ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNGKHIẾU HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH ĐỀTHI TUYỂN SINH LỚP 10Năm học: 2014-2015 Mơn thi: TỐN (chun) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề Câu I Cho phương trình (m + 5) x − 2mx − 6m = 0(1) với m tham số a) Tìm m cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Chứng minh tổng hai nghiệm số nguyên b) Tìm m cho phương trình (1) có hai nghiệm x1;x2 thỏa mãn điều kiện ( x1 x2 − x1 + x2 ) = 16 2(1 + x y ) = y x Câu II 1) Giảihệ phương trình 2(1 + y x ) = x y 2) Cho tam giác ABC vuông A với đường phân giác BM CN Chứng minh bất đẳng thức ( MC + MA)( NB + NA) ≥ 3+ 2 MA.NA 1 + = a b c a) Chứng minh a + b số nguyên tố b) Chứng minh c > a + c b + c đồng thời số nguyên tố Câu IV Cho điểm C thay đổi nửa đường tròn đường kính AB = 2R ( C ≠ A, C ≠ B) Gọi H hình chiếu vng góc C lên AB; I J tâm đường tròn nội tiếp tam giác ACH BCH Các đường thẳng CI, CJ cắt AB M, N a) Chứng minh AN = AC, BM = BC b) Chứng minh điểm M, N, J, I nằm đường tròn đường thẳng MJ, NI, CH đồng quy c) Tìm giá trị lớn MN giá trị lớn diện tích tam giác CMN theo R Câu V Cho số tự nhiên phân biệt cho tổng ba số chúng lớn tổng hai số lại a) Chứng minh tất số cho khơng nhỏ b) Tìm tất gồm số thỏa mãn đề mà tổng chúng nhỏ 40 Hết Câu III Cho số nguyên dương a, b, c cho ĐÁP ÁN Câu I a) Phương trình (1) có hệ số a = m + > nên phương trình bậc hai ẩn x Do Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 ∆ ' = m + (m + 5).6m > m + 6m3 + 30m > m(6m2 + m + 30) > 119 m 5m + (m + ) + >0 1 4 44 24 4 443 > ∀m m > 2m m2 + Xét m + − 2m = (m − 1) + > Mà m>0 => m + > 2m > Khi theo định lý Vi–ét ta có: x1 + x2 = 2m < => < x1 + x2 < m2 + Vậy tổng hai nghiệm (1) số ngun b) Phương trình (1) có hai nghiệm x1 ; x2 => < 119 ∆ ' ≥ m 5m2 + ( m + ) + ≥0 m ≥ 2m x + x = m2 + Khi đó, theo định lý Vi–ét: x x = −6m m2 + Ta có: ( x1 x2 − x1 + x2 ) = 16 x1 x2 − x1 + x2 = x1 x2 − x1 + x2 = −2 TH 1: x1 x2 − x1 + x2 = −6m 2m − = 2(2) m +5 m2 + Đặt t = 2m ; t ≥ phương trình (2) trở thành −3t − t − = m +5 Xét ∆ = 12 − 4( −3)(−2) = −23 < ⇒ (2) vô nghiệm TH : x1 x2 − x1 + x2 = −2 −6 m 2m − = −2(3) m +5 m2 + 2m ; t ≥ phương trình (3) trở thành −3t − t + = m2 + (t + 1)(3t − 2) = Đặt t = t = −1( L) m = 2(TM ) 2m = 4m − 18m + 20 = (m − 2)(4m − 10) = t = (T M ) => m = (TM ) m + 2 Vậy tất giá trị m cần tìm m ∈ 2; 5 Câu II 2(1 + x y ) = y x (I) 2(1 + y x ) = x y ĐK: x ≥ 0, y ≥ Đặt a = x y ; b = y x , điều kiện a ≥ 0, b ≥ Hệ (I) trở thành 2(1 + a ) = 9b(1) 2(1 + b) = 9a(2) Lấy (1) trừ (2) ta được: 2(1 + a) − 2(1 + b) = 9(b − a) 2(a − b)(a + b+ 2) + 9(a − b) = (a − b)(21a4+ 2b4+3 13) = > ∀a , b > a = b Thay a = b vào (1) ta có x a = => b = 2(TM ) => y 2(1 + a) = 9a x 1 a = => b = (TM ) => 2 y Vậy hệ phương trình có nghiệm 2) ( y =2 x =2 x = y = x = y = 1 x= y= 1 4; ; ; ÷ ÷ 4 ) Vì BM, CN phân giác góc ABC, ACB nên theo tính chất đường phân giác, ta có: MC BC MC + MA BC = => = 1+ MA AB MA AB NB BC BN + NA BC = => = 1+ NA AC NA AC ( MC + MA)( NB + NA) BC BC BC BC BC => = (1 + )(1 + ) = 1+ + + MA.NA AB AC AB AC AB AC Áp dụng định lý Pi–ta–go cho tam giác vuông ABC BĐT Cơ–si cho hai số khơng âm, ta có: BC = AB + AC ≥ AB AC => BC ≥2 AB.BC BC BC BC BC + ≥2 ≥2 AB AC AB AC ( MA + MC )( NB + NA) => ≥ 1+ + 2 = + 2 MA.NA Câu III 1 a+b = => c( a + b) = ab(*) a) Ta có: + = => a b c ab c Giả sử a + b số nguyên tố, từ (*) ⇒ ab ⋮ (a + b) ⇒ a ⋮ (a + b) b ⋮ (a + b) Điều mâu thuẫn < a < a + b, < b < a + b Vậy a + b số nguyên tố b) Giả sử a + c b + c đồng thời số nguyên tố Từ c(a+b)=ab=>ca+cb=ab=>ca+ab=2ab-ab=>a(b+c)=b(2a-c) ⇒ a( b + c) ⋮ b (**) Mà b + c số nguyên tố, b số nguyên dương nhỏ b + c nên (b + c, b) = Do từ (**) suy a ⋮ b Chứng minh tương tự ta có b(a + c) = a(2b – c) ⇒ b ⋮ a Vậy a = b Từ (*) ⇒ a = b = 2c Do a + c = b + c = 3c, không số nguyên tố với c > (mâu thuẫn với giả sử) Vậy a + c b + c đồng thời số nguyên tố Câu IV a) Ta có: HCA =ABC (cùng phụ với HCB ) Vì CN phân giác góc HCB nên HCN =BCN Do CAN= HCA +HCN= ABC +BCN Mặt khác, xét ∆ BCN với góc ngồi ANC ta có: ANC= ABC+ BCN Suy CAN= ANC ⇒ ∆ ACN cân A ⇒ AC = AN Chứng minh tương tự ta có BC = BM b) Vì CM, CN alà phân giác góc ACH BCH nên 1 MCN = MCH + NCH = ACH + BCH = ACB = 45o 2 Tam giác ACN cân A có AI phân giác kẻ từ đỉnh A, nên trung trực đáy CN ⇒ IC = IN ⇒ ∆ ICN cân I Tam giác ICN cân I có ICN=45o nên tam giác vuông cân I ⇒ CI ⊥ IN Chứng minh tương tự ta có CJ ⊥ MJ Tứ giác MIJN có MIN=MJN=90o nên tứ giác nội tiếp ⇒ Bốn điểm M, I, J, N thuộc đường tròn Vì CH ⊥ MN, MJ ⊥ CN, NI ⊥ CM nên CH, MJ, NI đồng quy trực tâm ∆ CMN c) Đặt AC = b; BC = a => a + b = BC = R ( Pi − ta − go) Theo câu a, ta có AN=AC= b; BM=BC=b Do a+b=AN+BM=BC+MN=>MN=a+b-BC=a+b-2R Ta có: (a − b) ≥ => 2ab ≤ a + b => (a + b) ≤ 2(a + b ) = R a + b ≤ 2 R => MN = a + b − R ≤ R ( − 1) Dấu xảy a = b ⇔ CA = CB ⇔ C điểm nửa đường tròn Vì C thuộc nửa đường tròn đường kính AB nên CH ≤ R 1 Do SCMN = CH MN ≤ R.2.R ( − 1) = R ( − 1) 2 Dấu xảy ⇔ C điểm nửa đường tròn Vậy giá trị nhỏ MN R ( − 1) giá trị nhỏ diện tích tam giác CMN R ( − 1) xảy C điểm nửa đường tròn đường kính AB Câu V a) Gọi số tự nhiên cho a, b, c, d, e Do chúng đôi phân biệt nên giả sử a < b < c < d < e Theo giả thiết ta có a + b + c > d + e ⇒ a + b + c ≥ d + e + Suy a ≥ d + e + – b – c Vì b, c, d, e số tự nhiên nên từ d > c ⇒ d ≥ c + 1; c > b ⇒ c ≥ b + Suy d ≥ b + ⇒ d – b ≥ e>d⇒e≥d+1⇒e≥c+2⇒e–c≥2 Do a ≥ (d – b) + (e – c) + ≥ Suy b, c, d, e > Vậy tất số không nhỏ b) Nếu a ≥ ⇒ b ≥ a + ≥ Tương tự c ≥ 8, d ≥ 9, e ≥ 10 ⇒ a + b + c + d + e ≥ 40 (mâu thuẫn) Suy a < Mà theo câu a ta có a ≥ ⇒ a = Ta có + b + c ≥ d + e + ⇒ b + c ≥ d + e – Mà d – ≥ b, e – ≥ c ⇒ d + e – ≥ b + c Do b = d − =>a+b+c+d+e=5+2b+2c+4 b + (b + 1) ≤ b+ c < => b ≤ 2 Suy b = b = Nếu b = d = b + = Vì b < c < d nên c = ⇒ e = c + = Nếu b = d = b + = Vì b < c < d nên c = ⇒ e = c + = 10 có hai thỏa mãn đề (5;6;7;8;9) (5;7;8;9;10) => b + c < ... < d nên c = ⇒ e = c + = Nếu b = d = b + = Vì b < c < d nên c = ⇒ e = c + = 10 có hai thỏa mãn đề (5;6;7;8;9) (5;7;8;9 ;10) => b + c < ... > ∀a , b > a = b Thay a = b vào (1) ta có x a = => b = 2(TM ) => y 2(1 + a) = 9a x 1 a = => b = (TM ) => 2 y Vậy hệ phương trình có nghiệm 2) ( y... ) = y x (I) 2(1 + y x ) = x y ĐK: x ≥ 0, y ≥ Đặt a = x y ; b = y x , điều kiện a ≥ 0, b ≥ Hệ (I) trở thành 2(1 + a ) = 9b(1) 2(1 + b) = 9a(2) Lấy (1) trừ (2) ta được: 2(1 + a) −