Website:tailieumontoan.com KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN BA VÌ NĂM 2020-2021 Thời gian: 120 phút ( không kể thời gian giao đề) Câu Đề số 10 x 1 x x x2 x x x P x x x x x x (4,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Chứng minh P c) Với giá trị x biểu thức P nhận giá trị nguyên? Câu (3,0 điểm) a) Hàm số f ( x ) x3 24 x 65 2020 3 Tính giá trị f (a ) a 16 16 b) Tìm số tự nhiên n cho n 2021 số phương x; y thỏa mãn xy x y 27 Câu (3,0 điểm) Tìm cặp số nguyên dương Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn; đường cao AK ; BD; CE cắt H KC AC CB BA2 2 a) Chứng minh rằng: KB CB BA AC HK AK b) Giả sử Chứng minh rằng: tan B.tan C 3 o c) Giả sử diện tích tam giác ABC 120cm BAC 60 Tính diện tích tam giác ADE Câu (4,0 điểm) 1 4 a) Cho x 0, y 0, z x y z Chứng minh rằng: 1 1 2x y z x y z x y 2z b) Khơng dùng máy tính điện tử, tính giá trị biểu thức: 4 4 4 21 P 11 23 4 HẾT Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN GIẢI KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN BA VÌ NĂM 2020-2021 Thời gian: 120 phút ( khơng kể thời gian giao đề) P x 1 x x x x x x x x x x x x Câu Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Chứng minh P c) Với giá trị x biểu thức P nhận giá trị nguyên Lời giải a) Rút gọn biểu thức P Điều kiện x ; x 1 x x ( x 1)( x x 1) x x x ( x 1) x Ta có x x x x x x ( x 1)( x x 1) x x x x x x (1 x) x Thay vào P ta được: P x 1 x x x x x 2 x x x x b) Chứng minh P Ta có với x 0; x 1 Suy x x x 0 x 1 x 2 2 x x Do đó, Suy P P c) Với giá trị x biểu thức P nhận giá trị nguyên? P 4 0 P Ta có Do P nhận giá trị nguyên P 6 Khi x 1 x x 1 6 0 x x Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x 2 ( x 2) 3 x 2 x 7 x Vậy với P nhận giá trị nguyên Câu 2020 a) Hàm số f ( x ) x3 24 x 65 2020 a) Hàm số f ( x ) x3 24 x 65 3 Tính giá trị f (a ) a 16 16 b) Tìm số tự nhiên n cho n 2021 số phương Lời giải 3 Tính giá trị f (a ) a 16 16 3 Ta có a 16 16 a 32 3( (16 5)(16 5))[ 16 16 ] a 32 3( 4)[ 16 16 ] a 32 12a; Khi a 12a 32 a 12a 64 f (a) a 12a 65 Do Vậy f (a ) 1 2020 (64 65) 2020 1 b) Tìm số tự nhiên n cho n 2021 số phương 2 * Giả sử n 2021 k ; k , k n k n 2021 ( k n)(k n) 2021 k n 2021 n 1010 k n Câu 2 Với n 1010, ta có n 2021 (1010) 2.1010 (1011) Vậy n 1010 thỏa mãn yêu cầu tốn x; y Tìm cặp số ngun dương thỏa mãn xy x y 27 Lời giải Ta có xy x y 27 x( y 2) 3( y 2) 33 ( y 2)( x 3) 33 (do x, y nguyên dương) y 1 x 33 y 33 x 1 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 y 11 x 3 (1) y 3 x 11 (2) TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com y (loai x 0; y 0) x 30 y 31 x Hệ phương trình (1) y 9 (loai) x y 1 x 8 Hệ phương trình (2) Câu Theo điều kiện toán cặp số nguyên cần tìm ( x; y) (8;1) Cho tam giác ABC nhọn; đường cao AK ; BD; CE cắt H KC AC CB BA2 2 a) Chứng minh rằng: KB CB BA AC HK AK b) Giả sử Chứng minh rằng: tan B.tan C 3 o c) Giả sử diện tích tam giác ABC 120cm BAC 60 Tính diện tích tam giác ADE Lời giải KC AC CB BA2 2 a) Chứng minh rằng: KB CB BA AC Sử dụng định lý Pytago tam giác vuông AKC AKB ta có AC AK KC ; AB AK KB ; lại có BC BK KC Thay vào ta AC CB BA2 AK KC ( BK KC )2 BA2 CB BA2 AC ( BK KC ) BA2 AK KC KC BK KC BK BK KC KC ( BK KC ) BK ( BK KC ) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com KC BK HK AK b) Giả sử Chứng minh rằng: tan B.tan C 3 Xét tam giác vng AKC AKB ta có AK tan B tan C (1) KB KC Do đó, tan B AK AK ; tan C KB KC KC ˆ KB Bˆ KHC ; tan KHC ; C KHB; tan KHB KH KH Ta lại có KB KC tan B tan C KH Khi AK (tan B tan C ) KH Từ (1) & (2), ta HK AK Theo đề bài, ta có Vậy tan B.tan C 3 o c) Giả sử diện tích tam giác ABC 120cm BAC 60 Tính diện tích tam giác ADE Ta có BAC 60 ABD 30 ; ACE 30 AD AE Suy AB AC Do đó, ABC ~ ADE S ADE S 2 ABC Suy SADE SABC 30 cm Vây Câu 1 4 a) Cho x 0, y 0, z x y z Chứng minh rằng: 1 1 2x y z x y z x y 2z b) Không dùng máy tính điện tử, tính giá trị biểu thức: 4 4 4 21 P 11 23 4 Lời giải 1 4 a) Cho x 0, y 0, z x y z Chứng minh rằng: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 1 1 2x y z x y z x y 2z 1 11 1 x, y : x y x y x y 4 x y Ta có với Áp dụng bất đẳng thức ta 1 1 1 2x y z 2x y z ; y z y 4z 1 1 (1) Suy x y z x y z 1 1 Tương tự ta có x y z x y z 1 1 x y 2z 4x y 2z (2) (3) 1 11 1 Từ (1), (2), (3) ta x y z x y z x y z x y z 1 1 x y z Vậy x y z x y z x y z ; dấu "=" xẩy b) Không dùng máy tính điện tử, tính giá trị biểu thức: 4 4 4 21 P 11 23 4 Ta có: n n 4n n 2n n 2n ( n 1) 1 (n 1) 1 Áp dụng vào tốn, ta có: 1 1 ; 1 1 ; ; 23 22 1 24 1 1 1 1 20 1 22 1 P 1 1 1 1 22 1 24 1 Thay vào ta 1 14 02 22 ; 54 1 62 ; ; 214 20 22 1 P Vậy 24 1 2 2 2 2 2 2 2 2 577 HẾT Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC