Website:tailieumontoan.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN LONG BIÊN KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VỊNG Năm học: 2020-2021 Mơn: TỐN Câu (6,0 điểm) x 20 x 28 3 x 15 x 20 2) Cho ba số thực thỏa mãn điều kiện x y z 0 Chứng minh rằng: 1) Giải phương trình: x y z 3xyz 3 3) Cho số nguyên a; b; c thoả mãn điều kiện: ( a b) (b c) (c a ) 378 Tính giá trị biểu thức A | a b | | b c | | c a | Câu (3,0 điểm) 1) Cho a, b, c số nguyên thỏa mãn điều kiện: a b c chia hết cho 12 Chứng minh: P (a b)(b c)(c a ) - 5abc chia hết cho 12 2) Có tồn hay không số nguyên x, y, z thỏa mãn điều kiện: x y z x y z 2020 Câu ( 3,0 điểm) x y 3x y 2 0 x y x 1) Cho x, y hai số thực dương Chứng minh rằng: y 2) Cho số thực x thỏa mãn x Tìm GTNN biểu thức: A Câu 4 100 2021 2 x x (7,0 điểm).Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ba đường cao AK , BD , CE cắt H 1) Chứng minh: BH BD = BC BK BH BD + CHCE= BC 2) Chứng minh BH AC cot ABC 3) Gọi M trung điểm BC Đường thẳng qua A vng góc với AM cắt đường thẳng BD , CE Q P Chứng minh rằng: MP MQ Câu (1,0 điểm).Trên bảng, người ta viết số tự nhiên liên tiếp từ đến 100 sau thực trị chơi sau: Mỗi lần xóa hai số a, b bảng viết số a b lên bảng Việc làm thực liên tục, hỏi sau 99 bước số cuối lại bảng bao nhiêu? Tại sao? HẾT Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN GIẢI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN LONG BIÊN KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VỊNG Năm học: 2020-2021 Mơn: TỐN Câu (6,0 điểm) 2 1) Giải phương trình: x 20 x 28 3 x 15 x 20 2) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x y z 0 Chứng minh rằng: x y z 3xyz 3 3) Cho số nguyên a, b, c thoả mãn điều kiện: ( a b) (b c) (c a ) 378 Tính giá trị biểu thức A | a b | | b c | | c a | Lời giải 1) Giải phương trình: x 20 x 28 3 x 15 x 20 2 Đặt t x x 7,(t 0) x x t ĐKXD: x Phương trình trờ thành: 2t 3t t 1 3t 2t 0 (t 1)(3t 1) 0 t :t 1 0 (loại) t 1 (thỏa mãn) Ta có Với t 1, ta có : x x 1 x x 0 x 2 x 3 Vậy phương trình có tập nghiệm S {2;3} 2) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x y z 0 Chứng minh rằng: x y z 3xyz Ta có : x y z 0 z ( x y ) VT x y z x y ( x y )3 x y x 3x y 3xy y VT 3xy ( x y ) 3xyz VP 3 3) Cho số nguyên abc thoả mãn điều kiện: ( a b) (b c) (c a ) 378 Tính giá trị biểu thức A | a b | | b c | | c a | Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Đặt a b x; b c y; c a z x y z 0 3 Ta có: x y z 378 xyz 378 xyz 126 Do x, y, z số nguyên có tồng xyz 126 x y z ( 2) ( 7).9 nên x x x x x 9 x 9 y y 9 ; y 2; y 9 ; y y z 9 z z 9 z z z Suy ra: A | a b | | b c | | c a |18 Câu (3,0 điểm) 1) Cho a, b, c số nguyên thỏa mãn điều kiện: a b c chia hết cho 12 Chứng minh: P (a b)(b c)(c a ) - 5abc chia hết cho 12 2) Có tồn hay khơng số ngun x, y, z thỏa mãn điều kiện: x y z x y z 2020 Lời giải 1) Cho a, b, c số nguyên thỏa mãn điều kiện: a b c chia hết cho 12 Chứng minh: P (a b)(b c)(c a ) - 5abc chia hết cho 12 Ta có: P ( a b)(b c)(c a) 5abc (a b c)(ab bc ca) 6abc (*) (a b)(b c)(c a) (a b c)( ab bc ca) abc Giả sử a, b, c chia dư a b c chia dư (2) Mà a b c :12 a b c 2 (theo giả thiết) (2) Do (1) (2) mâu thuẫn Điều già sử sai Trong ba số a, b, c có số chia hết cho 6abc :12 (**) Từ (*) (**) suy P12 2) Có tồn hay khơng số ngun x, y, z thỏa mãn điều kiện: x y z x y z 2020 Ta có: x x x x 1 ( x 1) x( x 1) : 3 Tưng tự ta có: y y : ; z z 3 x3 x y y z z : x Biến đổi phương trình thành: x y y z z 2020 3 Mà 2020 Vậy không tồn ba số nguyên x, y , z thỏa mãn điều kiện: x y z x y z 2020 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu ( 3,0 điểm) x y 3x y 2 0 x y x 1) Cho x, y hai số thực dương Chứng minh rằng: y 100 A 2021 2 x x 2) Cho số thực x thỏa mãn x Tìm GTNN biểu thức: Lời giải x y 3x y 2 0 x , y y x y x 1) Cho hai số thực dương Chứng minh rằng: x y x y xy ( x y ) 2 0 xy xy Ta có: y x với x, y x y y x x y 0; 1 y x x y x y 1 0 y x y x x y 3x y 0 y2 x2 y x 2) Cho số thực x thỏa mãn x Tìm GTNN biểu thức: :A A 100 2021 2 x x 100 100 2021 36(2 x ) 36 x 1949 2 x x 2 x x Ta có Mà x suy : x Áp dụng BĐT : a b 2 ab với a, b 0, dấu xảy a b ta có: 100 36 x 120 x x dấu xảy x x 36(2 x) 24 dấu xày A Suy 100 100 2021 36(2 x) 36 x 1949 2093 2 x x 2 x x x Câu Vậy MinA =2093 chi (7,0 điểm).Cho tam giác ABC cóba góc nhọn, ba đường cao AK , BD , CE cắt H 1) Chứng minh: BH BD = BC BK BH BD + CH.CE= BC 2) Chứng minh BH AC cot ABC Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 3) Gọi M trung điểm BC Đường thẳng qua A vng góc với AM cắt đường thẳng BD , CE Q P Chứng minh rằng: MP MQ Lời giải 1) Chứng minh: BH BD = BC BK BH BD + CH.CE= BC Xét tam giác: BHK đơng dạng BCD có: KBH chung BKH BDC 90 BHK đồng dạng BCD(g.g) BH BK nên BC BD BH BD BCBK Tương tự: CHK đồng dạng CBE CH KC CH CE BC KC nên BC CE Cộng vế với vế hai đằng thức ta được: BH BD CH CE BCBK BC KC hay BH BD CH CE BC ( BK KC ) BC 2) Chứng minh BH AC cot ABC CEA( g g ) Chứng minh : BEH đồng dạng Xét BEC vuông E cot ABC BH BE CA CE BE CE BH BE cot ABC BH AC cot ABC CA CE 3) Gọi M trung điểm BC Đường thẳng qua A vng góc với AM cắt đường thẳng BD , CE Q P Chứng minh rằng: MP MQ Chứng minh PAH đồng dạng AMB ( g g ) PA AH AM MB MAC ( g g ) QA AH AM MC Chứng minh: QAH đồng dạng QA PA MB MC (gt) AM AM Do PA QA QMP cân M MP MQ Câu (1,0 điểm).Trên bảng, người ta viết số tự nhiên liên tiếp từ đến 100 sau thực trị chơi sau: Mỗi lần xóa hai số a, b bảng viết số Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a b lên bảng Việc làm thực liên tục, hỏi sau 99 bước số cuối lại bảng bao nhiêu? Tại sao? Lời giải Tồng tất số ban đầu bảng: S 1 99 100 5050 Qua bước ta thấy tồng giàm Lúc đầu tồng S 5050 sau 99 bước số lai 5050 2.99 4852 HẾT Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC