Website:tailieumontoan.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CHƯƠNG MỸ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2020-2021 MƠN: TỐN Thời gian làm 150 phút Đề số 11 Câu (5 điểm) x1 x 7 x x x x x x với x 0 ; x 4 Cho biểu thức 1) Rút gọn biểu thức P P 2) Tính giá trị biểu thức P x 21 48 21 48 3) Tìm tất giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên; Q P x x 12 x 4) Tìm giá trị nhỏ Câu (2 điểm) 1) Chứng minh rằng: n 10n chia hết cho 384 với n số nguyên lẻ 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y 2 xy 11 Câu (3 điểm) 1) Giải phương trình: x x x 10 12 2) Tìm tất số nguyên a cho a 2022 số phương Câu (3 điểm) 1) Cho hình vng ABCD Gọi E điểm cạnh BC Qua A kẻ tia Ax vng góc với AE cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI G Chứng minh rằng: a) AE AF tứ giác EGFK hình thoi b) AF FK FC c) Cho hình vng ABCD cố định có độ dài cạnh a , chứng minh E di động cạnh BC chu vi EKC khơng đổi d) Cho BAE 30 Tính diện tích tứ giác AEKF theo a (Sử dụng kết sau 6 6 sin15 cos15 4 cần: ; ) 2) Cho ABC vng A có AB AC trung tuyến AM Đặt ACB , AMB sin cos 1 sin Chứng minh rằng: Câu (2 điểm) f x x 2ax b 1) Xác định số hữu tỉ a , b cho đa thức chia hết cho đa thức x cịn chia cho đa thức x dư 2 2) Cho x , y , z thỏa mãn x y z xy xz yz y 3z 0 Tính giá trị biểu thức : M x 3 2020 y 2 2021 z 4 2022 HẾT Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG TOÁN HUYỆN CHƯƠNG MỸ Năm học: 2020-2021 Câu (5 điểm) x1 x 7 x x x x x x với x 0 ; x 4 Cho biểu thức 1) Rút gọn biểu thức P P 2) Tính giá trị biểu thức P x 21 48 21 48 3) Tìm tất giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên; Q P x x 12 x 4) Tìm giá trị nhỏ Lời giải 1) Rút gọn biểu thức P P x1 x 7 x x 3 x 2 x x x ( x 1)( x 2) ( x 3)( x 3) (7 x x) ( x 2)( x 3) x x 2 x 9 x x ( x 2)( x 3) x x 4 ( x 2) x ( x 2)( x 3) ( x 2)( x 3) x 3 Vậy với x 0 x 4 P x x 3 2) Tính giá trị biểu thức P x 21 48 Ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 x 21 3.4 liệu word 21 48 21 3.4 (2 3) (2 3) môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 6 (tmđk x 0 x 4 ) Thay x 6 vào biểu thức P, ta có: Vậy x 21 48 12 3 P 21 48 P 12 3) Tìm tất giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên x 3 x 5 1 x x x Ta có: P x nguyên 5 x P nguyên Bảng tìm x x -1 -5 x -3 x Tmđk Tmđk 49 Tmđk Nhận định Với x 1;9; 49 P có giá trị ngun x x 12 x x Q P 4) Tìm giá trị nhỏ Q Ta có: Q x Ư (5) 1; 5 x x 3 x x 3 x x x x x 8 x 6 x x x x 4 x Dấu “=” xảy x 8 (tmđk) Q 2 x Vậy GTNN của: Q 4 x = Câu (2 điểm) 1) Chứng minh rằng: n 10n chia hết cho 384 với n số nguyên lẻ 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y 2 xy 11 Lời giải 1) Chứng minh rằng: n 10n chia hết cho 384 với n số nguyên lẻ 4 2 Đặt A n 10n (n n ) (9n 9) (n 9)(n2 1) (n 3)(n 1)(n 1)(n 3) Vì n lẻ nên đặt n 2k 1( k Z ) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Suy ra: A (2k 2)2k (2k 2)(2k 4) 16(k 1)k (k 1)( k 2) A chia hết cho 16 (1) Vì ( k 1).k (k 1).( k 2) tích số nguyên liên tiếp nên A có chứa bội 2; 3; Do A bội 24 hay A chia hết cho 24 (2) Từ (1) (2) suy A chia hết cho 16.24 384 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y 2 xy 11 x y 2 xy 11 10 x y 4 xy 22 xy 10 x y 15 7 (2 x 3)(2 y 5) 7 x y ước nên ta lập bảng tìm x; y : 2x 2y x y -1 Vậy phương trình có tập nghiệm Câu -1 -7 -7 -1 -2 -5 -1 S ( 1;6);( 2; 1); (2;3);( 5; 2) (3 điểm) 1) Giải phương trình: x x x 10 12 2) Tìm tất số nguyên a cho a 2022 số phương Lời giải 1) Giải phương trình: Điều kiện: x 9 x x x 10 x 12 x x x 10 x 12 x x ( x 1)(9 x) 12(2) Đặt t x x (t 0) t 8 ( x 1)(9 x) (2) t t 20 0 (t 5)(t 4) 0 Do t 0 t t 0 t 4 (tmđk) ( x 1)(9 x) 16 x 10 x 4 x 10 x 16 x 10 x 25 0 x 5 Với x 5 thỏa mãn đk Vậy phương trình có nghiệm x 5 2) Tìm tất số nguyên a cho a 2022 số phương 2 Đặt a 2022 k (k Z ) k a 2022 (k a )(k a ) 2022(*) Vì (k a)(k a) 2k số chẵn nên k a k a có tính chẵn lẻ mà (k a)( k a ) 2022 số chẵn nên k a k a số chẵn Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ( k a)(k a) tích số chẵn chia hết từ (*) có 2022 chia hết cho 4, điều vơ lí Vậy khơng có số ngun để a 2022 số phương Câu (3 điểm) 1) Cho hình vng ABCD Gọi E điểm cạnh BC Qua A kẻ tia Ax vng góc với AE cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI G Chứng minh rằng: a) AE AF tứ giác EGFK hình thoi b) AF FK FC c) Cho hình vng ABCD cố định có độ dài cạnh a , chứng minh E di động cạnh BC chu vi EKC khơng đổi d) Cho BAE 30 Tính diện tích tứ giác AEKF theo a (Sử dụng kết sau cần: sin15 6 6 cos15 4 ; ) 2) Cho ABC vng A có AB AC trung tuyến AM Đặt ACB , AMB sin cos Chứng minh rằng: 1 sin Lời giải a) AE AF tứ giác EGFK hình thoi + Chứng minh BAE DAF (g.c.g) AE AF AEF cân, AI trung tuyến AI trung trực AK trung trực đoạn thẳng EF , G AK KE KF , GE GF (1) Chứng minh được: EGI FKI ( g.c.g ) EGI EKI ( g c.g ) Suy ra: KF GE EK EG (2) Từ (1) (2) suy ra: EK EG GF FK Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com EGFK hình thoi b) AF FK FC Chứng minh FIK đồng dạng với FCE FI FE FK FC Chứng minh: AF FI FC (hệ thức lượng tam giác vuông AEF ) AF FK FC c) Khi E thay đổi BC, chu vi EKC khơng đổi Ta có: FK KE (cmt) PECK CE CK EK CE CK KF CE CK DK DF (CK DK ) (CE BE ) (vì BE DF theo chứng minh trên) = CD BC a a 2a không đổi Vậy chu vi EKC không đổi C di chuyển cạnh BC d) Cho BAE 30 Tính diện tích tứ giác AEKF theo a Áp dụng tỉ số lượng giác vào ABE vng B , tính được: AE 3a (đvđd) EF 6a (đvđd) Áp dụng định lý Py-ta-go vào AEF vuông F tính được: Chứng minh FAI 45 Suy ra: DAK FAI FAD 45 30 15 (vì FAD EAB 30 theo chứng minh câu a) BAE DAF ) Áp dụng tỉ số lượng giác vào ADK vng D , tính được: AD AD 4.a AK a cos15 6 cos DAK (đvđd) Suy ra: S AEKF AK EF 6 2 6a 12 a a 3 (đvdt) Cho ABC vng A có AB < AC trung tuyến AM Đặt ACB , AMB Chứng minh rằng: sin cos 1 sin Kẻ AH BC , AB AC nên H nằm B M Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Ta có: 1 sin cos sin cos 2 2sin cos =1+2sin cos AB AC AB.BC 1 BC BC BC Theo hệ thức liên hệ tam giác vuông AB AC BC AH , đó: AH BC AH AH AH 1 1 1 1 sin sin cos 1 2 BC BC BC AM Câu (2 điểm) f x x 2ax b 1) Xác định số hữu tỉ a , b cho đa thức chia hết cho đa thức x chia cho đa thức x dư 2 2) Cho x , y , z thỏa mãn x y z xy xz yz y 3z 0 Tính giá trị biểu thức : M x 3 2020 y 2 2021 z 4 2022 Lời giải f x x 2ax b 1) Xác định số hữu tỉ a, b cho đa thức chia hết cho đa thức x - chia cho đa thức x + dư + Do f(x) chia hết cho x – f (1) 0 2a b (1) + Do f(x) chia cho x + dư f ( 2) 3 4a b 11 (2) Kết hợp điều (1) điều (2) Giải a = -2; b = 2 2) Cho x , y , z thỏa mãn x y z xy xz yz y 3z 0 Tính giá trị 2020 2021 M x 3 y 2 z biểu thức : 2 Do x y z xy xz yz y 3z 0 2022 x y z 2 xy xz yz y 3z 0 (4 x y z xy xz yz ) ( y y 1) ( z z 9) 0 (2 x y z ) ( y 1) ( z 3) 0 2 x y z 0 y 0 z 0 x y 1 z Thay vào biểu thức: M x 3 2020 M x 3 2020 y 2 2021 y 2 2021 z 4 2022 z 4 2022 ta 1 HẾT Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC