6 hsg toan 9 2020 2021 pgd quan ba dinh hn toan thcs vn

Website:tailieumontoan.com PHỊNG GD VÀ ĐT QUẬN BA ĐÌNH ĐỀ HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2019-2020 MƠN: TỐN Đề số Câu a a) Cho 2 1 Tìm giá trị a  6a  A 99 99.99 99       b) Cho 2020 cs 2020 cs Hỏi A có chữ số ? Câu 2 a) Giải phương trình x  x   x   x x  x x  x  12   y  27 b) Tìm cặp số nguyên  x, y  thỏa mãn  Câu 3 3 a) Cho a; b; c ba số tự nhiên liên tiếp CMR: a  b  c chia hết cho 3 3 3 b) Cho biểu thức A 1     2019  2020 Tìm số dư chia A cho Câu Cho hình vng ABCD tâm O , cạnh AB, BC lấy M , N tương ứng cho BM CN a) Chứng minh MON vuông cân b) AN cắt DC E , ON bắt BE F Tìm vị trí M , N để tứ giác ABEC , MBFN hình bình hành c) Chứng minh CF  BE d) Tìm giá trị nhỏ chu vi tứ giác OMBN Câu Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Cho a; b số thực dương thỏa mãn a  b 2 Tìm giá trị nhỏ A a3  b3  biểu thức  3ab a  b2 PHÒNG GD VÀ ĐT QUẬN BA ĐÌNH ĐỀ HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2019-2020 MƠN: TỐN Câu a a) Cho 2 1 Tìm giá trị a  6a  A 99 99.99 99       b) Cho 2020 cs 2020 cs Hỏi A có chữ số ? Lời giải a a) 2  1 2   3   3  1  a  6a       1  1  6  10    10 b) Cho A 99 99.99 99       2020 cs 2020 cs Hỏi A có chữ số ?   A 99 99.99 99  10 00    99 99         10 00.99 99        99 99      2020  2020 2020 cs 2020 cs cs 2020 cs 2020 cs 102020  10  99 99    00 00     99 99    99 99800 001     2020 cs 2020 cs 2020 cs 2019 cs 2019 cs Vậy A có 2019  2019  1 4020 chữ số Câu Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Giải phương trình x  x   x   x x  x x  x  12   y  27 b) Tìm cặp số nguyên  x, y  thỏa mãn  Lời giải a) Giải phương trình x  x   x   x x  2 x  x   x   x x  (đk: x 2)  x  x  1   x   x x   x  x  1   x   x x   x x   x   1       x   1 0    x x    x   1 0 Th1: x x   0 Đặt t  2x   x  t 1  t 0  Phương trình cho có dạng t  t  1 1  t  t  1 2  t  t  0   t  1   t  1 0   t  1  t  t  1   t  1 0   t  1  t  t   0  t 1   t  t  0(vn) Vậy t 1  x  1  x 2  x 1 TH2: x  1  x 1 ( Thỏa mãn điều kiện) Vậy x 1 nghiệm phương trình x x  x  12   y  27 b) Tìm cặp số nguyên  x, y  thỏa mãn  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com x  x  x  12   y  27  x  x  12 x  y  27  x  x  12 x   y  19   x    y 19   x   y    x     x   y  y  19 Ta có  x  2 2 y2 3y2  y  3y2   x   y  y  x     x     x     0 4 2  2 2 Do x, y số nguyên nên x   y  x     x   y  y ước 19 TH1: x   y 1 x y        2 2  x     x   y  y 19  y      y    y  y 19 x y      y    x; y     5;  ;  0;      y 2   x y    y  y  0 TH2: x   y 19 x   y  19     2 2  x     x   y  y 11  y  19    y  19  y  y 1 (khơng có giá trị y ngun ) Câu 3 a) Cho a; b; c ba số tự nhiên liên tiếp CMR: a  b  c chia hết cho 3 3 3 b) Cho biểu thức A 1     2019  2020 Tìm số dư chia A cho Lời giải 3 a) Cho a; b; c ba số tự nhiên liên tiếp CMR: a  b  c chia hết cho Vì a; b; c ba số tự nhiên liên tiếp nên ta có: b a  c a   a  b3  c a  (a  1)3  (a  2)3 a  a  3a  3a   a  6a  12a  3a  9a  15a  3.(a  3a  5a  1) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 3 Vậy a  b  c chia hết cho 3 3 3 b) Cho biểu thức A 1     2019  2020 Tìm số dư chia A cho A 13   23  33  43    53  63  73    20183  20193  20203  Theo phần a: 2  33  43  3 ; 5  63  73  3 ;……;  20183  20193  20203  3 Nên A chia cho dư Ta có A 13  23  33   20193  20203 13  (23  20203 )  (33  20193 )   (10103  10123 ) 1  2022(22  2.2020  2020 )  2022(2  3.2019  20192 )   2022(10102  1010.1012  10122 ) 1  2022(22  2.2020  2020  2  3.2019  20192   10102  1010.1012  10122 ) Do 2022 chia hết A chia cho dư Câu Cho hình vuông ABCD tâm O , cạnh AB, BC lấy M , N tương ứng cho BM CN a) Chứng minh MON vuông cân b) AN cắt DC E , ON bắt BE F Tìm vị trí M , N để tứ giác ABEC , MBFN hình bình hành c) Chứng minh CF  BE d) Tìm giá trị nhỏ chu vi tứ giác OMBN Lời giải H M A B O N F D C E a) Chứng minh MON vuông cân Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com    Ta có: ABCD hình vng  OB OC; OBM OCN 45 ; BOC 90    OBM OCN  c  g  c   OM ON ; MOB NOC       Ta có: MON MOB  BON NOC  BON BOC 90 Suy MON vuông cân O b) AN cắt DC E , ON bắt BE F Tìm vị trí M , N để tứ giác ABEC , MBFN hình bình hành * Tứ giác ABEC hình bình hành  NB NC; NA NE +) Khi NB NC ABN CNE  g  c  g   NA NE +) Khi NB NC ON đường trung bình BCD  ON // CD // AB mà OM  ON ( MON vuông O )  OM  AB  M trung điểm AB Vậy M , N trung điểm AB, BC tứ giác ABEC hình bình hành * Tứ giác MBFN hình bình hành  NF // MB; NF MB +) Khi NF // MB // CD mà OB OD  N trung điểm BC  M trung điểm AB (chứng minh trên) +) Khi N trung điểm BC , mà ON // DE hay OF // DE    ON NF   CE     F trung điểm BE Mặt khác, M , N trung điểm AB, BC OMBN hình vng  NF MB  ON  Vậy M , N trung điểm AB, BC tứ giác MBFN hình bình hành c) Chứng minh CF  BE Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com +) Xét ANB có CE // AB mà NC BM ; NB  AM   NC NE  NB NA (định lí Ta – lét) MB NE  MA NA  MN // BF (định lí Ta – lét đảo)      BFN MNO (hai góc đồng vị)  BFN MNO 45 ( MON vuông cân O )     +) Xét NCO NFB có: NCO NFB  45  ; ONC BNF (đối đỉnh) NC NO    NFC # NBO  c  g  c   NCO # NFB  g  g  NF NB      NFC NBO , mà NBO 45  NFC 45    +) Ta có: BFC BFN  NFC 45  45 90  CF  BE d) Tìm giá trị nhỏ chu vi tứ giác OMBN Ta có: chu vi tứ giác OMBN bằng: COMBN OM  ON  BM  BN mà ON OM ; BN MA  COMBN 2OM  AB 2OH  AB  AB  AB 2 AB (không đổi) Dấu “=” xảy  M trung điểm AB Vậy chu vi tứ giác OMBN nhỏ 2AB M trung điểm AB Câu Ta có A a  b3   3ab a  b2 A  a  b   3ab(a  b)  Thay a  b 2  a  b  A 8   2ab  3ab  3ab  2ab  3ab  ab 3( ab  1)  A 8  (*)  ab  A 8  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Do a, b dương áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: Ta có a  b 2 ab  ab 1  ab 1  a b 1  a  b  A   Nên Vậy GTNN A a b 1 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC