13 hsg toan 9 2020 2021 huyen gia lam toan thcs vn

Website:tailieumontoan.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN GIA LÂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP (Vòng 1) NĂM HỌC 2020-2021 MƠN: TỐN Thời gian làm 150 phút Đề số 13 Câu (4,0 điểm) x x  x x 4 x x x x    x  x x 23 x  x x Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A A x (2  3)  3 b) Tính giá trị A 2.Cho x; y; z số thực dương thỏa mãn : x  y  z 1 P Tìm giá trị nhỏ biểu thức : Câu 2020  2 x y z xy  yz  zx (6,0 điểm) a b c   1 Cho ba số a; b; c thỏa điều kiện : b  c c  a a  b a2 b2 c2   0 a Chứng minh : b  c c  a a  b b Chứng tỏ ba số a; b; c tồn số không âm ; số không dương x x5  x  17 x   P 2 x  3x  x  11 với x thỏa mãn : x  x  Tính giá trị biểu thức 3 Tìm tất số nguyên x để biểu thức : x  x  x  x  số phương Câu (4,0 điểm) Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh p  100924 2021 2022 2023 Có tồn hay khơng số ngun a, b thỏa mãn : 2020a  2021b Câu (2,0 điểm) Cho điểm M nằm tam giác ABC Vẽ MD  AB, ME  BC, MF  AC (D  AB, E  BC, F  AC) a) Chứng minh: MD  ME  MF có giá trị khơng phụ thuộc vào vị trí điềm M 2 b) Tìm vị trí điểm M cho: AD  BE  CF đạt giá trị nhỏ nhất? Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vng A có AB 6cm, AC 8cm đường cao AH Trên AB lấy điểm D bất kì, vẽ DE / / BC (E  AC) , vẽ DG / / AE // EF( F , G  BC ).DF cắt GE O a) Biết AD 2cm Tính diện tích tứ giác DEFG? b) Tìm vị trí D AB để DEFG hình vng? c) Chứng minh D di động AB O ln chậy đường thẳng cố định HẾT Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG TOÁN HUYỆN GIA LÂM Năm học: 2020-2021 Câu (4,0 điểm) x x  x x 4 x x x x   2 x x x 23 x  x x Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A A x (2  3)  3 b) Tính giá trị A 2.Cho x; y; z số thực dương thỏa mãn : x  y  z 1 P Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A a) Đặt 2020  2 x y z xy  yz  zx Lời giải x x x x  x x  x  x 4  2 x x x 3 x  x x t  x  t 0   x t A t  t  4t  t  t  4t   t    t    t  1  t    t    t  1    2 t  3t   t  3t   t  1  t    t  1   t  Như t  t  2t  x      t  t 1 t 1 x x b) Ta có (2  3)  3   3   3    3   3    31 31 1  31     3    3 31 Vậy b) Ta có bđt phụ sau ( quen thuộc nên ta không chứng minh lại ) Với ba số thực dương x; y; z xy  yz  xz   x  y  z  ( dấu x  y  z ) 1    Và x y z x  y  z ( dấu x  y  z ) A Áp dụng ta có   2020 1 2018 P      2 2 x y z xy  yz  zx  x  y  z xy  yz  xz xy  yz  xz  xy  yz  xz 2018 6063 6063     6063 2 x  y  z   xy  yz  xz  x  y  z  x  y  z    Pmin 6063  x  y  z  Vậy Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu (6,0 điểm) a b c   1 a ; b ; c Cho ba số thỏa điều kiện : b  c c  a a  b a2 b2 c2   0 a Chứng minh : b  c c  a a  b b Chứng tỏ ba số a; b; c tồn số không âm ; số không dương x x5  x  17 x   P 2 x  3x  x  11 với x thỏa mãn : x  x  Tính giá trị biểu thức 3 Tìm tất số nguyên x để biểu thức : x  x  x  x  số phương Lời giải a b c b c   a   1       a  b  c  a  b  c b  c c  a a  b b  c c  a a  b   a Ta có : a2 b2 c2 a2 b2 c2 a b  c a  b  c    0 bc ac a b b c c a a b b Ta chứng minh phép phản chứng Giả sử số a; b; c nhận giá trị   a b c a b  c a b c a b c      3 b c a c a b Khi b  c a  c a  b 1      a  b    b  c    c  a        a b b c c a  1  3  a  b(b  c   c  a  3  3 2  a  b  b  c  c  a  ( theo bđt AM-GM ) a b c     1 VL  Do b  c a  c a  b Vậy số a; b; c phải ln có số khơng dương Tương tự giả sử ba số a; b; c khơng có số khơng âm Khi a  0; b  0; c   x  a  0; y  b  0; z  c  a b c x y z        (VL) Ta có : b  c a  c a  b y  z x  z x  y ( chứng minh tương tự ) Vậy ba số a; b; c phải có số khơng âm ( đpcm ) x   x  x  4 x  x  3x  0 2 Ta có x  x  Khi :    x  11  x  x  1  x x  3x2 Và ta có : x  x  17 x  x   Do : x  3x  x  11 32 x 16 Liên hệ tài 039.373.2038  x  x3  17 x   x  x  x3  x  x   x 6 x liệu word mơn tốn:  3x  11  32 x 32 x TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Ta có : x4  x3  x  x   x  x  x  x    2  11 11  x  x   x       x  x  x  x    x  x  2 4  Do Ta chứng minh : Thật : x  x3  x  x   x  x    2 x  x3  x  x    x  x    x  x3  x  x   x  x3  x  x  1   3x  3x     x     2  ( ) x Như ta có : 2  x   x  x3  x  x    x  x   Do x  x  x  x  số phương  x  x  x  x   x  x   x  x  x  x   x  x3  x  x     x  x  0   x  1  x   0  x 1 hay x  Thử lại ta nhận hai giá trị x 1 x  Kết luận: x 1; x  số nguyên cần tìm Câu (4,0 điểm) Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh p  100924 2021 2022 2023 Có tồn hay không số nguyên a, b thỏa mãn : 2020a  2021b Lời giải Vì p số nguyên tố lớn suy p chia dư dư  p 1(mod 3) mà 1009 1(mod 3)  p  1009 0(mod 3)  p  10093 (1) Mặt khác : p số nguyên tố suy p chia dư 1, dư 3, dư 5,dư  p 1(mod8) mà 1009 1(mod 8) p  1009 0(mod 8)  p  10098 (2) p  10093  p  10098  p  100924 (3;8) 1   Từ (1) (2),ta có : Vậy p số nguyên tố lớn p  100924 2021 2022 Nếu b chẵn, ta có 2020a  2021b chẵn, mà 2023 số lẻ nên vơ lí b1011 2k  1, k    2021b 2022 2021.(2k  1)2 2021.4  k  k   2021 Nếu b lẻ, ta có 2021 2022 Do 2020a  2021b chia dư 1, mà 2023 chia dư nên vơ lí 2021 2022 Do khơng số nguyên a, b thỏa mãn : 2020a  2021b 2023 Câu (2,0 điểm) Cho điểm M nằm tam giác ABC Vẽ MD  AB, ME  BC, MF  AC Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com (D  AB, E  BC, F  AC) a) Chứng minh: MD  ME  MF có giá trị khơng phụ thuộc vào vị trí điềm M 2 b) Tìm vị trí điểm M cho: AD  BE  CF đạt giá trị nhỏ nhất? Lời giải A D F M B HE C Kẻ AH  BC S S AMB  S BMC  SCMA Ta có: ABC 1 1 BC AH  AB MD  BC ME  AC MF 2 Hay 1  BC AH  BC ( MD  ME  MF ) 2 (Vì ABC nên AB  AC BC )  AH MD  ME  MF Do AH không đổi nên MD  ME  MF không đổi Vậy MD  ME  MF có giá trị khơng phụ thuộc vào vị trí điềm M 2 2 2 b) Ta chứng minh được: AD  BE  CF BD  CE  AF Ta có AD  BD Tương tự ta có Lại  AD  BD   AF2  CF2   AB 2 AC BC ; BE  CF2  2 3AB2 4AH AB  AD  BE  CF  BD  CE  AF  2 AH 2 2  2 2   AD  BE  CF 2AH  AD  BE  CF  AH không đổi Dấu “=” xảy  M giao điểm đường trung tuyến ABC Hay M tâm tam giác ABC Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vng A có AB 6cm, AC 8cm đường cao AH Trên AB lấy điểm D bất kì, vẽ DE / / BC (E  AC) , vẽ DG / / AE // EF( F , G  BC ).DF cắt GE O a) Biết AD 2cm Tính diện tích tứ giác DEFG ? b) Tìm vị trí D AB để DEFG hình vng? Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com c) Chứng minh D di động AB O ln chậy đường thẳng cố định Lời giải B D G I H N K A O F J E C 2 a) Áp dụng định lý Pytago cho ABC  A : BC  AB  AC  BC 10cm DE / / BC áp dụng định lý Talet ABC : AD DE AE DE AE 10       DF  cm; AE  cm AB BC AC BC 3  BD  AB  AD 4cm 0 ˆ ˆ Xét GBD (G 90 ) ABC ( A 90 ) có Bˆ chung BG DG BD DG 16       DG  cm  ABC ( g g )  GBD  AB AC BC 10 DE / / GF (GT )    DGFE Ta có : DG / / FE(GT)  hình bình hành DG / / AH    DG  BC ¿> ^ DGF=90° AH  BC  Mà: Suy : DHFE hình chữ nhật 16  S DGFE DE.DG  cm DG BD AC ABC    DG  BD  BD AC BC BC b) GBD  DE AD BC DE / / BC    DE  AD  AD BC AB AC 25  DE DG  BD  AD DGFE hình vng 12 mà 72 AD  BD  AB 6  AD  cm 37 K c) Gọi trung điểm AH ; BK cắt DG I ; CK cắt EF J DG BD  DG / / AH   AH AB  DG DI   DI BD  AH AK 1 DI / / AK   AK  AH  DI  DG  I AK AB  2 mà trung điểm DG CMTT : J trung điểm EF Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Suy O trung điểm JI mà JIBC hình thang ( JI / / BC ) theo tính chất hình thang  KO qua trung điểm BC  O thuộc đường thẳng qua trung điểm AH BC  D thay đổi AB O ln nằm đường thẳng cố định Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC