20 hsg toan 9 2020 2021 v2 quan ba dinh hn toan thcs vn

Website:tailieumontoan.com PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN BA ĐÌNH ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9- VÒNG NĂM HỌC 2020-2021 MƠN: TỐN Thời gian làm 150 phút Đề số 20 Câu (3 điểm) a) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  a  b  c 2 a b c    1 a  b 1 c (1  a)(1  b)(1  c) Chứng minh rằng: b) Cho số tự nhiên n thỏa mãn: n  3n  số phương Chứng minh rằng: n chia hết cho 40 Câu (6 điểm) x   x  3x  2 x  5x   16 b) Tìm tất cặp số nguyên dương ( x; y ) thỏa mãn phương trình: a) Giải phương trình: x    y    x  y    xy  4   xy  c) Trên mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng  d1  : y  x  1; d2  : y x  Tìm giá trị a cho đường thẳng  d1  ,  d2   d3  cắt điểm Biết rằng:  d3  : y  ax  a3  a2  Câu (4 điểm) Cho a, b, c số thực dương a) Biết a 19; b 12; c 20 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a  b  c  1   a b c b) Biết abc 1 Chứng minh rằng: a  ab  a  1  b  bc  b 1  c  ca  c 1  abc Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài Gọi D điểm cạnh BC ( D không trùng với B C ) Gọi r1 ; r2 bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABD ACD a) Đặt BD  x (điều kiện  x  ) Tính r1 ; r2 theo x b) Xác định vị trí điểm D cạnh BC để tích r1.r2 lớn Tính giá trị lớn Câu (3 điểm) a) Không dùng bảng số máy tính, chứng minh rằng: sin 75  Liên hệ tài 039.373.2038 6 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com b) Cho hai điểm A; B khơng thuộc đường thẳng xy nằm phía với đường thẳng xy   Xác định điểm M thuộc đường thẳng xy cho AMx 2 BMy c) Cho n điểm phân biệt mặt phẳng, cho ba điểm điểm đỉnh tam giác vng Tìm giá trị lớn n HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ HSG TOÁN QUẬN BA ĐÌNH Năm học: 2020-2021 Câu (3 điểm) a) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  a  b  c 2 a b c    1 a  b  c (1  a)(1  b)(1  c) Chứng minh rằng: b) Cho số tự nhiên n thỏa mãn: n  3n  số phương Chứng minh rằng: n chia hết cho 40 Lời giải a) Từ giả thiết a  b  c  a  b  c 2 x  a ; y  b ; z  c  x a; y b; z c Đặt Thay vào giả thiết, ta có:   x  y  z  x  y  z 2  2( xy  yz  zx )  x  y  z   x  y  z 22  2  a  xy  yz  zx  x  x  y   x  z  Do xy  yz  zx 1 Nên Tương tự  b  x  y   y  z  ;1  c  z  y   z  x  a b c x y z      1 a  b  c  x  y  x  z  x  y  y  z  z  x   z  y   x  y  z  y z  x  z x  y  x  y  y  z  z  x    a  1  b  1  c   xy  yz  zx   2  x  y  y  x   z  x  Suy đpcm 2 b) Đặt n   x ;3n   y Thì x STN lẻ, nên có:  x  N; y  N  x 2k  1 k  N   2n   2k  1  n 2k  k  1  3n  6k  k  1   y 2 y 2t  1 t  N   3n   2t  1  3n 4t  t  1 8 Nên y STN lẻ, đặt Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  Mà  (1) Có số phương chia cho dư 0,1 3;8 1  n8 2 Mà x  y 5n  chia cho dư Từ n  chia cho dư nên 2n chia hết cho  n5 (2) Từ (1) (2) kết hợp với Câu (6 điểm)  5;8  1  n40 x   x  3x  2 x  5x   16 b) Tìm tất cặp số nguyên dương ( x; y ) thỏa mãn phương trình: a) Giải phương trình: x    y 1   x  y    xy  4   xy   d1  : y  x  1; d2  : y x  d d , d Tìm giá trị a cho đường thẳng       cắt c) Trên mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng điểm Biết rằng:  d3  : y  ax  a3  a2  Lời giải a) Điều kiện: x  Đặt x   x  u,  u 0  , ta có:   u 3 x   2 x  x   3x  2 x  5x   16  20 2 Suy ta có phương trình u u  20  u  u  20 0  u 5 (do u 0 ) x   x  5 Giải phương trình x 3 Với u 5 ta Vậy phương trình có nghiệm x 3   x  1  y  1  4 b) Viết lại phương trình cho dạng   x  1  y  1 2 1.2 2.1   1         1 Với  x; y   1;2  ,   2;  1 ,   3;0  ,  0;3 x  1  y  1   2.1  1.2 2   1 1    Với  x; y   1;0  ,  0;  1 ,   3;2  ,   2;3 Phân chia trường hợp, giải  Phân chia trường hợp, giải Kết luận nghiệm: PT có nghiệm nguyên c) Giao điểm  d1   d2  có tọa độ  x; y   1;0  d Từ thay x 1 y 0 vào PT   ta Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 1 a3  a2  a   a3 a  a   3a 3a  3a  3  a3  a  1  a a  a    1  a  41 Câu (4 điểm) Cho a, b, c số thực dương a) Biết a 19; b 12; c 20 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a  b  c  1   a b c b) Biết abc 1 Chứng minh rằng: a  ab  a  1  b  bc  b 1  c  ca  c 1  abc Lời giải   b   a  360 143 399  a P          a  b  c 361 a 144 b 400 c 361 144 400       a) Ta có: Theo BĐT Cô si cho số dương: a a  2  361 a 361 a 19 b b  2  144 b 144 b 12 c c  2  400 c 400 c 20 a 19; b 12; c 20 Mặt khác từ giả thiết Ta có: 360 143 399 360 143 399 360 143 399 a  b  c  19  12  20    361 144 400 361 144 400 19 12 20 Cộng ba BĐT chiều, ta được:   b   a  360 143 399  a P          a  b  c 144 400  361 a   144 b   400 c  361 2 360 143 399 362 145 401          19 12 20 19 12 20 19 12 20 Dấu “=” xảy a 19; b 12; c 20 Vậy MinP  362 145 401   19 12 20 a 19; b 12; c 20 b) Do abc 1 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a b c   1 ab  a  bc  b  ca  c  Nên Theo BĐT Bunhiacopxki, ta có:   a b c      a  b  c 2   ab  a  1  bc  b 1  ca  c 1  a b c       1  ab  a  bc  b  ca  c   a b c    2  ab  a  1  bc  b 1  ca  c 1 a  b  c Từ Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài Gọi D điểm cạnh BC ( D không trùng với B C ) Gọi r1 ; r2 bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABD ACD a) Đặt BD  x (điều kiện  x  ) Tính r1 ; r2 theo x b) Xác định vị trí điểm D cạnh BC để tích r1.r2 lớn Tính giá trị lớn Lời giải  HD   x a) Gọi H trung điểm BC ABC  AH  2 2 Ta có: AD  AH  HD  AD  x  x  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com x S ABD  AH BD  Xét ABD có: Lại có:  r1  S ABD  pABD r1  AB  AD  BD  x  x  x 1 r1  r1 2 x   x  x  x 1 Tương tự:  r2  S ACD 1 x   1 x 1  x  x  x 1  r2  2  x  x2  x 1  b) Xét ABD có: MD  AD  BD  AB  x  x  x   2 Tương tự: 2ND 1  x  x  x    x  x   x   MD.ND  x  x  x     x  x   x 1  x  x  x  x 1  MD.ND 1   MD.ND  Dễ thấy 2 x  x  1  1 3   x    1    OMD ∽ DNI  OM.IN  MD.ND  r1.r2 MD.ND  Dấu “=” xảy  x 2 Câu (3 điểm) sin 75  6 a) Không dùng bảng số máy tính, chứng minh rằng: b) Cho hai điểm A; B không thuộc đường thẳng xy nằm phía với đường thẳng xy   Xác định điểm M thuộc đường thẳng xy cho AMx 2 BMy c) Cho n điểm phân biệt mặt phẳng, cho ba điểm điểm đỉnh tam giác vng Tìm giá trị lớn n Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com   a) Xét ABC có A 90 ; B 75 ; BC 4  Vẽ trung tuyến AM đường cao AH , ta có AM BM 2 C 15  Suy AMB 30  Vì AHM vng H có AMH 30 , nên AH 1  HM   HC 2  2 Trong tam giác vng AHC có AC  HC  AH  AC    3   12     AC 2   sin B sin 75  AC 2  42   BC 2   mơn tốn: 1 1 6    4 2  đpcm b) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com - Dựng điểm C đối xứng với B qua xy - Dựng đường tròn tâm C tiếp xúc với xy D ; C; CD  - Dựng tiếp tuyến At với đường tròn  , cắt xy cho C nằm góc yMt     Khi AMx tMy 2CMy 2 BMy c) Xét đoạn thẳng nối điểm n điểm cho; chọn đoạn thẳng có độ dài lớn đoạn thẳng AB điểm cịn lại tạo với AB tam giác vng có cạnh huyền AB Suy điểm thuộc đường trịn tâm O đường kính AB Gọi C điểm thứ ba điểm Theo đề ta có tam giác ABC Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com vuông C , tức điểm C thuộc đường tròn   Gọi D điểm thứ tư điểm Tam giác ABD vng D , tức O O điểm D thuộc đường tròn   O Xét tam giác ACD tam giác vng nội tiếp đường trịn   đường kính AB Suy CD đường kính đường tròn   Giả sử tồn điểm thứ năm E điểm Tam giác ABE vuông O E , tức điểm E thuộc đường trịn  O  O Khi tam giác ACE nội tiếp đường trịn   khơng có góc góc vng (vì cạnh tam giác ACE khơng đường kính đường trịn  O  ): mâu thuẫn với điều giả sử Do điều giả sử sai Vậy giá trị lớn n HẾT Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC