CHUYEN NANG KHIEU HCM TS10 TOAN 9 2020 2021 CT TOAN CHUYEN THCS VN

Giáo viên soạn tài liệu: Đội - Tổ Tia chớp ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU HỘI ĐỒNG TUYÊN SINH LỚP 10 Câu Câu ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 MƠN: TỐN - LỚP ( chun) NĂM HỌC 2019-2020 (Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề) (2,0 điểm) Cho phương trình: x  ax   x  bx   với a , b tham số a) Chứng minh ab  16 hai phương trình có phương trình có nghiệm b) Giả sử hai phương trình có nghiệm chung x0 Tìm a , b cho a  b có giá trị nhỏ (1,5 điểm) Cho phương trình : x  y  23n với n số tự nhiên a) Chứng minh n chẵn phương trình cho khơng có nghiệm ngun  x, y  b) Chứng minh n lẻ phương trình cho có nghiệm nguyên  x, y  Câu (3,5 điểm)  Cho đường tròn  O  , dây cung BC không chứa tâm O điểm A thay đổi cung lớn BC    90 Lấy điểm E F thỏa mãn:  ABE  CAE ACF  BAF a) Chứng minh AE AC  AF AB điểm O trung điểm EF b) Hạ AD vng góc với EF ( D  EF ) Chứng minh tam giác DAB DCA đồng dạng điểm D thuộc đường tròn cố định c) Gọi G giao điểm AD với đường tròn  O  ( G  A ) Chứng minh AD qua Câu Câu điểm cố định GB AC  GC AB d) Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF Chứng minh AK qua điểm cố định (1,5 điểm) Cho số tự nhiên a  313.57.7 20 a) Gọi A tập hợp số nguyên dương k cho k ước a k chia hết cho 105 Hỏi tập hợp A có phần tử ? b) Giả sử B tập A có phần tử Chứng minh ta ln tìm phần tử B cho tích chúng số phương (1,5 điểm) Cho hệ phương trình với k tham số:           x  yz x  y x k z y  zx y  z y k x z  xy z  x z k y a) Giải hệ với k  b) Chứng minh hệ vô nghiệm với k  k   HẾT  TỐN THCS VIỆT NAM - Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/ToanTHCSVietNam/ Trang Giáo viên soạn tài liệu: Đội - Tổ Tia chớp Câu HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT (2,0 điểm) Cho phương trình: x  ax   x  bx   với a , b tham số a) Chứng minh ab  16 hai phương trình có phương trình có nghiệm b) Giả sử hai phương trình có nghiệm chung x0 Tìm a , b cho a  b có giá trị nhỏ Lời giải a) Giả sử hai phương trình cho vơ nghiệm Khi đó, biệt thức hai phương trình âm, tức ta có 1  a  12    b  20  Suy a  b  32  2ab, hay  a  b   , mâu thuẫn Vậy điều giả sử sai, tức phương trình có nghiệm b) Gọi x0 nghiệm chung hai phương trình cho Khi đó, dễ thấy x0  a x0  x 5 , b Từ đây, sử dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có x0 x0 2 x  x0  x0  x0   x0   2.8  ab    x0 x0 x0 x0 x0 , tức x0  2 Khi a   , b   x0 2 Dấu đẳng thức xảy x0  a Câu  9 7 9 , b  Vậy có hai cặp số  a, b  thỏa mãn yêu cầu   ,    ,  2  2 2 2 (1,5 điểm) Cho phương trình : x  y  23n với n số tự nhiên a) Chứng minh n chẵn phương trình cho khơng có nghiệm ngun  x, y  b) Chứng minh n lẻ phương trình cho có nghiệm nguyên  x, y  Lời giải a) Với n chẵn, giả sử tồn cặp số nguyên  x, y  thỏa mãn phương trình cho Vì 23n số phương khơng chia hết 23n chia dư Từ suy y chia dư 2, mâu thuẫn số dư số phương chia cho phải Vậy với n chẵn phương trình cho khơng có nghiệm nguyên  x, y  b) Ta chứng minh khẳng định cho quy nạp theo n Với n  , phương trình có nghiệm  x, y    3,  Do khẳng định với n  Giả sử khẳng định đến n  k ( k số nguyên dương lẻ), tức phương trình x  y  23k có nghiệm nguyên  xk , yk  Khi đó, ta có 23k 1  23  3xk2  yk2    xk  yk    xk  yk   a  3b2 , 2 Trong a  xk  yk b  xk  yk Suy 23k   23  a  3b2    3a  2b    2a  9b  2 Do đó, phương trình 3x  y  23k  có nghiệm nguyên  3a  2b, 2a  9b  Suy khẳng định với n  k  Theo ngun lý quy nạp Tốn học, ta có khẳng định với số nguyên dương lẻ n TỐN THCS VIỆT NAM - Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/ToanTHCSVietNam/ Trang Giáo viên soạn tài liệu: Đội - Tổ Tia chớp Bình luận Ý tưởng tự nhiên để giải câu b sử dụng phương pháp quy nạp Và đây, thấy lời giải sử dụng đồng thức 3A Câu  B  3C  D    AC  BD    AD  BC  2 Hai lần liên tiếp để xây dựng nghiệm trường hợp n  k  dựa vào trường hợp n  k (3,5 điểm)  Cho đường trịn  O  , dây cung BC khơng chứa tâm O điểm A thay đổi cung lớn BC    90 Lấy điểm E F thỏa mãn:  ABE  CAE ACF  BAF a) Chứng minh AE AC  AF AB điểm O trung điểm EF b) Hạ AD vng góc với EF ( D  EF ) Chứng minh tam giác DAB DCA đồng dạng điểm D thuộc đường tròn cố định c) Gọi G giao điểm AD với đường tròn  O  ( G  A ) Chứng minh AD qua điểm cố định GB AC  GC AB d) Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF Chứng minh AK qua điểm cố định Lời giải a) Gọi AI đường kính  O   ABI   ACI  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  AB  BI   AC  CI  AE // FI (cùng vuông góc với AC ) AF // EI (cùng vng góc với AB )  AFIE hình bình hành (dhnb) Lại có O trung điểm AI nên O trung điểm EF Xét ABE ACF ta có:   AFC   AEB  ABE   ACF  90   TOÁN THCS VIỆT NAM - Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/ToanTHCSVietNam/ Trang Giáo viên soạn tài liệu: Đội - Tổ Tia chớp  ABE ∽ ACF  g  g  AB AE   AE AC  AB AF (đpcm) AC AF b) Ta có: AD  EF   ADE   ADF  90    90 nên tứ giác ADBE tứ giác nội tiếp ( hai góc có Xét tứ giác ADBE có:  ADE  ABE đỉnh kề cạnh nhìn cạnh đối diện góc nhau) Chứng minh tương tự, ta có: ADCF tứ giác nội tiếp  )   BED  (hai góc nội tiếp chắn cung BD  BAD  AFD   ACD (hai góc nội tiếp chắn cung  AD )  AFD (hai góc so le trong) Mặt khác: BED   BAD ACD  Chứng minh tương tự, ta có: CAD ABD  DAB ∽ DCA  g  g  (đpcm) Ta có:   180  BDE   CDF   180  BAE   CAF  BDC   90o  CAF   BEA   CFA   90  BAE     180  BIC   BAC   BOC   2.BEA   BOC  nên tứ giác  BDOC tứ giác nội tiếp  BDC Vậy D thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC cố định c) Gọi H điểm thỏa mãn OH đường kính đường trịn ngoại tiếp BOC  H điểm cố định Ta có: D thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC   90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)  ODH   90 Mà AD  EF  ODG  D , G , H thẳng hàng  AD qua điểm H cố định (đpcm) Do OB  BH  BH tiếp tuyến  O    HBG  (góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn cung BG )  BAG Xét HBG HAB ta có:  chung  BHG    ABH  BHG  cmt   HBG  HAB  g  g   BG HG  AB HB Chứng minh tương tự, ta có: HGC  HCA  g  g  GC HG  AC HC Mà HB  HC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) BG GC    GB AC  GC AB (đpcm) AB AC  TỐN THCS VIỆT NAM - Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/ToanTHCSVietNam/ Trang Giáo viên soạn tài liệu: Đội - Tổ Tia chớp d) Ta dễ dàng chứng minh bổ đề sau: Cho tam giác ABC đường cao AH , O tâm   OAC  đường tròn ngoại tiếp Thì ta có BAH A O B H C D Xét tam giác AEF có AD đường cao K tâm đường tròn ngoại tiếp   KAF   * Áp dụng bổ đề ta có: EAD   CAO  Dựng đường cao AP tam giác ABC , áp dụng bổ đề ta có: BAP 1 Gọi L trung điểm BC Ta có OL.OH  OB  OA2 ( hệ thức lượng tam giác vuông)    OHA   OAL ∽ OHA  c.g c   OAL   HAP   OAL   HAP  Mà OHA OL OA  OA OH  2   CAF   3 Mặt khác EAB   BAP   HAP   CAF   CAO   OAL   DAE   LAF  ** Từ 1 ;   ;  3  EAB   LAF   A, L, K thẳng hàng Vậy AK qua điểm L cố định Từ * ; **  KAF Câu (1,5 điểm) Cho số tự nhiên a  313.57.7 20 a) Gọi A tập hợp số nguyên dương k cho k ước a k chia hết cho 105 Hỏi tập hợp A có phần tử ? b) Giả sử B tập A có phần tử Chứng minh ta ln tìm phần tử B cho tích chúng số phương Lời giải a) Vì số a phân tích thành tích thừa số nguyên tố ; nên số nguyên dương k ước a có dạng : 3x.5 y.7 z  x , y , z    Vì 3x.5 y.7 z  x , y , z    ước a bội 105  3.5.7 nên suy  x  13;1  y  7;1  z  20 x , y , z   x y z Vậy số thuộc A số có dạng  x  13 ;  y  ;  z  20 x, y, z  Ta có: 13 cách chọn x , cách chọn y , 20 cách chọn z Vậy số phần tử tâp A là: 13.7.20  1820 (phần tử) Vậy tập A có 1820 phần tử b) Gọi phần tử B là: b1  1.5 1.7 ; b2  ; ; b9  9 x y z x y z x y z9 TOÁN THCS VIỆT NAM - Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/ToanTHCSVietNam/ Trang Giáo viên soạn tài liệu: Đội - Tổ Tia chớp Đặt bi  3xi yi zi  i    Vì  xi  13;1  yi  7;1  zi  20 xi , yi , zi   nên suy xi , yi zi số chẵn số lẻ Do số cách chọn số  xi ; yi ; zi  theo tính chất chẵn lẻ : 2.2.2  (cách) Do  nên theo nguyên lý Dirichlet tồn số i , j 1  i  j   cho xi  x j  mod  , yi  y j  mod  , zi  z j  mod  Khi xi  x j , yi  y j , zi  z j số chẵn Mà xi  x j , yi  y j , zi  z j số nguyên dương nên suy x x y yj bi b j  i j i Câu z z j i số phương Vậy ta ln tìm phần tử B cho tích chúng số phương (đpcm) (1,5 điểm) Cho hệ phương trình với k tham số:           x  yz x  y x k z y  zx y  z y k x z  xy z  x z k y a) Giải hệ với k  b) Chứng minh hệ vô nghiệm với k  k  Lời giải     I        x  yz x  y x  k 1 z y  zx y  z y  k   Điều kiện: x , y , z dấu x z  xy z  x z  k  3 y a) Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: x , y , z dương Khơng tính tổng qt, giả sử x  y  z  Ta có: x  yz x  y x    k  Phương trình 1 vơ nghiệm k   Hệ z phương trình  I  vô nghiệm k  Trường hợp 2: x , y , z âm Đặt a   x , b   y , c   z  a , b , c   Với k  , hệ phương trình  I  trở thành: TỐN THCS VIỆT NAM - Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/ToanTHCSVietNam/ Trang Giáo viên soạn tài liệu: Đội - Tổ Tia chớp          a a a   1 b c bc b b b   1 c a ca c c c   1 a b ab   a  a c  a b  bc   b  b a  b c  ac   c  c b  c a  ab   a  a c  a b  bc    b  b a  b c  ac    c  c b  c a  ab      a     b   c            b c a   a  c  b  a   c  b  a   c  b   a  c  b   a   a  c   b   b  a    a  b  c   x   y   z c . c  b   a  c  b  x  y  z Kết hợp với điều kiện x , y , z âm, suy x  y  z  Vậy với k  hệ phương trình  I  có nghiệm  x ; y ; z    t ; t ; t  t   b) Giả sử tồn số thực k  k  cho hệ phương trình  I  có nghiệm  x0 ; y0 ; z0  Xét hai trường hợp sau: Trường hợp 1: x0 , y0 , z0 dương Vì  x0 ; y0 ; z0  nghiệm  I            x0  y0 z x0  y0 x0 k z0 y0  z0 x0 y0  z0 y0 k x0 z0  x0 y0 z0  x0 z0 k y0 nên ta có: TỐN THCS VIỆT NAM - Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/ToanTHCSVietNam/ Trang Giáo viên soạn tài liệu: Đội - Tổ Tia chớp  x0  x0 z0  x0 y0  k y0 z0    y0  y0 x0  y0 z0  k x0 z0   z0  z0 y0  z0 x0  k x0 y0  x0  x0 z0  x0 y0  y0 z0   k  1 y0 z0    y0  y0 x0  y0 z0  x0 z0   k  1 x0 z0   z0  z0 y0  z0 x0  x0 y0   k  1 x0 y0           x0  z0 x0  y0   k  1 y0 z0       y0  z y0  x0   k  1 x0 z0     z0  x0 z0  y0   k  1 x0 y0    Từ   ,   ,   suy         x  x0  z0 z0         x0  z0   z  y   k  1 x z   k  1 z  x  y  y  z  x  z  y  y  x   x y  x0  y0  k  1 x0 z0   k  1 y0 z0 0 0 0 0 0 0 0 0 y  z0 y  z0    x  y0  x0 y0   x0  z0 x0  y0  y0 z0    z0  z0 x0  y0  y0 x0         x0  y0 z0  y0  x0     0 x0  y0  z0  x0  y0  z0 y0  z0  x0  y0  z0  k  trái với điều giả sử nên suy không tồn số thực k  k  để hệ phương trình  I  có nghiệm  x0 ; y0 ; z0  ( với x0 , y0 , z0  ) Trường hợp 2: x0 , y0 , z0 âm Khơng tính tổng qt, giả sử  x0  y0  z0  x0  x0 1     z z0    x  x  Vì  x0  y0  z0 nên 0      y0   y0  x0  x 0   0  y0 z0  y0 z0  x0  y0 z x0  y0 x0  7 z0 TỐN THCS VIỆT NAM - Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/ToanTHCSVietNam/ Trang Giáo viên soạn tài liệu: Đội - Tổ Tia chớp Vì  x0 ; y0 ; z0  nghiệm  I  nên ta có: x0  y0 z x0 x   k 8 y0 z0 Từ    8 suy k  trái với giả sử nên suy không tồn số thực k  k  để hệ phương trình  I  có nghiệm  x0 ; y0 ; z0  ( với x0 , y0 , z0  ) Vậy hệ phương trình  I  vô nghiệm k  k  (đpcm) TỐN THCS VIỆT NAM - Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/ToanTHCSVietNam/ Trang Giáo viên soạn tài liệu: Đội - Tổ Tia chớp TỐN THCS VIỆT NAM - Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/ToanTHCSVietNam/ Trang 10 ... tử b) Gọi phần tử B là: b1  1.5 1.7 ; b2  ; ; b9  9 x y z x y z x y z9 TOÁN THCS VIỆT NAM - Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/ToanTHCSVietNam/ Trang Giáo viên soạn tài liệu: Đội -... EF Xét ABE ACF ta có:   AFC   AEB  ABE   ACF  90    TOÁN THCS VIỆT NAM - Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/ToanTHCSVietNam/ Trang Giáo viên soạn tài liệu: Đội - Tổ Tia... vơ nghiệm k  k  (đpcm) TOÁN THCS VIỆT NAM - Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/ToanTHCSVietNam/ Trang Giáo viên soạn tài liệu: Đội - Tổ Tia chớp TOÁN THCS VIỆT NAM - Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/ToanTHCSVietNam/