Website:tailieumontoan.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN HAI BÀ TRƯNG ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2020-2021 MƠN: TỐN Thời gian làm 150 phút Đề số Câu (5 điểm) 3 1) Cho a, b, c số thực khác thỏa mãn a b c 3abc Tính giá trị biểu thức: P a b b c c a c a b 2) Giải phương trình x x x 0 Câu (5 điểm) 1) Cho đa thức P ( x) với hệ số thực thỏa mãn P (1) 2 P ( 1) 4 Tìm đa thức dư phép chia đa thức P ( x) cho đa thức x 2) Tìm cặp số nguyên x; y 2 thỏa mãn x y xy x y 0 3) Cho a, b, c số nguyên dương phân biệt p số nguyên tố lẻ cho a b c p2 ab 1, bc 1, ca chia hết cho p Chứng minh Câu (2 điểm) 1) Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x x với x 4 2 2) Với số thực a, b, c thỏa mãn: a b c 3 a b c 9 Chứng minh a 3 Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có AB AC đường cao AH Gọi E , F chân đường vuông góc hạ từ H lên AC , AB Gọi I giao điểm của AH EF , BI cắt AC điểm P Đường thẳng qua A song song với BI cắt BC Q 1) Chứng minh B trung điểm QH AP BA2 AP AL 1 2) CI cắt AB L Chứng minh: PC BC PC LB 3) Gọi M giao điểm của FE CB Kẻ HT vuông góc với AM Chứng minh BTC 900 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu (1 điểm) Cho lục giác ABCDEF có diện tích 2022cm điểm nằm lục giác ABCDEF Chứng minh tồn tam giác có đỉnh điểm điểm cho có diện tích khơng lớn 337 cm HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ HSG TOÁN QUẬN ĐỐNG ĐA Năm học: 2020-2021 Lời giải Câu (5 điểm) 3 1) Cho a, b, c số thực khác thỏa mãn a b c 3abc Tính giá trị biểu thức: P a b b c c a c a b 2) Giải phương trình x x x 0 Lời giải 3 1) Ta có: a b c 3abc 2 a b c a b b c c a 0 Suy a b c 0 Do đó, a b c TH1: a b c 0 suy ra: a b c; b c a; c b a Suy P TH2: a b c suy P 6 2) Giải phương trình x x x 0 Điều kiện xác định: x 2 Biến đổi phương trình dạng ( x 2) x 0 Vì ( x 2) 0 x 0 với x 2 nên ( x 2) x 0 ( x 2) 0 x 2 x Dấu “=” xảy Vậy nghiệm của phương trình x 2 Câu (5 điểm) 1) Cho đa thức P ( x) với hệ số thực thỏa mãn P (1) 2 P ( 1) 4 Tìm đa thức dư phép chia đa thức P ( x) cho đa thức x Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 2) Tìm cặp số nguyên x; y 2 thỏa mãn x y xy x y 0 3) Cho a, b, c số nguyên dương phân biệt p số nguyên tố lẻ cho a b c p2 ab 1, bc 1, ca chia hết cho p Chứng minh Lời giải 1) Đặt P (x) = (x + 1)(x - 1).q(x) + ax + b Ta có P (1) = a + b = P (- 1) = - a + b = Suy a = - 1;b = Vậy đa thức dư - x + 2) Biến đổi phương trình dạng x 2 y 1 y 4 02 22 x y 0 x 3 y y TH1: x y 0 x y y TH2: x y 2 x 3 y y TH3: x y x y y TH4: Từ đó giải x; y 1;0 , 1; , 3; , 3; 3) Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng: a b c Thấy ab 1, bc 1, ca chia hết cho p suy a, b, c không chia hết cho p bc 1 ac 1 p c b a p Từ giả thiết bc 1, ac chia hết cho p ta suy p suy b a p , mà c Tương tự ta có: c b p suy b a p c b p Ta có Liên hệ tài 039.373.2038 b b a a p a liệu word môn c b c b p a p a p tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Nếu a 1 b ab 1p, b b a p dẫn đến 2p mà p số nguyên tố lẻ nên trái với giả thiết a 2 Sử dụng kiện: a 2, b a p , c a p Câu a b c a a p a 2p p a p 3 (2 điểm) 1) Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x x với x 4 2 2) Với số thực a, b, c thỏa mãn: a b c 3 a b c 9 Chứng minh a 3 Lời giải 1) P 2 Vì P , ta xét Dấu “=” xảy x x 2 , đó P P x 2 x x 0 suy x 4 Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất P 2 Vì P , ta xét x 2 x 4 x 2 x Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: x x x x 2 Do đó, P 4 , dấu “=” xảy x 4 x suy x 3 Vậy P đạt giá trị lớn nhất x 3 2) b c 3 a 2 b c 9 a Từ giả thiết ta có: Sử dụng bất đẳng thức 2 a a 2 b c b c ta suy a 2a 0 a 1 a 0 a 0 a 1 a a 0 a 3 Vì Chú ý: Nếu học sinh chứng minh a 3 cho nửa số điểm 2 2 2 Từ giả thiết a b c 9 suy a 9 b c 9 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Do đó, a 3 Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có AB AC đường cao AH Gọi E , F chân đường vuông góc hạ từ H lên AC , AB Gọi I giao điểm của AH EF , BI cắt AC điểm P Đường thẳng qua A song song với BI cắt BC Q 1) Chứng minh B trung điểm QH AP BA2 AP AL 1 PC BC PC LB CI AB L 2) cắt Chứng minh: 3) Gọi M giao điểm của FE CB Kẻ HT vuông góc với AM Chứng minh BTC 900 Lời giải A P I L T E F Q M B H O C BH IA 1) Do AQ BP theo định lý Thales ta có: BQ IH mà I trung điểm AH nên IA IH BH 1 BQ dẫn đến hay B trung điểm QH Cách khác: Có thể nói B trung điểm QH dựa định lý đường trung bình của tam giác AHQ AP QB BH BH BC PC BC BC BC Sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông ABC ta 2) Ta có có: BH BC BA AP QB BH BA2 PC BC BC BC Từ đó suy Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com AL AC LB BC Chứng minh tương tự ta có: AP AL AB AC AB AC 2 1 2 PC LB BC BC BC Suy PA QB BH Cách khác: Theo định lý Thales ta có: PC BC BC , tương tự ta có: QA CH PA QA BH CH 1 QB CB dẫn đến PC QB BC 3) Sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông AHB, AHC với HE AC , HF AB ta có AF AB AH AE AC từ đó suy AEF ~ ABC dẫn đến AEF ABC Gọi O trung điểm của BC OA OB OC nên tam giác AOC cân O , suy OAC OCA Từ đó suy AEF OAC B C 90 nên OA EF nên I trực tâm của tam giác AOM dẫn đến OI AM hay OI AT (*) Tam giác ATH vuông T , có AI TI IH hay IA IT (**) Từ (*),(**) suy OI trung trực của AT dẫn đến OT OA OB OC nên tam giác BTC vuông T Câu (1 điểm) Cho lục giác ABCDEF có diện tích 2022cm điểm nằm lục giác ABCDEF Chứng minh tồn tam giác có đỉnh điểm điểm cho có diện tích khơng lớn 337 cm Lời giải Bổ đề: Lấy điểm hình bình hành, đó tam giác tạo điểm đó có diện tích bé nửa diện tích hình bình hành Áp dụng: Gọi O tâm của lục giác đều, đó lục giác chia thành hình bình hành ABCO, CDEO, EFAO Theo nguyên lí Dirichlet, tồn hình bình hành chứa nhất điểm theo bổ đề điểm tạo tam giác có diện tích nhỏ nửa diện tích hình bình hành, hay diện tích khơng lớn 337 cm HẾT Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC