5 hsg toan 9 2020 2021 pgd nam tu liem hn toan thcs vn

Website:tailieumontoan.com KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP QUẬN QUẬN NAM TỪ LIÊM MƠN TỐN - NĂM HỌC: 2020 - 2021 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Đề số Bài (4,0 điểm)  x3  y x  x y  y  1 A       :  y  x  y x y  xy  x y   x Cho biểu thức với x  0, y  a) Rút gọn biểu thức A b) Cho x  y 4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A Cho biểu thức Bài B 3 1 84  1 84 Chứng minh B số nguyên (4,0 điểm) Cho m  5; n  2; p  2020 số nguyên chia hết cho Chứng minh rằng: m  n  p  4q  chia hết cho (q số tự nhiên) 2 2 Cho a, b, c, d số nguyên thỏa mãn a b  c  d Chứng minh rằng: abcd  2021 viết dạng hiệu hai số phương Bài (4,0 điểm) 2 2 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x  y  x y  60 37 xy 4x  5x   x   Giải phương trình : Bài (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD độ dài cạnh a có tâm O Điểm M điểm di chuyển BC ( M khác B C ) Gọi N giao điểm tia AM đường thẳng CD G giao điểm DM BN 1  AN không đổi 1) Chứng minh rằng: AM 2) Chứng minh: CG  AN 3) Gọi H giao điểm OM BN Tìm vị trí điểm M để diện tích tam giác HAD đạt giá trị lớn Bài (1,0 điểm) Tất điểm mặt phẳng tô màu, điểm tô màu xanh, đỏ, tím Chứng minh ln tồn tam giác cân có Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com đỉnh thuộc điểm mặt phẳng mà đỉnh tam giác có màu đôi khác màu HẾT ĐÁP ÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP QUẬN QUẬN NAM TỪ LIÊM MƠN TỐN - NĂM HỌC: 2020 - 2021 Bài (5,0 điểm)  x3  y x  x y  y  1 A       :  y  x  y x y  xy  x y   x Cho biểu thức với x  0, y  a) Rút gọn biểu thức A b) Cho x  y 4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A B 3 1 Cho biểu thức 84  1 84 Chứng minh B số nguyên Lời giải a) Rút gọn biểu thức A  x3  y x  x y  y  1 A      :   y  x  y x y  xy  x y   x với x  0, y      x y x y  : xy  x y xy  x y x   :  xy xy    xy  x  y : xy   x y Liên hệ tài 039.373.2038  xy liệu      x3  x y  y x  y   x y y  xy  y  x  x y  xy  x  y  x y   x  y xy  x  y  xy  x  y   x y word   x  y mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  x y xy A x y xy Vậy với x  0, y  b) Cho x  y 4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A Với x  0, y  ta có: 1  2 x y  1  x y Áp dụng bất đẳng thức Cô- Si ta có: xy xy  2  2 1  2 x y Hay xy 1 2 x y xy  Mặt khác: x y A 1 2 x y 1   xy 1 2  2 xy  xy x y   x  y 2 x  y  A   Do đó: Dấu “=” xảy Vậy MinA  x  y 2 Ta có: B 3 1 84  1  B 1  84 1  84  84 84    3    1  9    84   84  1       84     1 B 27 B 2  B  B  B  0  B  B  B  B  B  0 B 2  3   B  1  B  B   0 ) B  0  B 1 1  ) B  B  0   B    0 2  ( Vơ lí) Vậy B 1 số nguyên Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Bài (4,0 điểm) Cho m  5; n  2; p  2020 số nguyên chia hết cho Chứng minh rằng: m  n  p  4q  chia hết cho (q số tự nhiên) 2 2 Cho a, b, c, d số nguyên thỏa mãn a b  c  d Chứng minh rằng: abcd  2021 viết dạng hiệu hai số phương Lời giải Ta có:  m  5 6   n   6  n:6  p  2020  6  m:6 dư dư p:6 dư Do đó:  m  n  p  : dư Ta có: 4q   2q   2  22 q  1 hay  m  n  p  1 6       q 22 q   3  22 q   6  4q  6 : Mà dư nên m  n  p  4q    m  n  p  1  4q   6 Do đó:   q Vậy m  n  p   chia hết cho (q số tự nhiên) 2 Ta có: (2m  1) 4m(m  1)   2m  1 chia dư Nên với a, b, c, d lẻ a , b , c , d chia Do đó: với m  Z dư 2 2 Suy ra: không xảy a b  c  d (vì vế trái chia dư 1, vế phải chia dư ) Vậy số a, b, c, d có số chẵn Ta có: abcd  2021 số lẻ 2 Đặt a.b.c.d  2021 2n  1(n  Z )  2n  (n   n)(n   n) (n  1)  n Vậy ta có điều phải chứng minh Bài (4,0 điểm) 2 2 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x  y  x y  60 37 xy 4x  5x   x   Giải phương trình : Lời giải Tìm số nguyên x,y thỏa mãn: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com x  y  x y  60 37 xy  x  y  x y  60  37 xy 0  20 x  20 y  100 x y  740 xy  1200 0  20 x  20 y  (10 xy  37) 169 2 Vì 20 x 02 x; 20 y 0y;(10 xy  37) 0x, y vai trò x,y nhau; ta giả sử x  y; 20 x 169  x 8  x   0;1; 4 ; suy ra:  20 x ; 20 y ;(10 xy 37)    (0;0;169);(0; 20;149);(0;80;89);(20; 20;129);(20;80; 69);(80;80;9) 2 2 Mà (10 xy  37) số phương   20 x ; 20 y ;(10 xy  37)    (0;0;169);(80;80;9) 20 x 0   20 y 0 (10 xy  37) 169 + TH1:   x 0    y 0 37 169  khơng có giá trị     20 x 80  x 2     y 2   20 y 80 (10 xy  37) 9  xy 4    17   xy  (l )  + TH2: ( x; y )   (2; 2); (  2;  2)   x 2    y 2   x     y  Vậy Giải phương trình : 5x   x2  4x  x 5) (ĐK: Vì x   x   0x; y 4x  4x  4x   0 5x   x  5x    x2  1   (4 x  3)    0  5x   x     x  0 x     1    0  x   x   x   x  5 Giải phương trình x   x  5 bình phương vế ta có : Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com  x   (5 x  1)( x  2)  x  25  (5 x  1)( x  2) 24  x  x 9 x  24  x( DK : x 4)  x  x  9 x  72 x  144  x  81x  146 0 81 2783  (2 x  )  64  x 2(c )   x  73 (l )  3  S  ;2  4  Vậy tập nghiệm phương trình Bài (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD độ dài cạnh a có tâm O Điểm M điểm di chuyển BC ( M khác B C ) Gọi N giao điểm tia AM đường thẳng CD G giao điểm DM BN 1  AN không đổi 1) Chứng minh rằng: AM 2) Chứng minh: CG  AN 3) Gọi H giao điểm OM BN Tìm vị trí điểm M để diện tích tam giác HAD đạt giá trị lớn Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com F N E H G B M M' C O A Q D K 1) Kẻ AK  AN Ta có:  K  CD   A1  A2 90  MAD    ABM ADK  AM  AK 1   2 AN AD Trong KAN vng A có: AK  1   2 AM AN a không đổi 1  AN không đổi Vậy AM 2) CG cắt AB E ; DM cắt AB F Ta có: Do AD DK DN  DK DN a  1 DC // AB  BE BG BF   CN GN DN  BE.DN CN BF   Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com BF BM AB   Mặt khác CD MC CN (do AB // CD )  BF CN CD AB a  3 Từ  1 ,   ,  3  DK DN BE.DN  DK BE  AE CK  EAKC hình bình hành  AK // CE Mà AK  AN  CE  AN 3) CF cắt BN H  Áp dụng định lí Papuyt  O, M , H  thẳng hàng  H  H Lấy I  AB cho BI CN  IBNC hình bình hành  IC // BN Mà BF CN a  BI BF CB  ICF vuông C  IC  CF  CF  BN  BHC 90 Kẻ HQ  AD  Q  AD  Gọi M  giao điểm HQ BC Ta có: HQ M Q  HM  a  HM  Mà HM   BC a  2  HQ  a 1 3 S AHD  AD.HQ  a a  a 2 2 Do đó: Dấu "=" xảy  M M  trung điểm AB Bài (1,0 điểm) Tất điểm mặt phẳng tô màu, điểm tô màu xanh, đỏ, tím Chứng minh ln tồn tam giác cân có đỉnh thuộc Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com điểm mặt phẳng mà đỉnh tam giác có màu đôi khác màu Lời giải Xét ngũ giác ABCDE, ta nhận thấy ba đỉnh ngũ giác tạo thành tam giác cân Do tơ đỉnh đủ loại màu cho tồn khả năng: - Nếu tô đỉnh đủ ba loại màu cho tồn đỉnh có màu khác tạo thành tam giác cân - Nếu tô đỉnh nhiều màu có đỉnh màu tạo thành tam giác cân Vậy, ln tồn tam giác cân có đỉnh thuộc điểm mặt phẳng mà đỉnh tam giác có màu đôi khác Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC