1 hsg toan 9 2020 2021 cum chuyen mon so 4 toan thcs vn

Website:tailieumontoan.com ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP CỤM CHUN MƠN SỐ NĂM HỌC 2020-2021 MƠN: TỐN Thời gian làm 120 phút Câu (4 điểm) a) Chứng minh A 3  84  1 84 số nguyên b) Giả sử p p  số nguyên tố Chứng minh p  số nguyên tố Câu (6 điểm) Giải phương trình sau: a) x  x    x 11 b) c) 3x    x 5 x  20 x  22  x  1 x  2 x  x  Câu (4 điểm) a 1 1 1 1     2021  2021  2021 2021 2021 2021 b c a b c Cho a b c a  b  c Chứng minh rằng: a 1   2 b Cho ba số dương a , b , c thỏa mãn điều kiện  a  b  c Tìm giá trị lớn Q a.b.c Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, có đường cao AD, BE , CF cắt H Gọi I , K hình chiếu điểm D đường thẳng BE , CF Chứng minh a) BH BE  CH CF BC b) IK // EF c) Trong tam giác AEF , BDF , CDE có tam giác có diện tích nhỏ diện tích tam giác ABC Câu (1 điểm) Chứng minh rằng: Nếu tất cạnh tam giác nhỏ diện tích tam giác nhỏ HẾT Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CHỌN HSG TỐN CỤM CHUN MƠN SỐ Năm học: 2020-2021 Câu (4 điểm) A 3  a) Chứng minh 84  1 84 số nguyên b) Giả sử p p  số nguyên tố Chứng minh p  số nguyên tố Lời giải A 3  a) Chứng minh 84  1  84 A3 2     1   84 số nguyên 84   84   1 1   84      84  A3 2  A    81   A3 2  A A3  A  0  A  1  A2  A   0 A  0 (vì A2  A  0 ) A 1 Vậy A nguyên b) Giả sử p p  số nguyên tố Chứng minh p  số nguyên tố Với p 2 : p  6 (ktm) Với p 3 : p  11 , p  29 (TM) p   3t  3 3 Với p   p 3k  : (KTM) Vậy p = Câu (6 điểm) Giải phương trình sau: a) x  x    x 11 b) 3x    x 5 x  20 x  22 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com x  2 x  x   x  1 c) Lời giải a) x  x    x 11  11  x  x    x 0  x   x     x   x  0      x3    x  0 x     x  0   x 1 3x    x 5 x  20x  22 b) Ta có:  x  20x  22 5  x  4x    5  x    2 3x    3x   1   3x    3x  4 2 3x    x 2 x    3x 5 x  20x  22 2 Vậy x  20x  20 0  x 2 c) x  2 x  x   x  1   x  1   x  1 x   x 0 Đặt a  x  1 a 1 , phương trình trở thành: 2a   x  1 a  x 0   4x  1  a 2x  x2  2x  x2  14x2  3x2  10  x    x   l   S     Vậy pt có tập nghiệm Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu (4 điểm) 1 1 1 1     2021  2021  2021 2021 2021 2021 b c a b c Cho a b c a  b  c Chứng minh rằng: a a 1   2 b Cho ba số dương a , b , c thỏa mãn điều kiện  a  b  c Tìm giá trị lớn Q a.b.c Lời giải 1 1    a) Cho a b c a  b  c Chứng minh rằng: a 2021  b 2021  c 2021  a 2021 b 2021  c 2021 1 1    Ta có: a b c a  b  c  ab  bc  ca  abc a b c   a  b  c   ab  bc  ca   abc 0   a  b   ab  bc  ca   abc  bc  ac  abc 0   a  b   ab  bc  ca   c  a  b  0   a  b   ab  bc  ca  c  0   a  b   b  a  c   c  a  c   0   a  b   b  c   c  a  0  a  b 0   b  c 0   c  a 0  a  b  b  c   c  a Với a  b : a 2021  b 2021    c  2021 a 2021 b 2021  c 2021 1 1  2021  2021  2021 2021 2021 2021 b b c  b b c c 2021  c 2021 (luôn đúng) Tương tự: Với b  c Với c  a Liên hệ tài 039.373.2038 liệu   a 2021 b 2021 word   a 2021 (ln đúng) b 2021 (ln đúng) mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 1   2 1 a 1 b 1 c b)  1 1  1  1 a 1 b 1 c  b c   2 1 a 1 b 1 c Tương tự: 2 1 c Từ 2 1 b ca   c    a  ab   a    b   1 ,    3 bc 1  b  1  c    1  2  3 1 abc 8 1 a 1 b 1 c   a   1 b  1  c  1  abc   Q  8 Dấu “=” xảy Vậy Qmax  a b c  1 a b c  Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, có đường cao AD, BE , CF cắt H Gọi I , K hình chiếu điểm D đường thẳng BE , CF Chứng minh a) BH BE  CH CF BC b) IK // EF c) Trong tam giác AEF , BDF , CDE có tam giác có diện tích nhỏ diện tích tam giác ABC Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com A E F H K I B C D a) Tam giác vuông AEB tam giác vng HFB có góc B chung nên đồng dạng với AB BE   BH BE  AB.BF BH BF (1) Tam giác vuông AFC tam giác vng HEC có góc C chung nên đồng dạng với  AC CF   CH CF  AC CE CH CE (1) Từ (1) (2) suy ra: BH BE  CH CF  AB.BF  AC CE (3)  Mặt khác dễ thấy tam giác vuông ADB tam giác vuông BFC đồng dạng (góc B chung) AB BD    AB.BF BC BD BC BF (4) Chứng minh tương tự ta có tam giác ADC đồng dạng với tam giác BEC  AC DC   AC.CE BC.CD BC CE (5) Từ (4) (5) suy ra: AB.BF  AC.CE BC  BD  CD  BC (6) Từ (3) (6) suy BH BE  CH CF BC (đpcm)  AB  FC  AB // DK  FAH HDK  DK  FC  b) Ta có (hai góc so le trong) (1) 0 Tứ giác AFHE có AFH  AEH 90  90 180 mà hai góc vị trí đối nên tứ giác AFHE tứ giác nội tiếp  FAH FEH (2 góc nội tiếp chắn cung FH ) (2) Chứng minh tương tự ta có tứ giác IDKH tứ giác nội tiếp  HIK HDK (2 góc nội tiếp chắn cung HK ) (3) Từ (1), (2) (3) suy FEH HIK mà góc vị trí so le Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Suy IK // EF (đpcm) c) Đặt BC a , CA b ,  x , y , z  b ;  x, y , z  c AB c , AE  x , AF  y , BD  z ,  x, y, z  a ; Khi đó: BF c  y , EC b  x , CD a  z Giả sử khơng có tam giác có diện tích nhỏ diện tích tam giác ABC Nghĩa S AEF  S AEF S BFD SCED 1 1  S ABC ; S BFD  S ABC ; SCED  S ABC S ABC 64 4 Suy S AEF AE AF x y   ; S AB AC cb Ta có ABC S BFD BF BD  c  y  z   S ABC BA.BC ca SCED CE.CD  b  x   a  z    S ABC CA.CB ba S AEF S BFD SCED xyz  a  z   b  x   c  y   S ABC a 2b c Do x  b  x Theo bđt Cauchy ta có:  y  c  y   x  b  x   b2  z  a  z  a2 c2 y  c  y  z  a  z  4 4 S AEF S BFD SCED xyz  a  z   b  x   c  y    2 S ABC 64 (mâu thuẫn gt) abc 64 hay Do Suy đpcm Câu 10 (1 điểm) Chứng minh rằng: Nếu tất cạnh tam giác nhỏ diện tích tam giác nhỏ Lời giải Kẻ AH  BC Ta có AB  , AC  , BC   AH     BC  BH   Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Áp dụng định lý Pytago tam giác vuông ABH Ta có: AH  BH  AB 2 2 Mà AB   AH  BH   AH   BH  AH    AH   4 1 3 S ABC  AH BC   2 2 Vậy tất cạnh tam giác nhỏ diện tích tam giác nhỏ HẾT Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC