7 HSG TOAN 9 2020 2021 PGD LONG BIEN VONG 2 HN TOAN THCS VN

Website:tailieumontoan.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN LONG BIÊN KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VỊNG Năm học: 2020-2021 Mơn: TỐN Câu (6,0 điểm) x  20 x  28  x  15 x  20 2) Cho ba số thực thỏa mãn điều kiện x  y  z  Chứng minh rằng: 1) Giải phương trình: x  y  z  xyz 3 3) Cho số nguyên a; b; c thoả mãn điều kiện: ( a  b)  (b  c)  (c  a)  378 Tính giá trị biểu thức A | a  b |  | b  c |  | c  a | Câu (3,0 điểm) 1) Cho a, b, c số nguyên thỏa mãn điều kiện: a  b  c chia hết cho 12 Chứng minh: P  (a  b)(b  c)(c  a) - 5abc chia hết cho 12 2) Có tồn hay khơng số ngun x, y, z thỏa mãn điều kiện: x  y  z  x  y  z  2020 Câu ( 3,0 điểm) x y 3x y    40 x y x 1) Cho x, y hai số thực dương Chứng minh rằng: y 2) Cho số thực x thỏa mãn  x  Tìm GTNN biểu thức: A Câu 4 100   2021 2 x x (7,0 điểm).Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ba đường cao AK , BD , CE cắt H 1) Chứng minh: BH BD = BC BK BH BD + CHCE= BC · 2) Chứng minh BH  AC cot ABC 3) Gọi M trung điểm BC Đường thẳng qua A vng góc với AM cắt đường thẳng BD , CE Q P Chứng minh rằng: MP  MQ Câu (1,0 điểm).Trên bảng, người ta viết số tự nhiên liên tiếp từ đến 100 sau thực trị chơi sau: Mỗi lần xóa hai số a, b bảng viết số a  b  lên bảng Việc làm thực liên tục, hỏi sau 99 bước số cuối lại bảng bao nhiêu? Tại sao? HẾT Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN GIẢI PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN LONG BIÊN KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VỊNG Năm học: 2020-2021 Mơn: TỐN Câu (6,0 điểm) 2 1) Giải phương trình: x  20 x  28  x  15 x  20 2) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x  y  z  Chứng minh rằng: x  y  z  xyz 3 3) Cho số nguyên a, b, c thoả mãn điều kiện: ( a  b)  (b  c)  (c  a)  378 Tính giá trị biểu thức A | a  b |  | b  c |  | c  a | Lời giải 1) Giải phương trình: x  20 x  28  3x  15 x  20 2 Đặt t  x  x  7, (t  0)  x  x   t ĐKXD: x  ¡ Phương trình trờ thành: 2t  3t  t   3t  2t    (t  1)(3t  1)    1 t   :t  1 0 (loại) t  (thỏa mãn)  Ta có  Với t  1, ta có : x  x    x  x    x  x  Vậy phương trình có tập nghiệm S  {2;3} 2) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x  y  z  Chứng minh rằng: x  y  z  xyz Ta có : x  y  z   z  ( x  y ) VT  x  y  z  x  y  ( x  y )3  x  y  x3  x y  xy  y VT  3 xy ( x  y )  3xyz  VP 3 3) Cho số nguyên abc thoả mãn điều kiện: ( a  b)  (b  c)  (c  a)  378 Tính giá trị biểu thức A | a  b |  | b  c |  | c  a | Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Đặt a  b  x; b  c  y; c  a  z  x  y  z  3 Ta có: x  y  z  378  xyz  378  xyz  126  ( 7).9  nên Do x, y, z số nguyên có tồng xyz  126  x y z ( 2)  x  2  x    x    x    x   x         y  7  y  ;  y  2;  y  ;  y  7  y  2  z   z  7  z   z  2  z  2  z  7       Suy ra: A | a  b |  | b  c |  | c  a | 18 Câu (3,0 điểm) 1) Cho a, b, c số nguyên thỏa mãn điều kiện: a  b  c chia hết cho 12 Chứng minh: P  (a  b)(b  c)(c  a) - 5abc chia hết cho 12 2) Có tồn hay khơng số ngun x, y, z thỏa mãn điều kiện: x  y  z  x  y  z  2020 Lời giải 1) Cho a, b, c số nguyên thỏa mãn điều kiện: a  b  c chia hết cho 12 Chứng minh: P  (a  b)(b  c)(c  a) - 5abc chia hết cho 12 Ta có: P  (a  b)(b  c)(c  a)  5abc  (a  b  c)(ab  bc  ca )  6abc (*) (a  b)(b  c)(c  a)  ( a  b  c)( ab  bc  ca)  abc Giả sử a, b, c chia dư  a  b  c chia dư (2) Mà a  b  c :12  a  b  c M2 (theo giả thiết) (2) Do (1) (2) mâu thuẫn  Điều già sử sai  Trong ba số a, b, c có số chia hết cho  6abc :12 (**) 12 Từ (*) (**) suy PM 2) Có tồn hay không số nguyên x, y, z thỏa mãn điều kiện: x  y  z  x  y  z  2020 Ta có: x  x  x  x  1  ( x  1) x( x  1) : 3 Tưng tự ta có: y  y : ; z  z M3   x3  x    y  y    z  z  : x Biến đổi phương trình thành:  x    y  y    z  z   2020 3 Mà 2020 M Vậy không tồn ba số nguyên x, y, z thỏa mãn điều kiện: x  y  z  x  y  z  2020 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu ( 3,0 điểm) x y 3x y    40 x y x 1) Cho x, y hai số thực dương Chứng minh rằng: y 100 A   2021 2 x x 2) Cho số thực x thỏa mãn  x  Tìm GTNN biểu thức: Lời giải x y 3x y  2  40 x , y y x y x 1) Cho hai số thực dương Chứng minh rằng: x y x  y  xy ( x  y)  2   0 xy xy Ta có: y x với x, y  x y  x y        0;     y x  y x  x y  x y          y x  y x   x y 3x y    40 y2 x2 y x 2) Cho số thực x thỏa mãn  x  Tìm GTNN biểu thức: :A A 100   2021 2 x x 100    100    2021    36(2  x)     36 x  1949 2 x x 2 x   x  Ta có Mà  x  suy :  x  Áp dụng BĐT : a  b  ab với a, b  0, dấu xảy a  b ta có:  100   36 x   120 x   x  dấu xảy   x   x  36(2  x)   24 dấu xày Suy A 100    100    2021    36(2  x)     36 x  1949  2093 2 x x 2 x   x  x Câu Vậy MinA =2093 chi (7,0 điểm).Cho tam giác ABC cóba góc nhọn, ba đường cao AK , BD , CE cắt H 1) Chứng minh: BH BD = BC BK BH BD + CH.CE= BC · 2) Chứng minh BH  AC cot ABC Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 3) Gọi M trung điểm BC Đường thẳng qua A vng góc với AM cắt đường thẳng BD , CE Q P Chứng minh rằng: MP  MQ Lời giải 1) Chứng minh: BH BD = BC BK BH BD + CH.CE= BC Xét tam giác: BHK đơng dạng BCD có: KBH chung · · BKH  BDC  90  BHK đồng dạng BCD(g.g) BH BK  nên BC BD  BH BD BCBK Tương tự: CHK đồng dạng CBE CH KC   CH CE BC KC nên BC CE Cộng vế với vế hai đằng thức ta được: BH BD CH CE BCBK BC KC hay BH BD CH CE BC ( BK KC ) BC · 2) Chứng minh BH  AC cot ABC BH BE CEA( g g )   CA CE Chứng minh : BEH đồng dạng Xét BEC vuông E  cot ABC   BE CE BH BE   cot ABC  BH  AC cot ABC CA CE 3) Gọi M trung điểm BC Đường thẳng qua A vuông góc với AM cắt đường thẳng BD , CE Q P Chứng minh rằng: MP  MQ Chứng minh PAH đồng dạng AMB ( g g )  PA AH  AM MB MAC ( g.g )  QA AH  AM MC Chứng minh: QAH đồng dạng QA PA MB  MC (gt)   AM AM Do  PA  QA  QMP cân M  MP  MQ Câu (1,0 điểm).Trên bảng, người ta viết số tự nhiên liên tiếp từ đến 100 sau thực trị chơi sau: Mỗi lần xóa hai số a, b bảng viết số Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a  b  lên bảng Việc làm thực liên tục, hỏi sau 99 bước số cuối lại bảng bao nhiêu? Tại sao? Lời giải Tồng tất số ban đầu bảng: S     99  100  5050 Qua bước ta thấy tồng giàm Lúc đầu tồng S  5050 sau 99 bước số lai 5050  2.99  4852  HẾT  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... 3x y    40 y2 x2 y x 2) Cho số thực x thỏa mãn  x  Tìm GTNN biểu thức: :A A 100   20 21 2? ?? x x 100    100    20 21    36 (2  x)     36 x  194 9 2? ?? x x ? ?2? ?? x   x  Ta...   120 x   x  dấu xảy   x   x  36 (2  x)   24 dấu xày Suy A 100    100    20 21    36 (2  x)     36 x  194 9  2 093 2? ?? x x ? ?2? ?? x   x  x Câu Vậy MinA =2 093 chi...   20 20 3 Mà 20 20 M Vậy không tồn ba số nguyên x, y, z thỏa mãn điều kiện: x  y  z  x  y  z  20 20 Liên hệ tài 0 39. 373 .20 38 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com