Website:tailieumontoan.com ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP CỤM CHUN MƠN SỐ NĂM HỌC 2020-2021 MƠN: TỐN Thời gian làm 120 phút Câu (4 điểm) A = 1+ a) Chứng minh b) Giả sử nguyên tố p p2 + 84 84 + 1− 9 số nguyên số nguyên tố Chứng minh p3 + số Câu (6 điểm) Giải phương trình sau: a) b) c) x + x + + − x = 11 x − + − 3x = x − 20 x + 22 ( x − 1) x2 + = x2 − 2x + Câu (4 điểm) a Cho 1 1 + + = a b c a+b+c b Cho ba số dương Q = a.b.c Chứng minh rằng: a b c , , thỏa mãn điều kiện Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC I, K liệu word mơn + b 2021 tốn: D + c 2021 = a 2021 1 + + =2 1+ a 1+ b 1+ c nhọn, có đường cao Gọi hình chiếu điểm minh Liên hệ tài 039.373.2038 a 2021 AD, BE , CF đường thẳng +b 2021 + c 2021 Tìm giá trị lớn cắt BE , CF H Chứng TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com a) b) BH BE + CH CF = BC IK // EF AEF , BDF , CDE c) Trong tam giác diện tích tam giác ABC có tam giác có diện tích nhỏ Câu (1 điểm) Chứng minh rằng: Nếu tất cạnh tam giác nhỏ tam giác nhỏ diện tích HẾT Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CHỌN HSG TOÁN CỤM CHUYÊN MÔN SỐ Năm học: 2020-2021 Câu (4 điểm) A = 1+ a) Chứng minh b) Giả sử nguyên tố p p2 + 84 84 + 1− 9 số nguyên số nguyên tố Chứng minh p3 + số Lời giải 84 84 + 1− 9 A = 1+ a) Chứng minh số nguyên 84 84 84 84 ÷ + ÷ A3 = + + + 1− 1− 9 ÷ 9 ÷ 84 A3 = + A − ÷ 81 ÷ A3 = − A A3 + A − = ( A − 1) ( A2 + A + ) = A −1 = A2 + A + ≠ (vì ) A=1 Vậy A nguyên b) Giả sử nguyên tố p p2 + số nguyên tố Chứng minh p3 + số p = p2 + = Với : (ktm) p = p + = 11 p + = 29 Với : , (TM) p > ⇒ p = 3k + p + = ( 3t + ) M Với : (KTM) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Vậy p = Câu (6 điểm) Giải phương trình sau: x + x + + − x = 11 a) x − + − 3x = x − 20 x + 22 b) ( x − 1) c) x2 + = x2 − 2x + Lời giải x + x + + − x = 11 a) ⇔ 11 − x − x + − − x = ⇔ x + − x + + + − 2x − − 2x +1 = ⇔ ( ) ( ) x+3−2 + − x −1 = ⇔ x + − = − x −1 = ⇔ x =1 x − + − 3x = x − 20x + 22 b) x − 20x + 22 = ( x − 4x + ) + = ( x − ) + ≥ 2 Ta có: ( 3x − + − 3x ) ≤ ( + ) ( 3x − + − 3x ) = 2 3x − + − 3x ≤ 3x − + − 3x = x − 20x + 22 = Vậy x − 20x + 20 = ⇔ x = c) ( x − 1) x2 + = 2x2 − x + ⇔ ( x + 1) − ( x − 1) x + − x = Đặt a = x2 + 1( a ≥ 1) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word , phương trình trở thành: mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 2a − ( x − 1) a − x = ∆ = ( 4x + 1) > a = ±2x ⇒ x2 + = 2x ⇔ x2 + 1= 4x2 ⇔ 3x2 − = x = ⇔ ( l) x = − Vậy pt có tập nghiệm S = Câu (4 điểm) a 1 1 + + = a b c a+b+c Cho b Cho ba số dương Q = a.b.c Chứng minh rằng: a b c , , thỏa mãn điều kiện a 2021 + b 2021 + c 2021 = a 1 + + =2 1+ a 1+ b 1+ c 2021 +b 2021 + c 2021 Tìm giá trị lớn Lời giải a) Cho a 2021 + 1 1 + + = a b c a +b+c b 2021 Ta có: ⇔ + c 2021 = Chứng minh rằng: a 2021 +b 2021 + c 2021 1 1 + + = a b c a +b +c ab + bc + ca = abc a+b+c ⇔ ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) − abc = Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ⇔ ( a + b ) ( ab + bc + ca ) + abc + bc + ac − abc = ⇔ ( a + b ) ( ab + bc + ca ) + c ( a + b ) = ⇔ ( a + b ) ( ab + bc + ca + c ) = ⇔ ( a + b ) b ( a + c ) + c ( a + c ) = ⇔ ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = a + b = a = −b ⇔ b + c = ⇔ b = −c c + a = c = −a Với a = −b a 2021 + : b 2021 ⇔ ⇔ + c 2021 = a +b 2021 2021 + c 2021 1 1 + 2021 + 2021 = 2021 2021 2021 2021 −b b c −b + b + c c 2021 = c 2021 (luôn đúng) Tương tự: Với Với b) ⇔ b = −c ⇔ c = −a a 2021 b 2021 = = a 2021 (luôn đúng) b 2021 (luôn đúng) 1 + + =2 1+ a 1+ b 1+ c ⇔ 1 = 1− +1− 1+ a 1+ b 1+ c ⇔ b c = + ≥2 1+ a 1+ b 1+ c ≥2 1+ b Tương tự: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word bc ( + b ) ( + c ) ca ( + c ) ( + a ) môn ( 1) ( 2) tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ≥2 1+ c Từ ab ( + a ) ( + b ) ( 1) ( ) , ⇔ abc ≤ ⇒ ( 3) ( 3) 1 abc ≥ 1+ a 1+ b 1+ c ( + a ) ( + b ) ( + c ) 1 ⇔Q≤ 8 a=b=c= Dấu “=” xảy Qmax = Vậy a=b=c= Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, có đường cao I, K Gọi hình chiếu điểm minh a) b) BH BE + CH CF = BC IK // EF đường thẳng cắt BE , CF H Chứng c) Trong tam giác D AD, BE , CF AEF , BDF , CDE diện tích tam giác ABC có tam giác có diện tích nhỏ Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com AEB HFB B a) Tam giác vng tam giác vng có góc chung nên đồng dạng với AB BE ⇒ = ⇒ BH BE = AB.BF BH BF (1) AFC HEC C Tam giác vng tam giác vng có góc chung nên đồng dạng với AC CF ⇒ = ⇒ CH CF = AC.CE CH CE (1) BH BE + CH CF = AB.BF + AC.CE Từ (1) (2) suy ra: (3) BFC ADB B Mặt khác dễ thấy tam giác vuông tam giác vuông đồng dạng (góc chung) AB BD ⇒ = ⇒ AB.BF = BC.BD BC BF (4) BEC ADC Chứng minh tương tự ta có tam giác đồng dạng với tam giác AC DC ⇒ = ⇒ AC CE = BC CD BC CE (5) AB.BF + AC.CE = BC ( BD + CD ) = BC Từ (4) (5) suy ra: Từ (3) (6) suy b) Ta có Tứ giác BH BE + CH CF = BC (đpcm) AB ⊥ FC ⇒ AB // DK ⇒ ∠FAH = ∠HDK DK ⊥ FC AFHE nên tứ giác FH ) (2) ∠AFH + ∠AEH = 90 + 90 = 180 có AFHE (6) (hai góc so le trong) (1) mà hai góc vị trí đối ⇒ ∠FAH = ∠FEH tứ giác nội tiếp (2 góc nội tiếp chắn cung IDKH Chứng minh tương tự ta có tứ giác tứ giác nội tiếp ⇒ ∠HIK = ∠HDK HK (2 góc nội tiếp chắn cung ) (3) ∠FEH = ∠HIK Từ (1), (2) (3) suy mà góc vị trí so le IK // EF Suy (đpcm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com BC = a CA = b AB = c AE = x c) Đặt , , , , < x , y , z < b < x, y , z < c ; BF = c − y EC = b − x CD = a − z Khi đó: , , AF = y Giả sử khơng có tam giác có diện tích nhỏ S AEF > 1 S ABC ; S BFD > S ABC ; SCED > S ABC 4 Nghĩa S AEF AE AF x y = = ; S ABC AB AC cb Ta có BD = z , Suy , < x, y , z < a diện tích tam giác S AEF S BFD SCED > S ABC 64 ABC S BFD BF BD ( c − y ) z = = S ABC BA.BC ca SCED CE.CD ( b − x ) ( a − z ) = = S ABC CA.CB ba Do S AEF S BFD SCED xyz ( a − z ) ( b − x ) ( c − y ) = S ABC a 2b c x ( b − x) ( x + b − x) ≤ Theo bđt Cauchy ta có: y ( c − y) ( y + c − y) ≤ c2 = z ( a − z) Do Suy đpcm b2 = ( z + a − z) ≤ xyz ( a − z ) ( b − x ) ( c − y ) ≤ 2 abc 64 hay a2 = S AEF S BFD SCED ≤ S ABC 64 (mâu thuẫn gt) Câu 10 (1 điểm) Chứng minh rằng: Nếu tất cạnh tam giác nhỏ tam giác nhỏ diện tích Lời giải Kẻ AH ⊥ BC Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: ; TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Ta có AB < AC < BC < , , AH < ⇒ BC BH ≤ ≤ Áp dụng định lý Pytago tam giác vng Ta có: ABH AH + BH = AB Mà 2 AB < ⇒ AH + BH < ⇒ AH < − BH ⇒ AH < − ⇒ AH < S ∆ABC = = 4 1 3 AH BC < = 2 2 Vậy tất cạnh tam giác nhỏ diện tích tam giác nhỏ HẾT Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... a 20 21 + : b 20 21 ⇔ ⇔ + c 20 21 = a +b 20 21 20 21 + c 20 21 1 1 + 20 21 + 20 21 = 20 21 20 21 20 21 20 21 −b b c −b + b + c c 20 21 = c 20 21 (luôn đúng) Tương tự: Với Với b) ⇔ b = −c ⇔ c = −a a 20 21 b 20 21. .. a 20 21 + b 20 21 + c 20 21 = a 1 + + =2 1+ a 1+ b 1+ c 20 21 +b 20 21 + c 20 21 Tìm giá trị lớn Lời giải a) Cho a 20 21 + 1 1 + + = a b c a +b+c b 20 21 Ta có: ⇔ + c 20 21 = Chứng minh rằng: a 20 21. .. = −a a 20 21 b 20 21 = = a 20 21 (luôn đúng) b 20 21 (luôn đúng) 1 + + =2 1+ a 1+ b 1+ c ⇔ 1 = 1? ?? +1? ?? 1+ a 1+ b 1+ c ⇔ b c = + ≥2 1+ a 1+ b 1+ c ≥2 1+ b Tương tự: Liên hệ tài 0 39. 373.2038 liệu word