Website:tailieumontoan.com UBND HUYỆN GIA LÂM ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2020-2021 MƠN: TỐN Đề số f x x ax bx c Câu (2.0 điểm) Cho đa thức đa thức f x a, b, c Biết chia f x cho đa thức x dư 5, chia đa thức cho đa thức 2019 2019 2020 2020 2021 2021 x dư – Tính giá trị biểu thức a b b c c a Câu (2.0 điểm) Giải phương trình sau: a) x3 x x x b) n Câu Câu x3 x 1 3x3 2 x n 1 1 f n * 10 10 (2.0 điểm) Cho với n f n 1 f n 1 Tính (2.0 điểm) Tìm số tự nhiên x , biết 1 1 1 x 1612 3 14 15 Câu Câu Câu Câu (2.0 điểm) Cho số p p số nguyên tố Chứng minh p số nguyên tố (2.0 điểm) Cho P điểm nằm hình chữ nhật ABCD cho PA 3cm, PD 4cm, PC 5cm Tính độ dài đoạn thẳng PB (2.0 điểm) Tại khu điều trị bệnh nhân mắc COVID – 19 bệnh viện có bác sĩ bệnh nhân Biết nhiệt độ trung bình bác sĩ khác với nhiệt độ trung bình bệnh nhân, trung bình hai số nhiệt độ trung bình tất bệnh nhân bác sĩ khu điều trị Hỏi bác sĩ nhiều hay số bệnh nhân nhiều 2ab tan x 2 a b , a b x 90 ((2.0 điểm) Cho Hãy biểu diễn sin x theo a;b Câu (2.0 điểm) Cho số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a b c 2020 Tìm giá trị nhỏ 2 2 2 biểu thức P 2a ab 2b 2b bc 2c 2c ca 2a Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu 10 (2.0 điểm) Cho S tập hợp gồm số tự nhiên có tính chất: Tổng hai phần tử tùy ý S 5; 20; 44 S 10;5;90 S số phương (Ví dụ tập hợp thỏa mãn điều kiện trên) Chứng minh tập hợp S có khơng phần tử số lẻ HẾT ĐÁP ÁN ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP UBND HUYỆN GIA LÂM NĂM HỌC 2020-2021 MƠN: TỐN Câu HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT f x x3 ax bx c (2.0 điểm) Cho đa thức a, b, c Biết chia đa thức f x f x cho đa thức x dư 5, chia đa thức cho đa thức 2019 2019 2020 2020 2021 2021 x dư – Tính giá trị biểu thức a b b c c a Lời giải Gọi thương phép chia đa thức Q x Theo đề ta có f x P x cho đa thức x x f x x P x 1 f x x 1 Q x 2 với x nên: 4a 2b c 5 - Thay x 2 vào ta có: 3 a b c - Thay x vào ta có: Từ 3 suy 4 4a 2b c a b c 3 3a 3b a b a 2019 b 2019 a 2019 b 2019 0 a 2019 b 2019 b 2020 c 2020 c 2021 a 2021 0 Câu (2.0 điểm) Giải phương trình sau: 3x3 x 2 x 1 x a) x x x b) x3 Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Điều kiện: x 1 Ta có: x x x 1 x x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 0 x 1 x 2 (TMĐK) Vậy tập nghiệm phương trình S x / x 2 b) ĐK: x 1 x3 Ta có: x3 x 1 3x 2 x x x x 3x x x x 2 x 1 x x 1 x x2 x2 x2 3x 2 x x x x 1 x2 x2 3x 1 x 1 x 1 x x2 x2 x2 1 1 1 2 x 2 x x x x x 1 0 (phương trình vơ nghiệm) Vậy tập nghiệm phương trình cho S n Câu n 1 1 f n * 10 10 (2.0 điểm) Cho với n f n 1 f n 1 Tính Lời giải f n 1 f n 1 1 10 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu n 1 word 1 10 mơn tốn: n 1 1 10 n 3 1 10 n TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 1 10 1 10 n n n 1 1 10 1 5 1 10 n n 1 n 1 1 f n 10 10 f n 1 f n 1 f n Vậy Câu (2.0 điểm) Tìm số tự nhiên x , biết 1 1 1 x 1612 3 14 15 Lời giải Ta thấy n 2 n n 1 n 1 n n n 1 2n3 2n 2n 1 1 2 n n 1 n n 1 n n 1 n 1 n n 1 2 1 1 n2 n 1 1 1 2 n n 1 n n 1 n n 1 Áp dụng với n 2,3, ,14 ta có: 1 1 1 1 2 3 4 14 15 1 1 1 1 1 13 1 13 13 3 4 14 15 15 30 1 Khi phương trình cho 13 403x x 1 13 x x 1 1612 1612 30 60 x x 1 240 x 240 0 x 15 x 16 0 x 15 0 x 16 16 x 15 Vậy x 15 Câu (2.0 điểm) Cho số p p số nguyên tố Chứng minh p số nguyên tố Lời giải - Xét p 2 p 4 6 (loại) Vì khơng số ngun tố Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com - Xét p 3 p 9 11 (nhận) Vì 11 số nguyên tố 3 Suy ra, p 3 29 (nhận) Vì 29 số nguyên tố - Xét p Vì p số nguyên tố nên p không chia hết cho (1) Mà p suy p số phương (2) Từ (1), (2) suy p chia cho dư p chia hết cho (3) 2 Mặt khác, p p p 11 (4) Từ (3), (4) suy p hợp số (trái với đề bài) Vậy p 3 thỏa mãn toán Câu (2.0 điểm) Cho P điểm nằm hình chữ nhật ABCD cho PA 3cm, PD 4 cm, PC 5 cm Tính độ dài đoạn thẳng PB Lời giải Qua P kẻ đường thẳng HK / / CD, H AD, K BC HK AD, HK BC Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vng ta có: PA2 PD PH HA2 PH HD HA2 HD PB PC PK KB PK KC KB KC Ta chứng minh HA KB, HD KC PA2 PD PB PC PB PA2 PD PC PB 32 42 52 18 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com PB 18 3 cm Câu (2.0 điểm) Tại khu điều trị bệnh nhân mắc COVID – 19 bệnh viện có bác sĩ bệnh nhân Biết nhiệt độ trung bình bác sĩ khác với nhiệt độ trung bình bệnh nhân, trung bình hai số nhiệt độ trung bình tất bệnh nhân bác sĩ khu điều trị Hỏi bác sĩ nhiều hay số bệnh nhân nhiều Lời giải a N * Gọi số bác sỹ a (người) Nhiệt độ trung bình bác sỹ x (độ) y N * Số bệnh nhân y (người) y x Nhiệt độ trung bình bệnh nhân y (độ) Theo đề ta có: x y ax by x y a b 2 ax by ax ay bx by 2ax 2by a b ax by bx ay 0 a b x y 0 Mà x khác y nên a b 0 a b Vậy số bác sỹ số bệnh nhân Câu 2ab a b , a b 00 x 900 (2.0 điểm) Cho Hãy biểu diễn sin x theo a; b tan x Lời giải Vẽ tam giác ABC vng A có AC 2ab, AB a b Khi số đo góc B số đo x Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABC ta có: BC AB AC BC AB AC (a b )2 4a 2b Khi ta có Liên hệ tài 039.373.2038 liệu sin x a 2 b BC a b 2ab a b2 word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu (2.0 điểm) Cho số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a b c 2020 Tìm giá trị nhỏ 2 2 2 biểu thức P 2a ab 2b 2b bc 2c 2c ca 2a Lời giải Ta có 2a ab 2b 5 a 2ab b a 2ab b 2 5 a b a b 5 a b 2a ab b a b 2a ab b a b 1 Dấu xảy a b Tương tự ta có: 2b bc c b c 2c ac a c a 2b bc c b c 2 2c ac a c a 3 Cộng vế với vế (1); (2) (3) ta có: P 2a ab b 2b bc c 2c ca a Dấu xảy Vậy a b c a b c 2020 2020 P 2020 a b c 2020 Câu 10 (2.0 điểm) Cho S tập hợp gồm số tự nhiên có tính chất: Tổng hai phần tử tùy ý S 5; 20; 44 S 10;5;90 S số phương (Ví dụ tập hợp thỏa mãn điều kiện trên) Chứng minh tập hợp S có khơng q phần tử số lẻ Lời giải Ta biết số phương chia hết cho chia cho dư Xét tập S {a, b, c} thỏa yêu cầu Nếu a, b, c số lẻ (a b)4 , (b c) 4 (a c) 4 Khi a b b c (a c ) 2b 4 Suy b số chẵn (mâu thuẫn với b lẻ) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Nếu a, b số lẻ c chẵn (a b)4 , (b c) ( a c)4 Khi a b (b c ) (a c) 2b 4 Suy b số chẵn (mâu thuẫn với b lẻ) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC