Website:tailieumontoan.com PHỊNG GD VÀ ĐT QUẬN BA ĐÌNH ĐỀ HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2019-2020 MƠN: TỐN Đề số Câu a a) Cho 2 1 Tìm giá trị a 6a A 99 99.99 99 b) Cho 2020 cs 2020 cs Hỏi A có chữ số ? Câu 2 a) Giải phương trình x x x x x x x x 12 y 27 b) Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn Câu 3 3 a) Cho a; b; c ba số tự nhiên liên tiếp CMR: a b c chia hết cho 3 3 3 b) Cho biểu thức A 1 2019 2020 Tìm số dư chia A cho Câu Cho hình vng ABCD tâm O , cạnh AB, BC lấy M , N tương ứng cho BM CN a) Chứng minh MON vuông cân b) AN cắt DC E , ON bắt BE F Tìm vị trí M , N để tứ giác ABEC , MBFN hình bình hành c) Chứng minh CF BE d) Tìm giá trị nhỏ chu vi tứ giác OMBN Câu Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Cho a; b số thực dương thỏa mãn a b 2 Tìm giá trị nhỏ A a3 b3 biểu thức 3ab a b2 PHÒNG GD VÀ ĐT QUẬN BA ĐÌNH ĐỀ HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2019-2020 MƠN: TỐN Câu a a) Cho 2 1 Tìm giá trị a 6a A 99 99.99 99 b) Cho 2020 cs 2020 cs Hỏi A có chữ số ? Lời giải a a) 2 1 2 3 3 1 a 6a 1 1 6 10 10 b) Cho A 99 99.99 99 2020 cs 2020 cs Hỏi A có chữ số ? A 99 99.99 99 10 00 99 99 10 00.99 99 99 99 2020 2020 2020 cs 2020 cs cs 2020 cs 2020 cs 102020 10 99 99 00 00 99 99 99 99800 001 2020 cs 2020 cs 2020 cs 2019 cs 2019 cs Vậy A có 2019 2019 1 4020 chữ số Câu Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Giải phương trình x x x x x x x x 12 y 27 b) Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn Lời giải a) Giải phương trình x x x x x 2 x x x x x (đk: x 2) x x 1 x x x x x 1 x x x x x x 1 x 1 0 x x x 1 0 Th1: x x 0 Đặt t 2x x t 1 t 0 Phương trình cho có dạng t t 1 1 t t 1 2 t t 0 t 1 t 1 0 t 1 t t 1 t 1 0 t 1 t t 0 t 1 t t 0(vn) Vậy t 1 x 1 x 2 x 1 TH2: x 1 x 1 ( Thỏa mãn điều kiện) Vậy x 1 nghiệm phương trình x x x 12 y 27 b) Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com x x x 12 y 27 x x 12 x y 27 x x 12 x y 19 x y 19 x y x x y y 19 Ta có x 2 2 y2 3y2 y 3y2 x y y x x x 0 4 2 2 2 Do x, y số nguyên nên x y x x y y ước 19 TH1: x y 1 x y 2 2 x x y y 19 y y y y 19 x y y x; y 5; ; 0; y 2 x y y y 0 TH2: x y 19 x y 19 2 2 x x y y 11 y 19 y 19 y y 1 (khơng có giá trị y ngun ) Câu 3 a) Cho a; b; c ba số tự nhiên liên tiếp CMR: a b c chia hết cho 3 3 3 b) Cho biểu thức A 1 2019 2020 Tìm số dư chia A cho Lời giải 3 a) Cho a; b; c ba số tự nhiên liên tiếp CMR: a b c chia hết cho Vì a; b; c ba số tự nhiên liên tiếp nên ta có: b a c a a b3 c a (a 1)3 (a 2)3 a a 3a 3a a 6a 12a 3a 9a 15a 3.(a 3a 5a 1) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 3 Vậy a b c chia hết cho 3 3 3 b) Cho biểu thức A 1 2019 2020 Tìm số dư chia A cho A 13 23 33 43 53 63 73 20183 20193 20203 Theo phần a: 2 33 43 3 ; 5 63 73 3 ;……; 20183 20193 20203 3 Nên A chia cho dư Ta có A 13 23 33 20193 20203 13 (23 20203 ) (33 20193 ) (10103 10123 ) 1 2022(22 2.2020 2020 ) 2022(2 3.2019 20192 ) 2022(10102 1010.1012 10122 ) 1 2022(22 2.2020 2020 2 3.2019 20192 10102 1010.1012 10122 ) Do 2022 chia hết A chia cho dư Câu Cho hình vuông ABCD tâm O , cạnh AB, BC lấy M , N tương ứng cho BM CN a) Chứng minh MON vuông cân b) AN cắt DC E , ON bắt BE F Tìm vị trí M , N để tứ giác ABEC , MBFN hình bình hành c) Chứng minh CF BE d) Tìm giá trị nhỏ chu vi tứ giác OMBN Lời giải H M A B O N F D C E a) Chứng minh MON vuông cân Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Ta có: ABCD hình vng OB OC; OBM OCN 45 ; BOC 90 OBM OCN c g c OM ON ; MOB NOC Ta có: MON MOB BON NOC BON BOC 90 Suy MON vuông cân O b) AN cắt DC E , ON bắt BE F Tìm vị trí M , N để tứ giác ABEC , MBFN hình bình hành * Tứ giác ABEC hình bình hành NB NC; NA NE +) Khi NB NC ABN CNE g c g NA NE +) Khi NB NC ON đường trung bình BCD ON // CD // AB mà OM ON ( MON vuông O ) OM AB M trung điểm AB Vậy M , N trung điểm AB, BC tứ giác ABEC hình bình hành * Tứ giác MBFN hình bình hành NF // MB; NF MB +) Khi NF // MB // CD mà OB OD N trung điểm BC M trung điểm AB (chứng minh trên) +) Khi N trung điểm BC , mà ON // DE hay OF // DE ON NF CE F trung điểm BE Mặt khác, M , N trung điểm AB, BC OMBN hình vng NF MB ON Vậy M , N trung điểm AB, BC tứ giác MBFN hình bình hành c) Chứng minh CF BE Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com +) Xét ANB có CE // AB mà NC BM ; NB AM NC NE NB NA (định lí Ta – lét) MB NE MA NA MN // BF (định lí Ta – lét đảo) BFN MNO (hai góc đồng vị) BFN MNO 45 ( MON vuông cân O ) +) Xét NCO NFB có: NCO NFB 45 ; ONC BNF (đối đỉnh) NC NO NFC # NBO c g c NCO # NFB g g NF NB NFC NBO , mà NBO 45 NFC 45 +) Ta có: BFC BFN NFC 45 45 90 CF BE d) Tìm giá trị nhỏ chu vi tứ giác OMBN Ta có: chu vi tứ giác OMBN bằng: COMBN OM ON BM BN mà ON OM ; BN MA COMBN 2OM AB 2OH AB AB AB 2 AB (không đổi) Dấu “=” xảy M trung điểm AB Vậy chu vi tứ giác OMBN nhỏ 2AB M trung điểm AB Câu Ta có A a b3 3ab a b2 A a b 3ab(a b) Thay a b 2 a b A 8 2ab 3ab 3ab 2ab 3ab ab 3( ab 1) A 8 (*) ab A 8 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Do a, b dương áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: Ta có a b 2 ab ab 1 ab 1 a b 1 a b A Nên Vậy GTNN A a b 1 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC