2 hsg toan 9 2020 2021 pgd dong da hn toan thcs vn

Website:tailieumontoan.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN ĐỐNG ĐA ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2020-2021 MƠN: TỐN Thời gian làm 150 phút Ngày thi: 14/11/2020 Đề số Câu (5 điểm) Tìm tất số tự nhiên n để Giải phương trình Câu p x 1 6 x  n( n  1)( n  2) 1 số nguyên tố ( x  1)(6  x) 1 (5 điểm) Cho ba số thực khác không a, b, c thỏa mãn điều kiện: 1 1    a  b  c 0 a b c a  b  c Tính giá trị biểu thức: A (a 2021  b 2021  c 2021 )( Câu a 2021  b Tìm tất số nguyên 2021  2021 c  x; y; z  ) thỏa mãn  x  y   x  y  8z 10 (2 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc 1 Tìm giá trị lớn biểu thức: a b c A 2  2  2a  b  2b  c  2c  a  Câu (7 điểm) Cho đoạn thẳng AB  8cm điểm M nằm đoạn thẳng AB , nửa mặt phẳng bờ AB , dựng hai hình vuông AMCD BMEF Gọi giao điểm đường thẳng AE BC điểm N , giao điểm đường thẳng AC BE P a) b) Chứng minh bốn điểm A, N , P, B thuộc đường tròn Chứng minh DN FN MN điểm N , P, F thẳng hàng c) Tìm vị trí điểm M đoạn thẳng AB để độ dài đoạn thẳng MN đạt giá trị lớn Câu (1 điểm) Một hình hộp chữ nhật có kích thước số ngun dương tính theo đơn vị cm, tích a (cm ) Biết đạt hình hộp chữ nhật đặt lên mặt bàn tổng diện tích mặt nhìn thấy a (cm ) (minh họa hình vẽ bên) Tìm giá trị nhỏ a Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com HẾT Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ HSG TOÁN QUẬN ĐỐNG ĐA Năm học: 2020-2021 Câu (5 điểm) Tìm tất số tự nhiên n để Giải phương trình p x 1 6 x  n( n  1)( n  2) 1 số nguyên tố ( x  1)(6  x) 1 Lời giải n( n  1)( n  2) p 1 Tìm tất số tự nhiên n để số nguyên tố Ta có n( n  1)( n  2) 1 (n  3)( n  2)  P p Với n   P 1 số nguyên tố Với n   P 2 số nguyên tố Với n 2  P 5 số nguyên tố Với n 3  P 11 số nguyên tố Với n 4 (n  3)  (n  2)  17 ( n  3) (n  2) ln tồn số số chẵn nên P hợp số Vậy P số nguyên tố n   1; 2;3 x 1 6 x  Giải phương trình ( x  1)(6  x) 1 (*) Điều kiện xác định:  x 6 Đặt t  x 1 6 x  t  x   ( x  1)(6  x)   x  t 5  ( x  1)(6  x)  ( x  1)(6  x)  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu t2  word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Thay vào (*) ta t2  1  2t  t  2 t   t  2t  0   t 3 t Với t=3   32  ( x  1)(6  x)  ( x  1)(6  x) 2  ( x  1)(6  x) 4  x 2 x 5 Câu (5 điểm) Cho ba số thực khác không a, b, c thỏa mãn điều kiện: 1 1    a  b  c 0 a b c a  b  c Tính giá trị biểu thức: A (a 2021  b 2021  c 2021 )( a 2021  b Tìm tất số nguyên 2021  2021 c  x; y; z  ) thỏa mãn Lời giải  x  y   x  y  8z 10 Ta có 1 1 1 1        0 a b c a b c a b c a b c a b a b   0 ab c(a  b  c) c( a  b  c)  ab   a  b 0 abc (a  b  c)  (a  b)(b  c)(c a) 0  a  b 0    b c 0  c a 0  a  b  b  c c  a  1   A (a 2021  b 2021  c 2021 )  2021  2021  2021  b c  a Khi ta có Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com A ( a 2021  ( a) 2021  ( a) 2021 )( ( a ) 2021 a 2021  1  ) 2021 ( a) ( a) 2021 ( a )2021 1 - z x  y   x  y   z  (*) Nếu z    10 không số nguyên,  xảy x  y   x  y  11 Nếu z 0   -  x  y 11  x 6     y 5 Trường hợp  x  y 1  x  y 1  x 6     y  Trường hợp  x  y 11  x  y  11  x  12     y  Trường hợp  x  y   x  y   x  12     y 11 Trường hợp  x  y  11 - z x  y  x  y Nếu z 1   10 số chẵn chia dư   số chẵn Mà  x  y   x  y  2 x số chẵn   x  y    x  y  x  y  x  y  số chẵn z chia hết cho 4, mà  10 không chia hết cho Nên z 1 xảy Vậy số nguyên Câu  x, y, z   6,5,  ;  6,  5,  ;   12,  1,  ;   12,11,  (2 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc 1 Tìm giá trị lớn biểu thức: a b c A 2  2  2a  b  2b  c  2c  a  Lời giải a b c A 2  2  2a  b  2b  c  2c  a  2 2 Ta có: 2a  b  a  b  a   2ab  2a  2abc  a a   2a  b  2ab  2a  2abc 2(b  bc) Tương tự Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com b  2b  c  2(c  ac) c  2 2c  a  2(a   ab) 1 1 1 b bc  1  A           b  bc  c  ac  a  ab    b  bc b  bc  abc bc  abc  ab.bc  1 b bc   A       b  bc b  bc  bc   b  Dấu “ =” xảy a b c 1 Vậy giá trị lớn biểu thức A a b c 1 Câu (7 điểm) Cho đoạn thẳng AB  8cm điểm M nằm đoạn thẳng AB , nửa mặt phẳng bờ AB , dựng hai hình vng AMCD BMEF Gọi giao điểm đường thẳng AE BC điểm N , giao điểm đường thẳng AC BE P a) b) Chứng minh bốn điểm A, N , P, B thuộc đường tròn Chứng minh DN FN MN điểm N , P, F thẳng hàng c) Tìm vị trí điểm M đoạn thẳng AB để độ dài đoạn thẳng MN đạt giá trị lớn Lời giải a) Chứng minh bốn điểm A, N , P, B thuộc đường tròn o o   Hình vng AMCD có đường chéo AC , suy CAM 45 hay PAB 45 o o   Hình vng BMEF có đường chéo BE , suy EBM 45 hay PBA 45 Suy tam giác PAB vuông cân P , suy AP  BE Xét tam giác EAB có AP, EM đường cao cắt C , suy C trực tâm tam giác EAB , suy BC  AE hay BN  AE Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com o   Tứ giác ANPB có ANB  APB 90 nên tứ giác nội tiếp Suy minh bốn điểm A, N , P, B thuộc đường tròn b) Chứng minh DN FN MN điểm N , P, F thẳng hàng o o     Xét tứ giác ADNC , có ADC  ANC 90 nên nội tiếp, suy DNA DCA 45 (1) o   Tương tự ENF EBF 45 (2) o   Từ (1) (2), suy DNA ENF 45 Vì E , N , A thẳng hàng nên D, N , F o   Suy MNF MEF 90 hay MN  DF o    Xét tam giác DMF có DMF DMC  EMF 90 , từ theo hệ thức lượng tam giác vng ta có DN FN MN o     Ta có tứ giác ENCP nội tiếp ENC  EPC 180 , suy CEN  NPC hay APD  NEM      Mặt khác tứ giác MNEF nội tiếp, suy MFN  NEM , suy APD MFN hay APD DFM  mà AP //MF , suy D, P, F thẳng hàng, lại có D, P, N Do bốn điểm D, N , P, F thẳng hàng (đpcm) Cách o o     Xét tứ giác ADNC , có ADC  ANC 90 nên nội tiếp, suy DNA DCA 45 (1) o   Tương tự ENF EBF 45 (2) o   Từ (1) (2), suy DNA ENF 45 Vì E , N , A thẳng hàng nên D, N , F o   Suy MNF MEF 90 hay MN  DF o    Xét tam giác DMF có DMF DMC  EMF 90 , từ theo hệ thức lượng tam giác vng ta có DN FN MN o       Ta có tứ giác ENCP nội tiếp ENC  EPC 180 , suy CEN  NPC hay APD NEM     Mặt khác tứ giác MNEF nội tiếp, suy MFN  NEM , suy APD MFN hay APD DFM  mà AP //MF , suy D, P, F thẳng hàng, lại có D, P, N Do bốn điểm D, N , P, F thẳng hàng (đpcm) c) Tìm vị trí điểm M đoạn thẳng AB để độ dài đoạn thẳng MN đạt giá trị lớn 1  4 1 1 1     2        MA MB   MA  MB  AB 16 MD MF 2 MA2 2MB Ta có MN Suy MN 16  MN 4 Đẳng thức xảy M trung điểm AB Câu (1 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Một hình hộp chữ nhật có kích thước số nguyên dương tính theo đơn vị cm, tích a (cm ) Biết đặt hình hộp chữ nhật lên mặt bàn tổng diện tích mặt nhìn thấy a (cm ) (minh họa hình vẽ bên) Tìm giá trị nhỏ a Lời giải Gọi kích thước hình hộp chữ nhật x, y , z Từ giả thiết, ta có Ta có a  xyz 2 z  x  y   xy  xy  z  1 2 z  x  y   z 2 xy  z  1 2 z  x  y  4 z xy xyz  Xét hiệu xyz  Suy 16 z  z  1 16 z  z  1 2  108    z  3 4z 16 z xy   xyz  z  z  1  z  3 0, z 2  z  1 108 Dấu “=” xảy x 3; y  z 6 Vậy a 108 HẾT Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC