8 hsg toan 9 2020 2021 pgd quan tay ho hn toan thcs vn

Website:tailieumontoan.com PHÒNG GD VÀ ĐT QUẬN TÂY HỒ ĐỀ THI CHỌN LỌC HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2020-2021 (Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao bài) Đề số Câu (4 điểm)  x x    x  1 P     :  11  x  x  x  x      Cho biểu thức Câu 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tìm số thực x để biểu thức P đạt giá trị nguyên (4 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức Câu   x   với x 2; x 11 2) Giải phương trình: (4 điểm) 1) A  x  12 x   2020 , biết x 3   5    1 x  24  x  3  x  x  48 a b c   2 Cho ba số thực a , b , c khác thoả mãn b  c c  a a  b a2 b2 c2   a  b  c Chứng minh b  c c  a a  b Câu 2) Tìm tất cặp số nguyên (6 điểm)  x, y  3 thỏa mãn x  y x  x   Cho điểm M trung điểm đoạn thẳng ( BC ) Điểm A thay đổi cho BAC 60 Đường phân giác góc A cắt BC D S ABC  AB AC.sin A S 1) Chứng minh , ABC diện tích tam giác ABC AB  AC BC  2) Chứng minh 1   2 AC AD 3) Chứng minh rằng: AB (2 điểm) AM  Câu 1) Cho só dương a , b , c thỏa mãn a b c  2 2 Chứng minh a  b  c  2abc 1 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 2) 2020 Trên bảng có ghi 2020 số: 2020 ; 2020 ; 2020 ; … ; 2020 Mỗi lần thực hiện, cho phép xóa hai số a , b bảng thay sô a  b  2ab Hỏi sau 2019 lần thực phép xóa, số cịn lại bảng số nào? HẾT PHÒNG GD VÀ ĐT QUẬN TÂY HỒ ĐỀ THI CHỌN LỌC HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2020-2021 🕮☞ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ☜🕮 Câu (4 điểm)  x x    x  1 P     :  x  11  x   x  x    Cho biểu thức 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tìm số thực x để biểu thức P đạt giá trị nguyên   x   với x 2; x 11 Lời giải a) Rút gọn biểu thức P Điều kiện xác định: x 2; x 11 x  a , a  0; a 3 Đặt  a a    3a  1  P   :       a  a   a  3a a   a   a  a  3  a    3a  P   :   2     a    a   a   a  a  3 a  a  3   a  3  a  2 P :   a    a  a  a  3 P  3a  a  2 P    x 2 x  a vào P ta được: Tìm số thực x để biểu thức P đạt giá trị nguyên Thay b) x Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com P 3 x 2  x 2  x   P  3  P  x  P nguyên nên P  0 Từ  4P 0 x   Do nên P  3  P 0 Từ  4P 2P  P    1;0 Do P nguyên nên x  4  x 18 Với P  Câu x  0  x 2 Với P 0 (4 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức 2) Giải phương trình: A  x  12 x   2020 , biết x 3   51    1 x  24  x  3  x  x  48 Lời giải 1) Ta có x 3 x3   Xét    5   51  3 4    1   4      51   1  3      1 x 3 Hay x   12 x  x 12 x  0  x 12 x  1 A 12020 1 Vậy 2) Giải phương trình: x  24  x  3  x  x  48 Điều kiện:  x  x  48 0 Với điều kiện trên, phương trình tương đương: x  48   x  3  x  x  48 0  x  x    x  3  x  x  48    x  x  48  9   x  3 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu  x  x  48 word  môn 9 tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  x  3   x   Giải   x  x  48  x   1   x  x  48 3   x  x  48  x  2  x  x  48 3  1  x  x  48  x  12 x  36      x    x  20 x  12 0   x    x  20 x  12 0   x 6   x 5  31     x 5  31  x 5  31   x 6 Giải  2   x  x  48  x  x  x  48 0   2    x 0  x 0   x 2      x 2   x 2    x 0 Vậy tập nghiệm phương trình là: Câu  S   31;   (4 điểm) a b c   2 1) Cho ba số thực a , b , c khác thoả mãn b  c c  a a  b 2 a b c   a  b  c Chứng minh b  c c  a a  b 2) Tìm tất cặp số nguyên  x, y  3 thỏa mãn x  y  x  x  Lời giải a b c   2  * 1) Ta có: b  c c  a a  b a2 ab ac   2a *  Nhân hai vế với số a khác ta được: b  c c  a a  b ab b2 bc   2b *  Nhân hai vế với số b khác ta được: b  c c  a a  b ac bc c2   2c * Nhân hai vế   với số c khác ta được: b  c c  a a  b Cộng vế ba đẳng thức ta được: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a2 ab ac ab b2 bc ac bc c2         2a  2b  2c b c c  a a b b c c a a b b c c a a b  a2 b2 c   ab bc   ac bc   ab ac               2  a  b  c   b  c c  a a b   c  a c  a   a b a b   b c b c   a2 b2 c2   a c   a b   b c      b  c   a  2  a  b  c   ca   a b   bc   b c c a a b   a2 b2 c2        a  b  c  2  a  b  c   b c c a a b   a2 b2 c2   a  b  c b c c a a b 3 x, y  2) Tìm tất cặp số nguyên  thỏa mãn x  y  x  x  x  y  x  x   y  x  x  x  Trong khoảng  0;1 khơng có số ngun nên x  x  x  x  1  0, x   \  0;1  x  x 0, x   Do đó, Và   x   x3  x  x   x3  x  x   x3  x  x    x  x    x  x  x    x  1   x Vậy   x3  x  x    x  1   x Từ Nếu Câu  x, y  3  y   x  1 3 nghiệm nguyên phương trình cho thì:  y   x  1   x; y     x 1; y 0  ,  x 0; y 1   x  0;1    x 1; y 0  ,  x 0; y 1 Vậy cặp số nguyên thỏa mãn đề là:  (6 điểm) Cho điểm M trung điểm đoạn thẳng BC Điểm A thay đổi cho  BAC 60 Đường phân giác góc A cắt BC D S ABC  AB AC.sin A S 1) Chứng minh , ABC diện tích tam giác ABC AB  AC BC AM   2) Chứng minh 1   2 AC AD 3) Chứng minh rằng: AB Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com S ABC  AB AC.sin A 1) Chứng minh , S ABC diện tích tam giác ABC Kẻ đường cao BK ABC S ABC  BK AC Trong tam giác vuông BKA , BK sin A   BK  AB.sin A AB S ABC  AB AC.sin A Suy AB  AC BC AM   2) Chứng minh Kẻ đường cao AH tam giác ABC AM  AH  HM  AB  BH  HM  AB   HM  HB   HM  HB   AB  MB  HM  HB  BC  HM  HB   1 AM  AH  HM  AC  CH  HM  AC   HM  CH   CH  HM   AB   AC  MC  CH  HM  BC  CH  HM    BC BC AM  AB   HM  HB   AC   CH  HM  1    2 Lấy + ta được: BC AM  AB  AC   HM  HB  CH  HM  BC 2 AM  AB  AC  2 2 AB  AC BC AM   Suy 1   2 AC AD 3) Chứng minh rằng: AB Sử dụng kết câu 1) ta có: 1 S ABD  AB AD.sin 30  AB AD 1 S ACD  AC AD.sin 30  AC AD  AC  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com S ABC  AB AC.sin 60  AB AD S  S  S ACD ABC Mà ABD 1 AB AD  AC AD  AB AC 4 Nên  AD  AB  AC   AB AC 1   AB AC AD Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:  1        AB AC AC   AB Câu       AC   AB Từ AD 1   2 AC AD Suy AB Dấu xảy AB  AC (2 điểm) a b c  1) Cho só dương a , b , c thỏa mãn 2) 2 Chứng minh a  b  c  2abc 1 2020 Trên bảng có ghi 2020 số: 2020 ; 2020 ; 2020 ; … ; 2020 Mỗi lần thực hiện, cho phép xóa hai số a , b bảng thay số a  b  2ab Hỏi sau 2019 lần thực phép xóa, số cịn lại bảng số nào? Lời giải 1) Cho só dương a , b , c thỏa mãn a b c  2 2 Chứng minh a  b  c  2abc 1 2 2 2 * Ta có: a  b  c  2abc 1  a  b  c  2abc  0   3 a b c   a b   c 2 Do đó: Nên a  b  c  2abc   a  b   2ab  c  2abc  3    c   2ab  c  2abc  2ab  c  1  2c  3c  2  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Do vai trị a , b , c nên khơng tính tổng qt ta giả sử c b a a b c   c  2 Mà Xét hàm số bậc biến t là:  a  b  t ab  f  t  2t  c  1  2c  3c  4 , với t ab 2 3    c   2 9 3   f   2c  3c  2  c  c    2  c     0, c 16  4   Ta có 2 3   3  1   c   c  1    c    c  2        f 2  c  1  2c  3c   0, c   4     2 3    c   t  f  t  0 * Từ ta có với , tức bất đẳng thức    a b  3     c  2   a b c  ab    1   c    c  1 2  0  Đẳng thức xảy  2020 2) Trên bảng có ghi 2020 số: 2020 ; 2020 ; 2020 ; … ; 2020 Mỗi lần thực hiện, cho phép xóa hai số a , b bảng thay số a  b  2ab Hỏi sau 2019 lần thực phép xóa, số cịn lại bảng số nào? Giả sử số bảng a1 , a2 , … , ak Ta cho tương ứng bảng với tích  2a1  1  2a2  1  2ak  1 Sau lần biến đổi, tích bị hai thừa số  2a  1  2b  1 lại thêm a  b  2ab     a  1  2b  1 vào thừa số  Do đó, tích có giá trị tuyệt đối không thay đổi, đổi dấu Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  1010   1  Vì tích ban đầu (do có chứa thừa số  2020  nên số cuối s phải có tích nghĩa tích cuối s  0  s   HẾT  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC