Giáo viên soạn tài liệu: Đội - Tổ Tia chớp ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU HỘI ĐỒNG TUYÊN SINH LỚP 10 Câu Câu ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 MƠN: TỐN - LỚP ( chun) NĂM HỌC 2019-2020 (Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề) (2,0 điểm) Cho phương trình: x ax x bx với a , b tham số a) Chứng minh ab 16 hai phương trình có phương trình có nghiệm b) Giả sử hai phương trình có nghiệm chung x0 Tìm a , b cho a b có giá trị nhỏ (1,5 điểm) Cho phương trình : x y 23n với n số tự nhiên a) Chứng minh n chẵn phương trình cho khơng có nghiệm ngun x, y b) Chứng minh n lẻ phương trình cho có nghiệm nguyên x, y Câu (3,5 điểm) Cho đường tròn O , dây cung BC không chứa tâm O điểm A thay đổi cung lớn BC 90 Lấy điểm E F thỏa mãn: ABE CAE ACF BAF a) Chứng minh AE AC AF AB điểm O trung điểm EF b) Hạ AD vng góc với EF ( D EF ) Chứng minh tam giác DAB DCA đồng dạng điểm D thuộc đường tròn cố định c) Gọi G giao điểm AD với đường tròn O ( G A ) Chứng minh AD qua Câu Câu điểm cố định GB AC GC AB d) Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF Chứng minh AK qua điểm cố định (1,5 điểm) Cho số tự nhiên a 313.57.7 20 a) Gọi A tập hợp số nguyên dương k cho k ước a k chia hết cho 105 Hỏi tập hợp A có phần tử ? b) Giả sử B tập A có phần tử Chứng minh ta ln tìm phần tử B cho tích chúng số phương (1,5 điểm) Cho hệ phương trình với k tham số: x yz x y x k z y zx y z y k x z xy z x z k y a) Giải hệ với k b) Chứng minh hệ vô nghiệm với k k HẾT TỐN THCS VIỆT NAM - Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/ToanTHCSVietNam/ Trang Giáo viên soạn tài liệu: Đội - Tổ Tia chớp Câu HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT (2,0 điểm) Cho phương trình: x ax x bx với a , b tham số a) Chứng minh ab 16 hai phương trình có phương trình có nghiệm b) Giả sử hai phương trình có nghiệm chung x0 Tìm a , b cho a b có giá trị nhỏ Lời giải a) Giả sử hai phương trình cho vơ nghiệm Khi đó, biệt thức hai phương trình âm, tức ta có 1 a 12 b 20 Suy a b 32 2ab, hay a b , mâu thuẫn Vậy điều giả sử sai, tức phương trình có nghiệm b) Gọi x0 nghiệm chung hai phương trình cho Khi đó, dễ thấy x0 a x0 x 5 , b Từ đây, sử dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có x0 x0 2 x x0 x0 x0 x0 2.8 ab x0 x0 x0 x0 x0 , tức x0 2 Khi a , b x0 2 Dấu đẳng thức xảy x0 a Câu 9 7 9 , b Vậy có hai cặp số a, b thỏa mãn yêu cầu , , 2 2 2 2 (1,5 điểm) Cho phương trình : x y 23n với n số tự nhiên a) Chứng minh n chẵn phương trình cho khơng có nghiệm ngun x, y b) Chứng minh n lẻ phương trình cho có nghiệm nguyên x, y Lời giải a) Với n chẵn, giả sử tồn cặp số nguyên x, y thỏa mãn phương trình cho Vì 23n số phương khơng chia hết 23n chia dư Từ suy y chia dư 2, mâu thuẫn số dư số phương chia cho phải Vậy với n chẵn phương trình cho khơng có nghiệm nguyên x, y b) Ta chứng minh khẳng định cho quy nạp theo n Với n , phương trình có nghiệm x, y 3, Do khẳng định với n Giả sử khẳng định đến n k ( k số nguyên dương lẻ), tức phương trình x y 23k có nghiệm nguyên xk , yk Khi đó, ta có 23k 1 23 3xk2 yk2 xk yk xk yk a 3b2 , 2 Trong a xk yk b xk yk Suy 23k 23 a 3b2 3a 2b 2a 9b 2 Do đó, phương trình 3x y 23k có nghiệm nguyên 3a 2b, 2a 9b Suy khẳng định với n k Theo ngun lý quy nạp Tốn học, ta có khẳng định với số nguyên dương lẻ n TỐN THCS VIỆT NAM - Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/ToanTHCSVietNam/ Trang Giáo viên soạn tài liệu: Đội - Tổ Tia chớp Bình luận Ý tưởng tự nhiên để giải câu b sử dụng phương pháp quy nạp Và đây, thấy lời giải sử dụng đồng thức 3A Câu B 3C D AC BD AD BC 2 Hai lần liên tiếp để xây dựng nghiệm trường hợp n k dựa vào trường hợp n k (3,5 điểm) Cho đường trịn O , dây cung BC khơng chứa tâm O điểm A thay đổi cung lớn BC 90 Lấy điểm E F thỏa mãn: ABE CAE ACF BAF a) Chứng minh AE AC AF AB điểm O trung điểm EF b) Hạ AD vng góc với EF ( D EF ) Chứng minh tam giác DAB DCA đồng dạng điểm D thuộc đường tròn cố định c) Gọi G giao điểm AD với đường tròn O ( G A ) Chứng minh AD qua điểm cố định GB AC GC AB d) Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF Chứng minh AK qua điểm cố định Lời giải a) Gọi AI đường kính O ABI ACI 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) AB BI AC CI AE // FI (cùng vuông góc với AC ) AF // EI (cùng vng góc với AB ) AFIE hình bình hành (dhnb) Lại có O trung điểm AI nên O trung điểm EF Xét ABE ACF ta có: AFC AEB ABE ACF 90 TOÁN THCS VIỆT NAM - Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/ToanTHCSVietNam/ Trang Giáo viên soạn tài liệu: Đội - Tổ Tia chớp ABE ∽ ACF g g AB AE AE AC AB AF (đpcm) AC AF b) Ta có: AD EF ADE ADF 90 90 nên tứ giác ADBE tứ giác nội tiếp ( hai góc có Xét tứ giác ADBE có: ADE ABE đỉnh kề cạnh nhìn cạnh đối diện góc nhau) Chứng minh tương tự, ta có: ADCF tứ giác nội tiếp ) BED (hai góc nội tiếp chắn cung BD BAD AFD ACD (hai góc nội tiếp chắn cung AD ) AFD (hai góc so le trong) Mặt khác: BED BAD ACD Chứng minh tương tự, ta có: CAD ABD DAB ∽ DCA g g (đpcm) Ta có: 180 BDE CDF 180 BAE CAF BDC 90o CAF BEA CFA 90 BAE 180 BIC BAC BOC 2.BEA BOC nên tứ giác BDOC tứ giác nội tiếp BDC Vậy D thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC cố định c) Gọi H điểm thỏa mãn OH đường kính đường trịn ngoại tiếp BOC H điểm cố định Ta có: D thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ODH 90 Mà AD EF ODG D , G , H thẳng hàng AD qua điểm H cố định (đpcm) Do OB BH BH tiếp tuyến O HBG (góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn cung BG ) BAG Xét HBG HAB ta có: chung BHG ABH BHG cmt HBG HAB g g BG HG AB HB Chứng minh tương tự, ta có: HGC HCA g g GC HG AC HC Mà HB HC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) BG GC GB AC GC AB (đpcm) AB AC TỐN THCS VIỆT NAM - Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/ToanTHCSVietNam/ Trang Giáo viên soạn tài liệu: Đội - Tổ Tia chớp d) Ta dễ dàng chứng minh bổ đề sau: Cho tam giác ABC đường cao AH , O tâm OAC đường tròn ngoại tiếp Thì ta có BAH A O B H C D Xét tam giác AEF có AD đường cao K tâm đường tròn ngoại tiếp KAF * Áp dụng bổ đề ta có: EAD CAO Dựng đường cao AP tam giác ABC , áp dụng bổ đề ta có: BAP 1 Gọi L trung điểm BC Ta có OL.OH OB OA2 ( hệ thức lượng tam giác vuông) OHA OAL ∽ OHA c.g c OAL HAP OAL HAP Mà OHA OL OA OA OH 2 CAF 3 Mặt khác EAB BAP HAP CAF CAO OAL DAE LAF ** Từ 1 ; ; 3 EAB LAF A, L, K thẳng hàng Vậy AK qua điểm L cố định Từ * ; ** KAF Câu (1,5 điểm) Cho số tự nhiên a 313.57.7 20 a) Gọi A tập hợp số nguyên dương k cho k ước a k chia hết cho 105 Hỏi tập hợp A có phần tử ? b) Giả sử B tập A có phần tử Chứng minh ta ln tìm phần tử B cho tích chúng số phương Lời giải a) Vì số a phân tích thành tích thừa số nguyên tố ; nên số nguyên dương k ước a có dạng : 3x.5 y.7 z x , y , z Vì 3x.5 y.7 z x , y , z ước a bội 105 3.5.7 nên suy x 13;1 y 7;1 z 20 x , y , z x y z Vậy số thuộc A số có dạng x 13 ; y ; z 20 x, y, z Ta có: 13 cách chọn x , cách chọn y , 20 cách chọn z Vậy số phần tử tâp A là: 13.7.20 1820 (phần tử) Vậy tập A có 1820 phần tử b) Gọi phần tử B là: b1 1.5 1.7 ; b2 ; ; b9 9 x y z x y z x y z9 TOÁN THCS VIỆT NAM - Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/ToanTHCSVietNam/ Trang Giáo viên soạn tài liệu: Đội - Tổ Tia chớp Đặt bi 3xi yi zi i Vì xi 13;1 yi 7;1 zi 20 xi , yi , zi nên suy xi , yi zi số chẵn số lẻ Do số cách chọn số xi ; yi ; zi theo tính chất chẵn lẻ : 2.2.2 (cách) Do nên theo nguyên lý Dirichlet tồn số i , j 1 i j cho xi x j mod , yi y j mod , zi z j mod Khi xi x j , yi y j , zi z j số chẵn Mà xi x j , yi y j , zi z j số nguyên dương nên suy x x y yj bi b j i j i Câu z z j i số phương Vậy ta ln tìm phần tử B cho tích chúng số phương (đpcm) (1,5 điểm) Cho hệ phương trình với k tham số: x yz x y x k z y zx y z y k x z xy z x z k y a) Giải hệ với k b) Chứng minh hệ vô nghiệm với k k Lời giải I x yz x y x k 1 z y zx y z y k Điều kiện: x , y , z dấu x z xy z x z k 3 y a) Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: x , y , z dương Khơng tính tổng qt, giả sử x y z Ta có: x yz x y x k Phương trình 1 vơ nghiệm k Hệ z phương trình I vô nghiệm k Trường hợp 2: x , y , z âm Đặt a x , b y , c z a , b , c Với k , hệ phương trình I trở thành: TỐN THCS VIỆT NAM - Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/ToanTHCSVietNam/ Trang Giáo viên soạn tài liệu: Đội - Tổ Tia chớp a a a 1 b c bc b b b 1 c a ca c c c 1 a b ab a a c a b bc b b a b c ac c c b c a ab a a c a b bc b b a b c ac c c b c a ab a b c b c a a c b a c b a c b a c b a a c b b a a b c x y z c . c b a c b x y z Kết hợp với điều kiện x , y , z âm, suy x y z Vậy với k hệ phương trình I có nghiệm x ; y ; z t ; t ; t t b) Giả sử tồn số thực k k cho hệ phương trình I có nghiệm x0 ; y0 ; z0 Xét hai trường hợp sau: Trường hợp 1: x0 , y0 , z0 dương Vì x0 ; y0 ; z0 nghiệm I x0 y0 z x0 y0 x0 k z0 y0 z0 x0 y0 z0 y0 k x0 z0 x0 y0 z0 x0 z0 k y0 nên ta có: TỐN THCS VIỆT NAM - Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/ToanTHCSVietNam/ Trang Giáo viên soạn tài liệu: Đội - Tổ Tia chớp x0 x0 z0 x0 y0 k y0 z0 y0 y0 x0 y0 z0 k x0 z0 z0 z0 y0 z0 x0 k x0 y0 x0 x0 z0 x0 y0 y0 z0 k 1 y0 z0 y0 y0 x0 y0 z0 x0 z0 k 1 x0 z0 z0 z0 y0 z0 x0 x0 y0 k 1 x0 y0 x0 z0 x0 y0 k 1 y0 z0 y0 z y0 x0 k 1 x0 z0 z0 x0 z0 y0 k 1 x0 y0 Từ , , suy x x0 z0 z0 x0 z0 z y k 1 x z k 1 z x y y z x z y y x x y x0 y0 k 1 x0 z0 k 1 y0 z0 0 0 0 0 0 0 0 0 y z0 y z0 x y0 x0 y0 x0 z0 x0 y0 y0 z0 z0 z0 x0 y0 y0 x0 x0 y0 z0 y0 x0 0 x0 y0 z0 x0 y0 z0 y0 z0 x0 y0 z0 k trái với điều giả sử nên suy không tồn số thực k k để hệ phương trình I có nghiệm x0 ; y0 ; z0 ( với x0 , y0 , z0 ) Trường hợp 2: x0 , y0 , z0 âm Khơng tính tổng qt, giả sử x0 y0 z0 x0 x0 1 z z0 x x Vì x0 y0 z0 nên 0 y0 y0 x0 x 0 0 y0 z0 y0 z0 x0 y0 z x0 y0 x0 7 z0 TỐN THCS VIỆT NAM - Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/ToanTHCSVietNam/ Trang Giáo viên soạn tài liệu: Đội - Tổ Tia chớp Vì x0 ; y0 ; z0 nghiệm I nên ta có: x0 y0 z x0 x k 8 y0 z0 Từ 8 suy k trái với giả sử nên suy không tồn số thực k k để hệ phương trình I có nghiệm x0 ; y0 ; z0 ( với x0 , y0 , z0 ) Vậy hệ phương trình I vô nghiệm k k (đpcm) TỐN THCS VIỆT NAM - Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/ToanTHCSVietNam/ Trang Giáo viên soạn tài liệu: Đội - Tổ Tia chớp TỐN THCS VIỆT NAM - Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/ToanTHCSVietNam/ Trang 10 ... tử b) Gọi phần tử B là: b1 1.5 1.7 ; b2 ; ; b9 9 x y z x y z x y z9 TOÁN THCS VIỆT NAM - Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/ToanTHCSVietNam/ Trang Giáo viên soạn tài liệu: Đội -... EF Xét ABE ACF ta có: AFC AEB ABE ACF 90 TOÁN THCS VIỆT NAM - Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/ToanTHCSVietNam/ Trang Giáo viên soạn tài liệu: Đội - Tổ Tia... vơ nghiệm k k (đpcm) TOÁN THCS VIỆT NAM - Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/ToanTHCSVietNam/ Trang Giáo viên soạn tài liệu: Đội - Tổ Tia chớp TOÁN THCS VIỆT NAM - Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/ToanTHCSVietNam/