17 hsg toan 9 2020 2021 quan long bien ha noi toan thcs vn

Website:tailieumontoan.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN LONG BIÊN KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VỊNG NĂM HỌC 2020-2021 MƠN: TỐN Đề số 17 Câu (6,0 điểm) 1) Giải phương trình: x  20 x  28 3 x  15 x  20 2) Cho ba số thực thỏa mãn điều kiện x  y  z 0 Chứng minh rằng: x  y  z 3xyz 3  a  b    b  c    c  a  378 3) Cho số nguyên abc thoả mãn điều kiện: Tính giá trị biểu thức A | a  b |  | b  c |  | c  a | Câu (3,0 điểm) 1) Cho a, b, c số nguyên thỏa mãn điều kiện: a  b  c chia hết cho Chứng minh: P  a  b   b  c   c  a   5abc chia hết cho 12 2) Có tồn hay khơng số ngun x, y , z thỏa mãn điều kiện: x3  y  z  x  y  z  2020 Câu ( 3,0 điểm) x y 3x y  2   0 x y x 1) Cho x, y hai số thực dương Chứng minh rằng: y 2) Cho số thực x thỏa mãn  x  Tìm GTNN biểu thức: A 100   2021 2 x x Câu (7,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ba đường cao AK , BD , CE cắt H 1) Chứng minh: BH BD = BC BK BH BD + CHCE= BC  2) Chứng minh BH  AC cot ABC 3) Gọi M trung điểm BC Đường thẳng qua A vng góc với AM cắt đường thẳng BD , CE Q P Chứng minh rằng: MP MQ Câu (1,0 điểm) Trên bảng, người ta viết số tự nhiên liên tiếp từ đến 100 sau thực trị chơi sau: Mỗi lần xóa hai số a, b bảng viết số a  b  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com lên bảng Việc làm thực liên tục, hỏi sau 99 bước số cuối lại bảng bao nhiêu? Tại sao? HẾT PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN LONG BIÊN KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VỊNG NĂM HỌC 2020-2021 MƠN: TỐN HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu (6,0 điểm) 1) Giải phương trình: x  20 x  28 3x  15 x  20 2) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x  y  z 0 Chứng minh rằng: x  y  z 3xyz 3 3) Cho số nguyên abc thoả mãn điều kiện: ( a  b)  (b  c)  (c  a) 378 Tính giá trị biểu thức A | a  b |  | b  c |  | c  a | Lời giải 1) Giải phương trình: Đặt x  20 x  28 3x  15 x  20 t  x  x  7,  t 0   x  x  t Phương trình trờ thành: 2t 3t   t 1  3t  2t  0   t  1  3t  1 0    t   :t  1 0 (loại) t 1 (thỏa mãn)  Ta có  Với t 1, ta có : x  x  1  x  x  0  x 2 x 3 Vậy phương trình có tập nghiệm S {2;3} 2) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x  y  z 0 Chứng minh rằng: x  y  z 3xyz Ta có : x  y  z 0  z   x  y  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com VT  x3  y  z  x3  y   x  y  x  y  x  3x y  3xy  y VT  3xy  x  y  3xyz VP 3  a  b    b  c    c  a  378 3) Cho số nguyên a, b, c thoả mãn điều kiện: Tính giá trị biểu thức A | a  b |  | b  c |  | c  a | Đặt a  b x ; b  c  y ; c  a z  x  y  z 0 3 Ta có: x  y  z 378  xyz 378  xyz 126 Do x, y, z số nguyên có tồng xyz 126  x y z ( 2) (  7).9 nên  x    y   z 9  hoán vị x, y , z Suy ra: A | a  b |  | b  c |  | c  a |18 Câu (3,0 điểm) 1) Cho a, b, c số nguyên thỏa mãn điều kiện: a  b  c chia hết cho 12 Chứng P  a  b   b  c   c  a   5abc minh: chia hết cho 12 2) Có tồn hay khơng số ngun x, y , z thỏa mãn điều kiện: x3  y  z x  y  z  2020 Lời giải 1) Cho a, b, c số nguyên thỏa mãn điều kiện: a  b  c chia hết cho 12 Chứng minh: P  a  b   b  c   c  a   5abc chia hết cho 12 Ta có: P  a  b   b  c   c  a   5abc  a  b  c   ab  bc  ca   6abc (*)  a  b   b  c   c  a   a  b  c   ab  bc  ca   abc Giả sử a, b, c chia dư  a  b  c chia dư (2) Mà a  b  c :12  a  b  c 2 (theo giả thiết) (2) Do (1) (2) mâu thuẫn  Điều già sử sai Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  Trong ba số a, b, c có số chia hết cho  6abc :12 (**) Từ (*) (**) suy P12 2) Có tồn hay không số nguyên x, y , z thỏa mãn điều kiện: x3  y  z x  y  z  2020 Ta có: x  x  x  x  1  x  1 x  x  1 3 3 Tưng tự ta có: y  y : ; z  z 3   x3  x    y  y    z  z  3 Biến đổi phương trình thành: x  x    y  y    z  z  2020 3 Mà 2020  Vậy không tồn ba số nguyên x, y, z thỏa mãn điều kiện: x3  y  z x  y  z  2020 Câu ( 3,0 điểm) x y 3x y  2   0 x , y y x y x 1) Cho hai số thực dương Chứng minh rằng: 2) Cho số thực x thỏa mãn  x  Tìm GTNN biểu thức: A 100   2021 2 x x Lời giải x y 3x y  2   0 x y x 1) Cho x, y hai số thực dương Chứng minh rằng: y x y x  y  xy  x  y    2  0 xy xy Ta có: y x với x, y  x y    y x  x y   0;    1   y x  x y    y x  x y      1 0  y x   x y 3x y     0 y x2 y x Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 2) Cho số thực x thỏa mãn  x  Tìm GTNN biểu thức: :A Ta có A 100   2021 2 x x 100    100    2021   36   x      36 x   1949 2 x x  2 x   x  Mà  x  suy :  x  Áp dụng BĐT : a  b 2 ab với a, b 0, dấu xảy a b ta có:  100   36 x  120 x   x  dấu xảy   x   x  36   x   24 dấu xày A Suy 100    100    2021   36   x      36 x   1949 2093 2 x x  2 x   x  Vậy A 2093 đạt x Câu (7,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ba đường cao AK , BD , CE cắt H 1) Chứng minh: BH BD = BC BK BH BD + CH.CE= BC  2) Chứng minh BH  AC cot ABC 3) Gọi M trung điểm BC Đường thẳng qua A vng góc với AM cắt đường thẳng BD , CE Q P Chứng minh rằng: MP MQ Lời giải 1) Chứng minh: BH BD = BC BK BH BD + CH.CE= BC    Xét tam giác: BHK BCD có: KBH chung, BKH BDC 90 BH BK   BHK đồng dạng BCD (g-g) nên BC BD  BH BD BCBK Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com CH KC   CH CE BC KC Tương tự: CHK đồng dạng CBE nên BC CE Cộng vế với vế hai đằng thức ta được: BH BD  CH CE BCBK  BC KC hay BH BD  CH CE BC ( BK  KC ) BC  2) Chứng minh BH  AC cot ABC Chứng minh : BEH đồng dạng CEA (g-g) Xét BEC vuông E  cot ABC    BH BE  CA CE BE CE BH BE  cot ABC  BH  AC cot ABC CA CE 3) Gọi M trung điểm BC Đường thẳng qua A vng góc với AM cắt đường thẳng BD , CE Q P Chứng minh rằng: MP MQ Chứng minh PAH đồng dạng AMB (g-g)  Chứng minh: QAH đồng dạng MAC (g-g) Do MB MC (gt)   PA AH  AM MB QA AH  AM MC QA PA  AM AM  PA QA  QMP cân M  MP MQ Câu (1,0 điểm) Trên bảng, người ta viết số tự nhiên liên tiếp từ đến 100 sau thực trị chơi sau: Mỗi lần xóa hai số a, b bảng viết số a  b  lên bảng Việc làm thực liên tục, hỏi sau 99 bước số cuối lại bảng bao nhiêu? Tại sao? Lời giải Tồng tất số ban đầu bảng: S 1    99  100 5050 Qua bước ta thấy tổng giảm Lúc đầu tồng S 5050 sau 99 bước số lai 5050  2.99 4852 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC