kết sau 6 6 sin15  cos15  4 cần: ; )   2) Cho ABC vng A có AB  AC trung tuyến AM Đặt ACB  , AMB  sin   cos   1  sin   Chứng minh rằng: Câu (2 điểm) f x x  2ax  b 1) Xác định số hữu tỉ a , b cho đa thức   chia hết cho đa thức x  cịn chia cho đa thức x  dư 2 2) Cho x , y , z thỏa mãn x  y  z  xy  xz  yz  y  3z  0 Tính giá trị biểu thức : M  x  3 2020   y  2 2021   z  4 2022 HẾT Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG TOÁN HUYỆN CHƯƠNG MỸ Năm học: 2020-2021 Câu (5 điểm) x1 x  7 x  x    x  x x  x  với x 0 ; x 4 Cho biểu thức 1) Rút gọn biểu thức P P 2) Tính giá trị biểu thức P x  21  48  21  48 3) Tìm tất giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên; Q P x x  12 x 4) Tìm giá trị nhỏ Lời giải 1) Rút gọn biểu thức P P x1 x  7 x  x   3 x 2 x x  x   ( x  1)( x  2)  ( x  3)( x  3)  (7  x  x) ( x  2)( x  3)  x  x 2  x 9   x  x ( x  2)( x  3)  x x 4 ( x  2) x   ( x  2)( x  3) ( x  2)( x  3) x 3 Vậy với x 0 x 4 P x x 3 2) Tính giá trị biểu thức P x  21  48  Ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 x  21  3.4  liệu word 21  48 21  3.4  (2  3)  (2  3) môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com     6 (tmđk x 0 x 4 ) Thay x 6 vào biểu thức P, ta có: Vậy x  21  48    12   3 P 21  48 P  12  3) Tìm tất giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên x 3 x  5   1  x x x Ta có: P  x  nguyên  5 x   P nguyên Bảng tìm x  x -1 -5 x -3 x Tmđk Tmđk  49 Tmđk Nhận định Với x   1;9; 49 P có giá trị ngun x x  12 x   x Q P 4) Tìm giá trị nhỏ Q Ta có: Q x   Ư (5)  1; 5  x x 3   x x 3 x  x  x x  x 8    x  6  x   x x  x  4  x Dấu “=” xảy x 8 (tmđk) Q 2 x Vậy GTNN của: Q 4  x = Câu (2 điểm) 1) Chứng minh rằng: n  10n  chia hết cho 384 với n số nguyên lẻ 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  y 2 xy  11 Lời giải 1) Chứng minh rằng: n  10n  chia hết cho 384 với n số nguyên lẻ 4 2 Đặt A n  10n  (n  n )  (9n  9) (n  9)(n2  1) (n  3)(n  1)(n  1)(n  3) Vì n lẻ nên đặt n 2k  1( k  Z ) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Suy ra: A (2k  2)2k (2k  2)(2k  4) 16(k  1)k (k 1)( k  2)  A chia hết cho 16 (1) Vì ( k  1).k (k  1).( k  2) tích số nguyên liên tiếp nên A có chứa bội 2; 3; Do A bội 24 hay A chia hết cho 24 (2) Từ (1) (2) suy A chia hết cho 16.24 384 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  y 2 xy  11 x  y 2 xy  11  10 x  y 4 xy  22  xy  10 x  y  15 7  (2 x  3)(2 y  5) 7 x  y  ước nên ta lập bảng tìm x; y : 2x  2y  x y -1 Vậy phương trình có tập nghiệm Câu -1 -7 -7 -1 -2 -5 -1 S  ( 1;6);(  2;  1); (2;3);(  5; 2) (3 điểm) 1) Giải phương trình: x    x   x  10  12 2) Tìm tất số nguyên a cho a  2022 số phương Lời giải 1) Giải phương trình: Điều kiện:  x 9 x    x   x  10 x  12 x    x   x  10 x  12  x    x  ( x  1)(9  x) 12(2) Đặt t  x    x (t 0)  t 8  ( x  1)(9  x) (2)  t  t  20 0  (t  5)(t  4) 0 Do t 0  t    t  0  t 4 (tmđk)   ( x  1)(9  x) 16   x  10 x  4   x  10 x  16  x  10 x  25 0  x 5 Với x 5 thỏa mãn đk Vậy phương trình có nghiệm x 5 2) Tìm tất số nguyên a cho a  2022 số phương 2 Đặt a  2022 k (k  Z )  k  a 2022  (k  a )(k  a ) 2022(*) Vì (k  a)(k  a) 2k số chẵn nên k  a k  a có tính chẵn lẻ mà (k  a)( k  a ) 2022 số chẵn nên k  a k  a số chẵn Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  ( k  a)(k  a) tích số chẵn chia hết từ (*) có 2022 chia hết cho 4, điều vơ lí Vậy khơng có số ngun để a  2022 số phương Câu (3 điểm) 1) Cho hình vng ABCD Gọi E điểm cạnh BC Qua A kẻ tia Ax vng góc với AE cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI G Chứng minh rằng: a) AE  AF tứ giác EGFK hình thoi b) AF FK FC c) Cho hình vng ABCD cố định có độ dài cạnh a , chứng minh E di động cạnh BC chu vi EKC khơng đổi  d) Cho BAE 30 Tính diện tích tứ giác AEKF theo a (Sử dụng kết sau cần: sin15  6 6 cos15  4 ; )   2) Cho ABC vng A có AB  AC trung tuyến AM Đặt ACB  , AMB   sin   cos   Chứng minh rằng: 1  sin  Lời giải a) AE  AF tứ giác EGFK hình thoi + Chứng minh BAE DAF (g.c.g)  AE AF  AEF cân, AI trung tuyến  AI trung trực  AK trung trực đoạn thẳng EF , G  AK  KE KF , GE GF (1) Chứng minh được: EGI FKI ( g.c.g ) EGI EKI ( g c.g ) Suy ra: KF GE EK EG (2) Từ (1) (2) suy ra: EK EG GF FK Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  EGFK hình thoi b) AF FK FC Chứng minh FIK đồng dạng với FCE  FI FE FK FC Chứng minh: AF FI FC (hệ thức lượng tam giác vuông AEF )  AF FK FC c) Khi E thay đổi BC, chu vi EKC khơng đổi Ta có: FK KE (cmt) PECK CE  CK  EK CE  CK  KF CE  CK  DK  DF (CK  DK )  (CE  BE ) (vì BE DF theo chứng minh trên) = CD  BC a  a 2a không đổi Vậy chu vi EKC không đổi C di chuyển cạnh BC  d) Cho BAE 30 Tính diện tích tứ giác AEKF theo a Áp dụng tỉ số lượng giác vào ABE vng B , tính được: AE  3a (đvđd) EF  6a (đvđd) Áp dụng định lý Py-ta-go vào AEF vuông F tính được:  Chứng minh FAI 45      Suy ra: DAK FAI  FAD 45  30 15 (vì FAD EAB 30 theo chứng minh câu a) BAE DAF ) Áp dụng tỉ số lượng giác vào ADK vng D , tính được: AD AD 4.a AK      a  cos15 6 cos DAK (đvđd)  Suy ra:  S AEKF  AK EF  6    2 6a 12  a a  3 (đvdt)    Cho ABC vng A có AB < AC trung tuyến AM Đặt ACB  , AMB  Chứng minh rằng:  sin   cos   1  sin  Kẻ AH  BC , AB  AC nên H nằm B M Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Ta có: 1   sin   cos  sin   cos 2  2sin  cos =1+2sin  cos AB AC AB.BC 1  BC BC BC Theo hệ thức liên hệ tam giác vuông AB AC BC AH , đó: AH BC AH AH AH 1  1  1  1  sin   sin   cos  1  2 BC BC BC AM Câu (2 điểm) f x x  2ax  b 1) Xác định số hữu tỉ a , b cho đa thức   chia hết cho đa thức x  chia cho đa thức x  dư 2 2) Cho x , y , z thỏa mãn x  y  z  xy  xz  yz  y  3z  0 Tính giá trị biểu thức : M  x  3 2020   y  2 2021   z  4 2022 Lời giải f x x  2ax  b 1) Xác định số hữu tỉ a, b cho đa thức   chia hết cho đa thức x - chia cho đa thức x + dư + Do f(x) chia hết cho x –  f (1) 0  2a  b  (1) + Do f(x) chia cho x + dư  f ( 2) 3   4a  b 11 (2) Kết hợp điều (1) điều (2) Giải a = -2; b = 2 2) Cho x , y , z thỏa mãn x  y  z  xy  xz  yz  y  3z  0 Tính giá trị 2020 2021 M  x  3   y  2   z   biểu thức : 2 Do x  y  z  xy  xz  yz  y  3z  0 2022  x  y  z 2 xy  xz  yz  y  3z  0  (4 x  y  z  xy  xz  yz )  ( y  y  1)  ( z  z  9) 0  (2 x  y  z )  ( y  1)  ( z  3) 0 2 x  y  z 0    y  0   z  0   x    y 1  z   Thay vào biểu thức: M  x  3 2020 M  x  3 2020   y  2 2021   y  2 2021   z  4 2022   z  4 2022 ta 1 HẾT Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC