CHUYEN KHTN HN TS10 TOAN 9 2020 2021 CT TOAN CHUYEN THCS VN

TOÁN TH & THCS &THPT VIỆT NAM TOÁN CHUYÊN-CHUYÊN KHTN-HÀ NỘI ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NĂM HỌC 2020-2021 MƠN THI: TỐN CHUN (Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) Câu (4 điểm) Giải hệ phương trình  x  y  x  1   3  y  xy  x  y   x  y  12 y  13  243 Giải phương trình  x  12  Câu   x  12    24  x   7 (2 điểm) Tìm tất số nguyên dương a, b, c cho ba số 4a  5b; 4b  5c; 4c  5a bình phương số nguyên dương Từ bốn số thực  a, b, c, d  ta xây dựng số  a  b, b  c, c  d , d  a  liên tiếp xây dựng số theo quy tắc Chứng minh hai thời điểm khác ta thu số (có thể khác thứ tự) số ban đầu phải có dạng  a,  a, a, a  Câu (3 điểm)   90 Điểm E thuộc cạnh AC cho  Cho tam giác ABC cân A với BAC AEB  90 Gọi P giao điểm BE với trung trực BC Gọi K hình chiếu vng góc P lên AB Gọi Q hình chiếu vng góc E AP Gọi giao điểm EQ PK F a) Chứng minh bốn điểm A, E, P, F thuộc đường tròn b) Gọi giao điểm KQ PE L Chứng minh LA vng góc với LE Câu c) Gọi giao điểm FL AB S Gọi giao điểm KE AL T Lấy R điểm đối xứng A qua L Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AST đường tròn ngoại tiếp tam giác BPR tiếp xúc với (1 điểm) Với a , b , c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: b c  1 1   a     1    3    abc a b c   bc ac ab  HẾT TOÁN TH & THCS & THPT VIỆT NAM Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/167555801335088/ Trang TỐN TH & THCS &THPT VIỆT NAM TOÁN CHUYÊN-CHUYÊN KHTN-HÀ NỘI LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NĂM HỌC 2020-2021 MƠN THI: TỐN CHUN ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang) Câu (4 điểm) Giải hệ phương trình  x  y  x  1   3  y  xy  x  y   x  y  12 y  13  243 Giải phương trình  x  12    x  12    24  x   7 Lời giải Giải hệ phương trình  x  y  x  1  1  3  y  xy  x  y   x  y  12 y  13  243   Xét y  xy  x  y    x  y  y  1    x  y  y  1     x  y  y  1   x  y  x  1  (vì  x  y  x  1  )   x  y  y  1  x  x  y   x  y    x  y  1 Xét x3  y  12 y  13  x  y  12  y  1   x  y  3.4  y  1   x  y   x  y  x  1 y  1  13   x  y  1 (vì  x  y  x  1  )   :  y  xy  x  y  5 x3  y3  12 y  13  243   x  y  1  35  x  y  Thay vào (1)  x    x   y  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y   1;1 Giải phương trình  x  12    x  12    24  x   7 Đặt a  x  12; b  24  x  a  b  12  x TOÁN TH & THCS & THPT VIỆT NAM Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/167555801335088/ Trang TỐN TH & THCS &THPT VIỆT NAM TOÁN CHUYÊN-CHUYÊN KHTN-HÀ NỘI Và a7   a  b   b7   7a 6b  21a 5b2  35a 4b3  35a3b  21a 2b5  7ab6   ab  a5  3a 4b  5a3b2  5a 2b3  3a b4  b5   TH1: a   x  12 TH2: b   x  TH3: a5  3a 4b  5a3b2  5a 2b3  3a b  b5    a  b   a  a3b  a 2b2  ab3  b4  3a3b  3a 2b2  3ab3  5a 2b2     a  b   a  2a3b  3a 2b2  2ab3  b4     a  b   a  b   2ab  a  b   a 2b2       a  b   a2  b2  ab    a  b  (vì a  b  ab  a, b không đồng thời 0) x6 Vậy phương trình có nghiệm x  6;8;12 Câu (2 điểm) Tìm tất số nguyên dương a, b, c cho ba số 4a  5b; 4b  5c; 4c  5a bình phương số nguyên dương Từ bốn số thực  a, b, c, d  ta xây dựng số  a  b, b  c, c  d , d  a  liên tiếp xây dựng số theo quy tắc Chứng minh hai thời điểm khác ta thu số (có thể khác thứ tự) số ban đầu phải có dạng  a,  a, a, a  Lời giải Tìm tất số nguyên dương a, b, c cho ba số 4a  5b; 4b  5c; 4c  5a bình phương số ngun dương Khơng tính tổng quát, giả sử a số lớn ba số a, b, c Khi đó, ta có: a  5b  4a   a  Và 4a  5b  4a  5a  4a  8a    2a   Mà 4a  5b số phương nên 4a  5b   2a  1  5b  a  Do b chia dư  b  4k  1;  k     a  5k  TH1: b  c Chứng minh tương tự trên, từ 4b2  5c số phương, ta suy 5c  4b   16k  Do k chia hết cho  k  5n;  n    Khi ta có: c  16n  1, b  20n  1; a  25n  Suy 4c  5a  16n  1  125n   16n  1  16n  1    32n  3 2 Và 4c  5a  16n  1  125n    32n     3n     32n   2 Mà 4c  5a số phương nên 4c  5a   32n   1 2 Suy (1) xảy dấu “=”  n  0; a  b  c  TH2: c  b  4b  5c  4b   b  1   2b  1 TOÁN TH & THCS & THPT VIỆT NAM Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/167555801335088/ Trang TỐN TH & THCS &THPT VIỆT NAM TOÁN CHUYÊN-CHUYÊN KHTN-HÀ NỘI Mà 4b  5c số phương nên 4b  5c   2b    5c  8b   32k  12  25k  Suy c  5k   a (mâu thuẫn) (suy TH không xảy ra) Vậy  a, b, c   1;1;1 Từ bốn số thực  a, b, c, d  ta xây dựng số  a  b, b  c, c  d , d  a  liên tiếp xây dựng số theo quy tắc Chứng minh hai thời điểm khác ta thu số (có thể khác thứ tự) số ban đầu phải có dạng  a,  a, a, a  Gọi  an , bn , cn , d n  bốn số thực thu sau lượt thứ n Khi đó, ta có:  a0 , b0 , c0 , d    a, b, c, d  Và an 1  bn 1  cn 1  d n 1   an  bn  cn  d n  với n   Suy an  bn  cn  d n  2n  a0  b0  c0  d   n  a  b  c  d  Giả sử tồn hai số nguyên dương m  k cho hai số  am , bm , cm , d m   ak , bk , ck , d k  (có thể khác thứ tự) Khi đó, ta có: am  bm  cm  d m  ak  bk  ck  d k  2m  a  b  c  d   2k  a  b  c  d  Vì m  k  a  b  c  d   an  bn  cn  d n  n   Lại có: an2  bn2  cn2  d n2   an 1  bn 1    bn 1  cn 1    cn 1  d n 1    d n 1  an 1  2 2   an21  bn21  cn21  d n21    an 1  cn 1  bn 1  d n 1    an21  bn21  cn21  d n21    an  bn  cn  d n  bn 1  d n 1    an21  bn21  cn21  d n21  Suy an2  bn2  cn2  d n2  n 1  a12  b12  c12  d12  với n  * Vì hai số  am , bm , cm , d m   ak , bk , ck , d k  (có thể khác thứ tự) nên am2  bm2  cm2  d m2  ak2  bk2  ck2  d k2 Hay m 1  a12  b12  c12  d12   k 1  a12  b12  c12  d12   a12  b12  c12  d12   a1  b1  c1  d1   b   a; c  b; d  c Vậy số ban đầu phải có dạng  a,  a, a, a  (đpcm) Câu (3 điểm)   90 Điểm E thuộc cạnh AC cho  Cho tam giác ABC cân A với BAC AEB  90 Gọi P giao điểm BE với trung trực BC Gọi K hình chiếu vng góc P lên AB Gọi Q hình chiếu vng góc E AP Gọi giao điểm EQ PK F a) Chứng minh bốn điểm A, E, P, F thuộc đường tròn b) Gọi giao điểm KQ PE L Chứng minh LA vng góc với LE c) Gọi giao điểm FL AB S Gọi giao điểm KE AL T Lấy R điểm đối xứng A qua L Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AST đường tròn ngoại tiếp tam giác BPR tiếp xúc với Lời giải TOÁN TH & THCS & THPT VIỆT NAM Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/167555801335088/ Trang TỐN TH & THCS &THPT VIỆT NAM TOÁN CHUYÊN-CHUYÊN KHTN-HÀ NỘI A L S Q K T E F Y P X R B C a) Xét AQE AKP có:  AKP   AQE  90  gt  )   QAE  ( AQ phân giác BAC KAP  AQE ∽ AKP  g  g    AEF   AEQ   APK   APF  Bốn điểm A, E, P, F thuộc đường trịn (đpcm) b) Vì AEPF nội tiếp   APE   AFE (góc nội tiếp chắn cung AE ) Lại có  AQF   AKF  90  AQKF nội tiếp AFE   APE  cmt   AKQ   AFQ (góc nội tiếp chắn cung AQ )   Hay  AKL   APL  tứ giác AKPL nội tiếp  ALP  180   AKP  180  90  90  AL  LE (đpcm) c) Bổ đề: Cho tam giác ABC , đường cao AD P điểm AD , BP CP cắt AC , AB  E F Khi DA phân giác EDF Y F B A X E P D C Qua A kẻ đường thẳng song song với BC , cắt DE , DF X , Y TOÁN TH & THCS & THPT VIỆT NAM Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/167555801335088/ Trang TỐN TH & THCS &THPT VIỆT NAM TOÁN CHUYÊN-CHUYÊN KHTN-HÀ NỘI AX AE AY AF  ;  DC EC BD FB AE CD BF  (định lý Ceva)  AX  AY Mà EC DB FA Ta có:  DXY có DA  XY , A trung điểm XY  DA phân giác EDF *) Quay lại toán:   QLE   QAE   QAK   EFK   Tứ giác KELF nội tiếp Ta có : KLE Gọi T '  AL cho ST '// BC Ta có :  AT ' S   APL   AKL  Tứ giác SLT ' K nội tiếp   LST   LFE   LKE   K ; E; T  thẳng hàng hay T   T  LKT Gọi Y hình chiếu vng góc P AC , BY   AKP    X  , BY  AL  T ''  Mà BL  AT '', Ta có : PY  PK  LP phân giác KLY Áp dụng bổ đề suy K ; E; T  thẳng hàng  T   T Ta có :  AXT   APY   APK   ABC   AST  X   AST    PAY   PAB   PRB   X   BPR  PXB  Do  AXP  90   ATX  PBX nên kẻ tiếp tuyến Xt  AST  Xt tiếp tuyến  BPR    AST  tiếp xúc với  BPR  X Câu (1 điểm) Với a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: b c  1 1   a     1    3    abc a b c   bc ac ab  Lời giải 1 1 1 Đặt x  ; y  ; z  , ta có :    a b c x y z 1 b c  1 1   a     1    3    abc a b c   bc ac ab   xy yz zx    x  y  z  1   xyz      x y  z  2 Đặt p  x  y  z; q  xy  yz  zx; r  xyz hay 1  q  3r  1  2  xy yz zx 1 2 2p      xyz      xyz          r   Mà  z x y y z  r    x y z  xy yz zx  x  9r  p Do đó:     p  1   4r   9r  p   p   31r Ta có:  xy  yz  xz    x  y  z  xyz TOÁN TH & THCS & THPT VIỆT NAM Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/167555801335088/ Trang TOÁN TH & THCS &THPT VIỆT NAM TOÁN CHUYÊN-CHUYÊN KHTN-HÀ NỘI Hay q  pr Do q  3r  q  p Áp dụng bất đẳng thức Schur:  x  y  z   xyz   x  y  z  xy  yz  xz  Ta có: p  9r  pq  p  pq  9r  pq  3q p3 31 p   q  3r  r  4p3  p  3 Cuối ta chứng minh: 31 p 3p     p  3  p  12 p  12    p  3 Do p  12 p  12  nên ta cần chứng minh p  Ta có: xyz  xy  yz  xz  3 xyz  Cauchy   xyz  hay r  Lại có: p  3q  9r  nên p   đpcm HẾT TOÁN TH & THCS & THPT VIỆT NAM Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/167555801335088/ Trang ...TOÁN TH & THCS &THPT VIỆT NAM TOÁN CHUYÊN-CHUYÊN KHTN- HÀ NỘI LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NĂM HỌC 2020- 2021 MÔN... Câu (3 điểm)   90  Điểm E thuộc cạnh AC cho  Cho tam giác ABC cân A với BAC AEB  90  Gọi P giao điểm BE với trung trực BC Gọi K hình chiếu vng góc P lên AB Gọi Q hình chiếu vng góc E AP Gọi...  1   2b  1 TOÁN TH & THCS & THPT VIỆT NAM Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/167555801335088/ Trang TOÁN TH & THCS &THPT VIỆT NAM TOÁN CHUYÊN-CHUYÊN KHTN- HÀ NỘI Mà 4b  5c số phương