Website:tailieumontoan.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN LONG BIÊN KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VỊNG NĂM HỌC 2020-2021 MƠN: TỐN Đề số 17 Câu (6,0 điểm) 1) Giải phương trình: x 20 x 28 3 x 15 x 20 2) Cho ba số thực thỏa mãn điều kiện x y z 0 Chứng minh rằng: x y z 3xyz 3 a b b c c a 378 3) Cho số nguyên abc thoả mãn điều kiện: Tính giá trị biểu thức A | a b | | b c | | c a | Câu (3,0 điểm) 1) Cho a, b, c số nguyên thỏa mãn điều kiện: a b c chia hết cho Chứng minh: P a b b c c a 5abc chia hết cho 12 2) Có tồn hay khơng số ngun x, y , z thỏa mãn điều kiện: x3 y z x y z 2020 Câu ( 3,0 điểm) x y 3x y 2 0 x y x 1) Cho x, y hai số thực dương Chứng minh rằng: y 2) Cho số thực x thỏa mãn x Tìm GTNN biểu thức: A 100 2021 2 x x Câu (7,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ba đường cao AK , BD , CE cắt H 1) Chứng minh: BH BD = BC BK BH BD + CHCE= BC 2) Chứng minh BH AC cot ABC 3) Gọi M trung điểm BC Đường thẳng qua A vng góc với AM cắt đường thẳng BD , CE Q P Chứng minh rằng: MP MQ Câu (1,0 điểm) Trên bảng, người ta viết số tự nhiên liên tiếp từ đến 100 sau thực trị chơi sau: Mỗi lần xóa hai số a, b bảng viết số a b Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com lên bảng Việc làm thực liên tục, hỏi sau 99 bước số cuối lại bảng bao nhiêu? Tại sao? HẾT PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN LONG BIÊN KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VỊNG NĂM HỌC 2020-2021 MƠN: TỐN HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu (6,0 điểm) 1) Giải phương trình: x 20 x 28 3x 15 x 20 2) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x y z 0 Chứng minh rằng: x y z 3xyz 3 3) Cho số nguyên abc thoả mãn điều kiện: ( a b) (b c) (c a) 378 Tính giá trị biểu thức A | a b | | b c | | c a | Lời giải 1) Giải phương trình: Đặt x 20 x 28 3x 15 x 20 t x x 7, t 0 x x t Phương trình trờ thành: 2t 3t t 1 3t 2t 0 t 1 3t 1 0 t :t 1 0 (loại) t 1 (thỏa mãn) Ta có Với t 1, ta có : x x 1 x x 0 x 2 x 3 Vậy phương trình có tập nghiệm S {2;3} 2) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x y z 0 Chứng minh rằng: x y z 3xyz Ta có : x y z 0 z x y Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com VT x3 y z x3 y x y x y x 3x y 3xy y VT 3xy x y 3xyz VP 3 a b b c c a 378 3) Cho số nguyên a, b, c thoả mãn điều kiện: Tính giá trị biểu thức A | a b | | b c | | c a | Đặt a b x ; b c y ; c a z x y z 0 3 Ta có: x y z 378 xyz 378 xyz 126 Do x, y, z số nguyên có tồng xyz 126 x y z ( 2) ( 7).9 nên x y z 9 hoán vị x, y , z Suy ra: A | a b | | b c | | c a |18 Câu (3,0 điểm) 1) Cho a, b, c số nguyên thỏa mãn điều kiện: a b c chia hết cho 12 Chứng P a b b c c a 5abc minh: chia hết cho 12 2) Có tồn hay khơng số ngun x, y , z thỏa mãn điều kiện: x3 y z x y z 2020 Lời giải 1) Cho a, b, c số nguyên thỏa mãn điều kiện: a b c chia hết cho 12 Chứng minh: P a b b c c a 5abc chia hết cho 12 Ta có: P a b b c c a 5abc a b c ab bc ca 6abc (*) a b b c c a a b c ab bc ca abc Giả sử a, b, c chia dư a b c chia dư (2) Mà a b c :12 a b c 2 (theo giả thiết) (2) Do (1) (2) mâu thuẫn Điều già sử sai Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Trong ba số a, b, c có số chia hết cho 6abc :12 (**) Từ (*) (**) suy P12 2) Có tồn hay không số nguyên x, y , z thỏa mãn điều kiện: x3 y z x y z 2020 Ta có: x x x x 1 x 1 x x 1 3 3 Tưng tự ta có: y y : ; z z 3 x3 x y y z z 3 Biến đổi phương trình thành: x x y y z z 2020 3 Mà 2020 Vậy không tồn ba số nguyên x, y, z thỏa mãn điều kiện: x3 y z x y z 2020 Câu ( 3,0 điểm) x y 3x y 2 0 x , y y x y x 1) Cho hai số thực dương Chứng minh rằng: 2) Cho số thực x thỏa mãn x Tìm GTNN biểu thức: A 100 2021 2 x x Lời giải x y 3x y 2 0 x y x 1) Cho x, y hai số thực dương Chứng minh rằng: y x y x y xy x y 2 0 xy xy Ta có: y x với x, y x y y x x y 0; 1 y x x y y x x y 1 0 y x x y 3x y 0 y x2 y x Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 2) Cho số thực x thỏa mãn x Tìm GTNN biểu thức: :A Ta có A 100 2021 2 x x 100 100 2021 36 x 36 x 1949 2 x x 2 x x Mà x suy : x Áp dụng BĐT : a b 2 ab với a, b 0, dấu xảy a b ta có: 100 36 x 120 x x dấu xảy x x 36 x 24 dấu xày A Suy 100 100 2021 36 x 36 x 1949 2093 2 x x 2 x x Vậy A 2093 đạt x Câu (7,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ba đường cao AK , BD , CE cắt H 1) Chứng minh: BH BD = BC BK BH BD + CH.CE= BC 2) Chứng minh BH AC cot ABC 3) Gọi M trung điểm BC Đường thẳng qua A vng góc với AM cắt đường thẳng BD , CE Q P Chứng minh rằng: MP MQ Lời giải 1) Chứng minh: BH BD = BC BK BH BD + CH.CE= BC Xét tam giác: BHK BCD có: KBH chung, BKH BDC 90 BH BK BHK đồng dạng BCD (g-g) nên BC BD BH BD BCBK Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com CH KC CH CE BC KC Tương tự: CHK đồng dạng CBE nên BC CE Cộng vế với vế hai đằng thức ta được: BH BD CH CE BCBK BC KC hay BH BD CH CE BC ( BK KC ) BC 2) Chứng minh BH AC cot ABC Chứng minh : BEH đồng dạng CEA (g-g) Xét BEC vuông E cot ABC BH BE CA CE BE CE BH BE cot ABC BH AC cot ABC CA CE 3) Gọi M trung điểm BC Đường thẳng qua A vng góc với AM cắt đường thẳng BD , CE Q P Chứng minh rằng: MP MQ Chứng minh PAH đồng dạng AMB (g-g) Chứng minh: QAH đồng dạng MAC (g-g) Do MB MC (gt) PA AH AM MB QA AH AM MC QA PA AM AM PA QA QMP cân M MP MQ Câu (1,0 điểm) Trên bảng, người ta viết số tự nhiên liên tiếp từ đến 100 sau thực trị chơi sau: Mỗi lần xóa hai số a, b bảng viết số a b lên bảng Việc làm thực liên tục, hỏi sau 99 bước số cuối lại bảng bao nhiêu? Tại sao? Lời giải Tồng tất số ban đầu bảng: S 1 99 100 5050 Qua bước ta thấy tổng giảm Lúc đầu tồng S 5050 sau 99 bước số lai 5050 2.99 4852 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC