Website:tailieumontoan.com PHÒNG GD VÀ ĐT THANH OAI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP – V2 MƠN TỐN NĂM HỌC 2020 – 2021 Đề số 18 Câu (4,0 điểm) 2 Cho a, b, c số thực thỏa mãn a b c a 2b 3c 14 Tính giá trị biểu thức M = abc Chứng minh với số nguyên dương n: 1 1 1 2 2n n n 1 Câu (4,0 điểm) x(3x 1) x ( x 1) 2 x Giải phương trình: 2 2 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x xy y x y Câu (4,0 điểm) Chứng minh với số tự nhiên n A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 Với a, b, c > thỏa mãn a+ b+ c = abc - Tìm giá trị lớn biểu thức: P Câu 1 a 1 b 1 c 1 (6, điểm) Cho đường tròn (O, R) Đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax, By (O) Trên đường tròn lấy E (E khác A, B) Đường thẳng vng góc với OE E cắt Ax, By C D Hạ EF vuông góc với AB F, BC cắt EF I a) Chứng minh I trung điểm EF b) Gọi EA cắt CF M, EB cắt DF N K trung điểm AC Chứng minh K, M, I, N thẳng hàng r c) Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác COD Chứng minh R Câu (2,0 diểm) Với a, b, c số thực dương, chứng minh rằng: a2 b2 3ab b c bc a c HẾT Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ĐÁP ÁN KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC: 2020 – 2021 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu (4,0 điểm) 2 Cho a, b, c số thực thỏa mãn a b c a 2b 3c 14 Tính giá trị biểu thức M = abc Chứng minh với số nguyên dương n: 2 1 1 2n n n 1 Lời giải (2 điểm) a b c 14 a b c 14 Ta có a b c 14 2a 4b 6c 28 a b c 2a 4b 6c 14 (a 1) (b 2) (c 3) 0 a 1; b 2; c 3 M abc 6 (2 điểm) Chứng minh công thức tổng quát: n n 1 n 1 n 1 ( n 1)n ( n n ) ( n 1)n 2n n Áp dụng bất đẳng thức suy ra: 1 2 1 1 1 ; ; ; 3 n n 1 n n 1 Cộng vế với vế bất đẳng thức ta được: 2 Câu 1 2n n 1 n 1 suy đpcm (4,0 điểm) Giải phương trình: x(3x 1) x ( x 1) 2 x 2 2 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x xy y x y Lời giải (2 điểm) 1 Điều kiện xác định: x = x 1 x - Xét x = 0, thỏa mãn phương trình nên x=0 nghiệm Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com - Xét x 0 , chia hai vế cho Đặt: 3 x 0 , ta được: 3 1 2 x x 1 u 0; v 0 x x Ta được: u v 2 2 u v 4 Giải u 2; v 0 suy x 1 (Thỏa mãn ĐKXĐ) Thử lại ta có nghiệm phương trình x {0;1} (2 điểm) x xy y x y (1) x 2xy y x y xy ( x y ) xy ( xy 1) Vì VT số phương suy VP số phương mà xy xy hai số nguyên liên tiếp nên phải có xy 0 xy 0 2 * Với xy 0 ta có x y 0 nên x y 0 * Với xy 0 xy suy x 1; y x 1; y 1 Thử lại ta có nghiệm nguyên ( x; y ) (1) là: (0;0); (1;-1); (-1;1) Bài (4,0 điểm) Chứng minh với số tự nhiên n A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 Với a, b, c > thỏa mãn a+ b+ c = abc - Tìm giá trị lớn biểu thức: P 1 a 1 b 1 c 1 Lời giải (2 điểm) Với n = ta có A(0) = 19 19 Giả sử A chia hết cho 19 với n = k nghĩa là: A(k) = 7.52k + 12.6k 19 Ta phải chứng minh A chia hết cho 19 với n = k + nghĩa phải chứng minh: A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + 19 Ta có: A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + = 7.52k.52 + 12.6n = 7.52k.6 + 7.52k 19 + 12.6n = 6.A(k) + 7.52k 19 19 Vậy theo nguyên lý quy nạp A = 7.52n + 12.6n 19 với n N 1 1 (2 điểm) Chứng minh a b c Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1 1 a b c Thật vậy: (1 a )(1 b) (1 b)(1 c) (1 c)(1 a ) (1 a)(1 b)(1 a) 2( a b c) ab bc ca 1 a b c ab bc ca abc a b c abc (đúng, theo giả thiết) Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: 1 1 3 3 b 1 c 1 1 a 1 b 1 c a 1 Bài 1 a 1 b 1 c 1 Vậy Pmax = a= b= c= (6,0 điểm) Cho đường trịn (O, R) Đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax, By (O) Trên đường tròn lấy E (E khác A, B) Đường thẳng vng góc với OE E cắt Ax, By C D Hạ EF vng góc với AB F, BC cắt EF I a) Chứng minh I trung điểm EF b) Gọi EA cắt CF M, EB cắt DF N K trung điểm AC Chứng minh K, M, I, N thẳng hàng r c) Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác COD Chứng minh R x Lời giải y Q C K A E M D I O F N P B a (2 điểm) Kéo dài BE cắt Ax Q + Chứng minh tam giác vuông ACO= ECO để có AC=CE, tương tự có ED=DB (HS dùng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com + Chứng minh CEQ cân C CAE cân suy CA = CQ(1) + Chứng minh EF//AQ nên áp dụng định lý Talet vào QBC EI BI IF EI IF BCA có: CQ BC CA CQ AC 1 b EI IF (2) suy đpcm (2 điểm) EF EM AC MA EI EM 1 AK MA IE EF, KA AC 2 lại có CAE MEF ( slt ) Từ chứng minh EMI đồng dạng AMK (c-g-c) Suy góc EMI = góc KMA Suy KMA AMI 180 Nên K, M, I thẳng hàng (3) EF / / CA Kéo dài IN cắt BD P Do EF//BD nên áp dụng hệ định lý Talet có: BP DP BN ( ) EI FI NI mà EI=FI (cmt) nên BP=DP=1/2BD Áp dụng ĐL Talet BCD (EI/BD) có: CI CE AC 2CK CK CI CK IB ED BD BP BP IB BP Kết hợp với ACB CBD (slt) suy KCI đồng dạng PBI (c-g-c) CIK BIP PIC CIK 1800 Suy từ có nên K, I, P thẳng hàng (4) Từ (3) (4) suy K, M, N, I thẳng hàng (đpcm) c (2 điểm) + Đặt CD = a ; OC =b ; OD =c ( a > b; a > c ) + Chứng minh cơng thức tính diện tích tam giác S= p.r (r bán kính đường trịn nội tiếp, p nửa chu vi) Dựa vào cách tính diện tích tam giác COD ta có: 1 r a SCOD p.r OE.CD r (a b c ) R.a 2 R a bc + Trong COD có b+c > a suy a+ b +c > 2a a a r a b c 2a R (5) a b, a c a b c 3a Bài a r a b c R + Vì Từ (5) (6) suy đpcm (2,0 điểm) Với a, b, c số thực dương, chứng minh rằng: a2 b2 (6) 3ab b c bc a c Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Ta đặt a, b, c độ dài đoạn thẳng hình vẽ sau: A Sử dụng tỉ số lượng giác a tính được: O 30° 60° b AB = B a2 b2 3ab BC b c bc c AC a c Vì AB BC AC C Nên ta có đpcm HẾT Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC