TOÁN TH & THCS &THPT VIỆT NAM TOÁN CHUYÊN-CHUYÊN KHTN-HÀ NỘI ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NĂM HỌC 2020-2021 MƠN THI: TỐN CHUN (Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) Câu (4 điểm) Giải hệ phương trình x y x 1 3 y xy x y x y 12 y 13 243 Giải phương trình x 12 Câu x 12 24 x 7 (2 điểm) Tìm tất số nguyên dương a, b, c cho ba số 4a 5b; 4b 5c; 4c 5a bình phương số nguyên dương Từ bốn số thực a, b, c, d ta xây dựng số a b, b c, c d , d a liên tiếp xây dựng số theo quy tắc Chứng minh hai thời điểm khác ta thu số (có thể khác thứ tự) số ban đầu phải có dạng a, a, a, a Câu (3 điểm) 90 Điểm E thuộc cạnh AC cho Cho tam giác ABC cân A với BAC AEB 90 Gọi P giao điểm BE với trung trực BC Gọi K hình chiếu vng góc P lên AB Gọi Q hình chiếu vng góc E AP Gọi giao điểm EQ PK F a) Chứng minh bốn điểm A, E, P, F thuộc đường tròn b) Gọi giao điểm KQ PE L Chứng minh LA vng góc với LE Câu c) Gọi giao điểm FL AB S Gọi giao điểm KE AL T Lấy R điểm đối xứng A qua L Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AST đường tròn ngoại tiếp tam giác BPR tiếp xúc với (1 điểm) Với a , b , c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: b c 1 1 a 1 3 abc a b c bc ac ab HẾT TOÁN TH & THCS & THPT VIỆT NAM Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/167555801335088/ Trang TỐN TH & THCS &THPT VIỆT NAM TOÁN CHUYÊN-CHUYÊN KHTN-HÀ NỘI LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NĂM HỌC 2020-2021 MƠN THI: TỐN CHUN ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang) Câu (4 điểm) Giải hệ phương trình x y x 1 3 y xy x y x y 12 y 13 243 Giải phương trình x 12 x 12 24 x 7 Lời giải Giải hệ phương trình x y x 1 1 3 y xy x y x y 12 y 13 243 Xét y xy x y x y y 1 x y y 1 x y y 1 x y x 1 (vì x y x 1 ) x y y 1 x x y x y x y 1 Xét x3 y 12 y 13 x y 12 y 1 x y 3.4 y 1 x y x y x 1 y 1 13 x y 1 (vì x y x 1 ) : y xy x y 5 x3 y3 12 y 13 243 x y 1 35 x y Thay vào (1) x x y Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x; y 1;1 Giải phương trình x 12 x 12 24 x 7 Đặt a x 12; b 24 x a b 12 x TOÁN TH & THCS & THPT VIỆT NAM Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/167555801335088/ Trang TỐN TH & THCS &THPT VIỆT NAM TOÁN CHUYÊN-CHUYÊN KHTN-HÀ NỘI Và a7 a b b7 7a 6b 21a 5b2 35a 4b3 35a3b 21a 2b5 7ab6 ab a5 3a 4b 5a3b2 5a 2b3 3a b4 b5 TH1: a x 12 TH2: b x TH3: a5 3a 4b 5a3b2 5a 2b3 3a b b5 a b a a3b a 2b2 ab3 b4 3a3b 3a 2b2 3ab3 5a 2b2 a b a 2a3b 3a 2b2 2ab3 b4 a b a b 2ab a b a 2b2 a b a2 b2 ab a b (vì a b ab a, b không đồng thời 0) x6 Vậy phương trình có nghiệm x 6;8;12 Câu (2 điểm) Tìm tất số nguyên dương a, b, c cho ba số 4a 5b; 4b 5c; 4c 5a bình phương số nguyên dương Từ bốn số thực a, b, c, d ta xây dựng số a b, b c, c d , d a liên tiếp xây dựng số theo quy tắc Chứng minh hai thời điểm khác ta thu số (có thể khác thứ tự) số ban đầu phải có dạng a, a, a, a Lời giải Tìm tất số nguyên dương a, b, c cho ba số 4a 5b; 4b 5c; 4c 5a bình phương số ngun dương Khơng tính tổng quát, giả sử a số lớn ba số a, b, c Khi đó, ta có: a 5b 4a a Và 4a 5b 4a 5a 4a 8a 2a Mà 4a 5b số phương nên 4a 5b 2a 1 5b a Do b chia dư b 4k 1; k a 5k TH1: b c Chứng minh tương tự trên, từ 4b2 5c số phương, ta suy 5c 4b 16k Do k chia hết cho k 5n; n Khi ta có: c 16n 1, b 20n 1; a 25n Suy 4c 5a 16n 1 125n 16n 1 16n 1 32n 3 2 Và 4c 5a 16n 1 125n 32n 3n 32n 2 Mà 4c 5a số phương nên 4c 5a 32n 1 2 Suy (1) xảy dấu “=” n 0; a b c TH2: c b 4b 5c 4b b 1 2b 1 TOÁN TH & THCS & THPT VIỆT NAM Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/167555801335088/ Trang TỐN TH & THCS &THPT VIỆT NAM TOÁN CHUYÊN-CHUYÊN KHTN-HÀ NỘI Mà 4b 5c số phương nên 4b 5c 2b 5c 8b 32k 12 25k Suy c 5k a (mâu thuẫn) (suy TH không xảy ra) Vậy a, b, c 1;1;1 Từ bốn số thực a, b, c, d ta xây dựng số a b, b c, c d , d a liên tiếp xây dựng số theo quy tắc Chứng minh hai thời điểm khác ta thu số (có thể khác thứ tự) số ban đầu phải có dạng a, a, a, a Gọi an , bn , cn , d n bốn số thực thu sau lượt thứ n Khi đó, ta có: a0 , b0 , c0 , d a, b, c, d Và an 1 bn 1 cn 1 d n 1 an bn cn d n với n Suy an bn cn d n 2n a0 b0 c0 d n a b c d Giả sử tồn hai số nguyên dương m k cho hai số am , bm , cm , d m ak , bk , ck , d k (có thể khác thứ tự) Khi đó, ta có: am bm cm d m ak bk ck d k 2m a b c d 2k a b c d Vì m k a b c d an bn cn d n n Lại có: an2 bn2 cn2 d n2 an 1 bn 1 bn 1 cn 1 cn 1 d n 1 d n 1 an 1 2 2 an21 bn21 cn21 d n21 an 1 cn 1 bn 1 d n 1 an21 bn21 cn21 d n21 an bn cn d n bn 1 d n 1 an21 bn21 cn21 d n21 Suy an2 bn2 cn2 d n2 n 1 a12 b12 c12 d12 với n * Vì hai số am , bm , cm , d m ak , bk , ck , d k (có thể khác thứ tự) nên am2 bm2 cm2 d m2 ak2 bk2 ck2 d k2 Hay m 1 a12 b12 c12 d12 k 1 a12 b12 c12 d12 a12 b12 c12 d12 a1 b1 c1 d1 b a; c b; d c Vậy số ban đầu phải có dạng a, a, a, a (đpcm) Câu (3 điểm) 90 Điểm E thuộc cạnh AC cho Cho tam giác ABC cân A với BAC AEB 90 Gọi P giao điểm BE với trung trực BC Gọi K hình chiếu vng góc P lên AB Gọi Q hình chiếu vng góc E AP Gọi giao điểm EQ PK F a) Chứng minh bốn điểm A, E, P, F thuộc đường tròn b) Gọi giao điểm KQ PE L Chứng minh LA vng góc với LE c) Gọi giao điểm FL AB S Gọi giao điểm KE AL T Lấy R điểm đối xứng A qua L Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AST đường tròn ngoại tiếp tam giác BPR tiếp xúc với Lời giải TOÁN TH & THCS & THPT VIỆT NAM Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/167555801335088/ Trang TỐN TH & THCS &THPT VIỆT NAM TOÁN CHUYÊN-CHUYÊN KHTN-HÀ NỘI A L S Q K T E F Y P X R B C a) Xét AQE AKP có: AKP AQE 90 gt ) QAE ( AQ phân giác BAC KAP AQE ∽ AKP g g AEF AEQ APK APF Bốn điểm A, E, P, F thuộc đường trịn (đpcm) b) Vì AEPF nội tiếp APE AFE (góc nội tiếp chắn cung AE ) Lại có AQF AKF 90 AQKF nội tiếp AFE APE cmt AKQ AFQ (góc nội tiếp chắn cung AQ ) Hay AKL APL tứ giác AKPL nội tiếp ALP 180 AKP 180 90 90 AL LE (đpcm) c) Bổ đề: Cho tam giác ABC , đường cao AD P điểm AD , BP CP cắt AC , AB E F Khi DA phân giác EDF Y F B A X E P D C Qua A kẻ đường thẳng song song với BC , cắt DE , DF X , Y TOÁN TH & THCS & THPT VIỆT NAM Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/167555801335088/ Trang TỐN TH & THCS &THPT VIỆT NAM TOÁN CHUYÊN-CHUYÊN KHTN-HÀ NỘI AX AE AY AF ; DC EC BD FB AE CD BF (định lý Ceva) AX AY Mà EC DB FA Ta có: DXY có DA XY , A trung điểm XY DA phân giác EDF *) Quay lại toán: QLE QAE QAK EFK Tứ giác KELF nội tiếp Ta có : KLE Gọi T ' AL cho ST '// BC Ta có : AT ' S APL AKL Tứ giác SLT ' K nội tiếp LST LFE LKE K ; E; T thẳng hàng hay T T LKT Gọi Y hình chiếu vng góc P AC , BY AKP X , BY AL T '' Mà BL AT '', Ta có : PY PK LP phân giác KLY Áp dụng bổ đề suy K ; E; T thẳng hàng T T Ta có : AXT APY APK ABC AST X AST PAY PAB PRB X BPR PXB Do AXP 90 ATX PBX nên kẻ tiếp tuyến Xt AST Xt tiếp tuyến BPR AST tiếp xúc với BPR X Câu (1 điểm) Với a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: b c 1 1 a 1 3 abc a b c bc ac ab Lời giải 1 1 1 Đặt x ; y ; z , ta có : a b c x y z 1 b c 1 1 a 1 3 abc a b c bc ac ab xy yz zx x y z 1 xyz x y z 2 Đặt p x y z; q xy yz zx; r xyz hay 1 q 3r 1 2 xy yz zx 1 2 2p xyz xyz r Mà z x y y z r x y z xy yz zx x 9r p Do đó: p 1 4r 9r p p 31r Ta có: xy yz xz x y z xyz TOÁN TH & THCS & THPT VIỆT NAM Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/167555801335088/ Trang TOÁN TH & THCS &THPT VIỆT NAM TOÁN CHUYÊN-CHUYÊN KHTN-HÀ NỘI Hay q pr Do q 3r q p Áp dụng bất đẳng thức Schur: x y z xyz x y z xy yz xz Ta có: p 9r pq p pq 9r pq 3q p3 31 p q 3r r 4p3 p 3 Cuối ta chứng minh: 31 p 3p p 3 p 12 p 12 p 3 Do p 12 p 12 nên ta cần chứng minh p Ta có: xyz xy yz xz 3 xyz Cauchy xyz hay r Lại có: p 3q 9r nên p đpcm HẾT TOÁN TH & THCS & THPT VIỆT NAM Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/167555801335088/ Trang ...TOÁN TH & THCS &THPT VIỆT NAM TOÁN CHUYÊN-CHUYÊN KHTN- HÀ NỘI LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NĂM HỌC 2020- 2021 MÔN... Câu (3 điểm) 90 Điểm E thuộc cạnh AC cho Cho tam giác ABC cân A với BAC AEB 90 Gọi P giao điểm BE với trung trực BC Gọi K hình chiếu vng góc P lên AB Gọi Q hình chiếu vng góc E AP Gọi... 1 2b 1 TOÁN TH & THCS & THPT VIỆT NAM Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/167555801335088/ Trang TOÁN TH & THCS &THPT VIỆT NAM TOÁN CHUYÊN-CHUYÊN KHTN- HÀ NỘI Mà 4b 5c số phương