9 hsg toan 9 2020 2021 pgd quan thanh oai hn vong 2 toan thcs vn

Website:tailieumontoan.com Câu PHÒNG GD&ĐT THANH OAI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2020-2021 MƠN: TỐN Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 25/11/2020 Đề số (5 điểm) A   x x x x 3   x x  x 1 3 x 1) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nhỏ A 2) Chứng minh rằng: A        (2020 chữ số 2) Câu (5 điểm) x 2 1) Giải phương trình sau:  x 2 x  x  2) Tìm số nguyên x để biểu thức x  x  x  x  số phương Câu (4 điểm) 1) Cho P  x  x  ax  bx  cx  d , a, b, c, d số Biết P    6 , P    12 , P    18 Tính A P    P     437.P    2020 3 2) Với số dương a , b thỏa mãn a  b  6ab 8 Tìm giá trị nhỏ của: P Câu   ab a  b ab (5 điểm) 1) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm  O  có D , E , F theo thứ tự trung điểm BC , AC , AB Gọi H trực tâm tam giác ABC a) Chứng minh tam giác HAB tam giác ODE đồng dạng b) Kẻ đường thẳng DM // OA , EN // OB , FG // OC ( M  AH , N  BH , G CH ) Chứng minh đường thẳng DM , EN , FG đồng quy Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 2) Từ điểm M nằm tam giác ABC cho trước vẽ đường vng góc MA , MB MC  đến BC , CA , AB Tìm vị trí M để tích MA.MB.MC  đạt giá trị lớn Câu (1 điểm) Cho dãy gồm 1000 số: 7; 77; 777; 7777; ; 777 7 Chứng minh dãy tồn số chia hết cho 2013 HẾT ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN - LỚP PHỊNG GD & ĐT THANH OAI Năm học 2020 – 2021 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu (5 điểm) A   x x x x 3   x x  x 1 3 x 1) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nhỏ A 2) Chứng minh rằng: A        (2020 chữ số 2) Lời giải A   x x x x 3   x x  x 1 3 x 1) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A ĐKXĐ: x 0 ; x 9 A   x x   x 1 x    x x 1 x 3 x3   x  3    x 1  x  3  x 1  x  3  x x    x  x  1  x 3  x  3 x 1 x x   x  12 x  18  x  x  Liên hệ tài 039.373.2038  liệu  x 1 x word mơn  tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  x x  3x  x  24   x 1 x      x 1  x   x  8 x   x 8 x 1 b) Tìm giá trị nhỏ A A x  1 x 9    x  1  x 1   Cos i 2.3  4 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Vậy giá trị nhỏ A 4   x 1   x 1   x  9 x  3  x 4 (thỏa mãn điều kiện) 2) Chứng minh rằng: A        (2020 chữ số 2) A1   A2     A1   2 A3      A2   2 … A2020  A   A2019   2  A        (đpcm) Câu (5 điểm) x 2 1) Giải phương trình sau:  x 2 x  x  2) Tìm số nguyên x để biểu thức x  x  x  x  số phương Lời giải x 2 1) Giải phương trình sau: Điều kiện:  x 4  x 2 x  x  Phương trình cho tương đương với: x   1   x 2 x  x   x x   x  3  x  1 x  1   x 1     x  3     x  1  0  x  1   x  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  x 3  1     x  1 0  x   1   x Với x 4 1 1 1 x  1 ; 1  x ; x  5 1    x  1  x   1   x nên Từ suy ra: x 3 nghiệm phương trình 2) Tìm số nguyên x để biểu thức x  x  x  x  số phương 2 Đặt x  x  x  x   y (với y số tự nhiên) y  x  x  x    x  x  3  x  x    x  x  3 Ta có: Ta chứng minh: a2  y   a  2 2 với a  x  x  11  y  a x  x   x      y  a 2  Thật vậy: 1 2  a    y 3x  3x  3  x      y   a   2  2 2 Do a  y  (a  2) nên y  a  1 Hay x  x    x  x  3  x  x  1 2  x  x  0  x 1 x  2 Thử lại: với x 1 x  biểu thức cho 3 , thỏa mãn Vậy x   1;  2 Câu (4 điểm) 1) Cho P  x  x  ax  bx  cx  d , a , b , c , d số Biết P    6 ; P    12 ; P    18 Tính A P    P     437.P    2020 3 2) Với số dương a , b thỏa mãn a  b  6ab 8 Tìm giá trị nhỏ của: P Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn   ab a  b ab toán: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Lời giải 1) Cho P  x  x  ax  bx  cx  d , a , b , c , d số P    6 Biết ; P    12 ; P    18 Tính A P    P     437.P    2020 Đặt Q  x  P  x   3x  Q    Q    Q    0   2;  4;  nghiệm Q  x  , mà Q  x  đa thức bậc nên Q x có dạng: Q  x   x    x    x    x  m   P  x   x    x    x    x  m   3x Tính P    48m ; P   8 408  48m A  48m  408  48m  437.6 3030   202 2020 3 2) Với số dương a, b thỏa mãn a  b  6ab 8 Tìm giá trị nhỏ của: P Ta có:   ab a  b ab a  b3  6ab 8   a  b    a  ab  b  2a  2b   0  a  b 2 1   ab  2    ab  a  b ab a  b 2ab ab 2ab P 2  2 a  b  2ab  a  b P Dấu xảy a b 1 Vậy giá trị nhỏ Câu (5 điểm) P a b 1 1) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm  O  có D , E , F theo thứ tự trung điểm BC , AC , AB Gọi H trực tâm tam giác ABC a) Chứng minh tam giác HAB tam giác ODE đồng dạng b) Kẻ đường thẳng DM // OA , EN // OB , FG // OC ( M  AH , N  BH , G CH ) Chứng minh đường thẳng DM , EN , FG đồng quy Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 2) Từ điểm M nằm tam giác ABC cho trước vẽ đường vng góc MA , MB MC  đến BC , CA , AB Tìm vị trí M để tích MA.MB.MC  đạt giá trị lớn Lời giải 1) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm  O  có D, E , F theo thứ tự trung điểm BC , AC , AB Gọi H trực tâm tam giác ABC A M E F N H O G B D C a) Chứng minh tam giác HAB tam giác ODE đồng dạng Chứng minh ED //  AB, OD // AH (cùng vng góc BC ) BH // OE (cùng vng góc AC )     ABH DEO ; BAH EDO (góc có cạnh tương ứng song song)  ABH  DEO  g  g  (đpcm) b) Kẻ đường thẳng DM // OA, EN // OB, FG // OC  M  AH , N  BH , G CH  Chứng minh đường thẳng DM , EN , FG đồng quy OD //  AH Từ câu a) suy ra: Chứng minh tứ giác AMDO hình bình hành suy OD  AM MH , dẫn đến tứ giác MODH hình bình hành Nên DM qua trung điểm I OH Chứng minh tương tự có EN , FG qua I , nên đường thẳng DM , EN , FG đồng quy (đpcm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 2) Từ điểm M nằm tam giác ABC cho trước vẽ đường vng góc MA, MB, MC  đến BC , CA, AB Tìm vị trí M để tích MA.MB.MC  đạt giá trị lớn A B' C' M A' B C Đặt MA x , MB  y , MC   z ; BC a , AC b , AB c S ABC S BMC  S AMC  S BMA   ax  by  cz   ax  by  cz 2 S ABC MA.MB.MC  xyz  1  ax  by  cz  8S ABC  ax   by   cz      abc abc  27abc  Dấu “=” xảy  ax by cz , suy diện tích tam giác BMC , tam giác AMC , tam giác AMB nhau, M trọng tâm tam giác ABC Vậy MA.MB.MC  lớn M trọng tâm tam giác ABC Câu (1 điểm) Cho dãy gồm 1000 số: 7; 77; 777; 7777; ; 777 7 Chứng minh dãy tồn số chia hết cho 2013 Lời giải Tách 2013 = 3.11.61 3; 11; 61 đơi ngun tố Sử dụng điều kiện chia hết cho đồng thời 11, số có số chữ số bội Đó số: 777777 (6 chữ số), 777777777777 (12 chữ số), 777…77 (996 chữ số) Số số hạng dãy  996   :  166 Khi chia 166 số cho 61 có 166 số dư, mà số dư phép chia nhận 61 giá trị từ đến 60, nên theo Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com nguyên lý Dirichle tồn số dãy có số dư chia cho 61  hiệu hai số chia hết cho 61 n Hiệu hai số có dạng: 77 7.10 (có k số 7, k 990 )  10 , 61 1 suy 77 chia hết cho 61 Mà n Vậy 1000 số cho tồn số chia hết cho 2013  HẾT  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC