Website:tailieumontoan.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN GIA LÂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP (Vòng 1) NĂM HỌC 2020-2021 MƠN: TỐN Thời gian làm 150 phút Đề số 13 Câu (4,0 điểm) x x x x 4 x x x x x x x 23 x x x Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A A x (2 3) 3 b) Tính giá trị A 2.Cho x; y; z số thực dương thỏa mãn : x y z 1 P Tìm giá trị nhỏ biểu thức : Câu 2020 2 x y z xy yz zx (6,0 điểm) a b c 1 Cho ba số a; b; c thỏa điều kiện : b c c a a b a2 b2 c2 0 a Chứng minh : b c c a a b b Chứng tỏ ba số a; b; c tồn số không âm ; số không dương x x5 x 17 x P 2 x 3x x 11 với x thỏa mãn : x x Tính giá trị biểu thức 3 Tìm tất số nguyên x để biểu thức : x x x x số phương Câu (4,0 điểm) Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh p 100924 2021 2022 2023 Có tồn hay khơng số ngun a, b thỏa mãn : 2020a 2021b Câu (2,0 điểm) Cho điểm M nằm tam giác ABC Vẽ MD AB, ME BC, MF AC (D AB, E BC, F AC) a) Chứng minh: MD ME MF có giá trị khơng phụ thuộc vào vị trí điềm M 2 b) Tìm vị trí điểm M cho: AD BE CF đạt giá trị nhỏ nhất? Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vng A có AB 6cm, AC 8cm đường cao AH Trên AB lấy điểm D bất kì, vẽ DE / / BC (E AC) , vẽ DG / / AE // EF( F , G BC ).DF cắt GE O a) Biết AD 2cm Tính diện tích tứ giác DEFG? b) Tìm vị trí D AB để DEFG hình vng? c) Chứng minh D di động AB O ln chậy đường thẳng cố định HẾT Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG TOÁN HUYỆN GIA LÂM Năm học: 2020-2021 Câu (4,0 điểm) x x x x 4 x x x x 2 x x x 23 x x x Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A A x (2 3) 3 b) Tính giá trị A 2.Cho x; y; z số thực dương thỏa mãn : x y z 1 P Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A a) Đặt 2020 2 x y z xy yz zx Lời giải x x x x x x x x 4 2 x x x 3 x x x t x t 0 x t A t t 4t t t 4t t t t 1 t t t 1 2 t 3t t 3t t 1 t t 1 t Như t t 2t x t t 1 t 1 x x b) Ta có (2 3) 3 3 3 3 3 31 31 1 31 3 3 31 Vậy b) Ta có bđt phụ sau ( quen thuộc nên ta không chứng minh lại ) Với ba số thực dương x; y; z xy yz xz x y z ( dấu x y z ) 1 Và x y z x y z ( dấu x y z ) A Áp dụng ta có 2020 1 2018 P 2 2 x y z xy yz zx x y z xy yz xz xy yz xz xy yz xz 2018 6063 6063 6063 2 x y z xy yz xz x y z x y z Pmin 6063 x y z Vậy Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu (6,0 điểm) a b c 1 a ; b ; c Cho ba số thỏa điều kiện : b c c a a b a2 b2 c2 0 a Chứng minh : b c c a a b b Chứng tỏ ba số a; b; c tồn số không âm ; số không dương x x5 x 17 x P 2 x 3x x 11 với x thỏa mãn : x x Tính giá trị biểu thức 3 Tìm tất số nguyên x để biểu thức : x x x x số phương Lời giải a b c b c a 1 a b c a b c b c c a a b b c c a a b a Ta có : a2 b2 c2 a2 b2 c2 a b c a b c 0 bc ac a b b c c a a b b Ta chứng minh phép phản chứng Giả sử số a; b; c nhận giá trị a b c a b c a b c a b c 3 b c a c a b Khi b c a c a b 1 a b b c c a a b b c c a 1 3 a b(b c c a 3 3 2 a b b c c a ( theo bđt AM-GM ) a b c 1 VL Do b c a c a b Vậy số a; b; c phải ln có số khơng dương Tương tự giả sử ba số a; b; c khơng có số khơng âm Khi a 0; b 0; c x a 0; y b 0; z c a b c x y z (VL) Ta có : b c a c a b y z x z x y ( chứng minh tương tự ) Vậy ba số a; b; c phải có số khơng âm ( đpcm ) x x x 4 x x 3x 0 2 Ta có x x Khi : x 11 x x 1 x x 3x2 Và ta có : x x 17 x x Do : x 3x x 11 32 x 16 Liên hệ tài 039.373.2038 x x3 17 x x x x3 x x x 6 x liệu word mơn tốn: 3x 11 32 x 32 x TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Ta có : x4 x3 x x x x x x 2 11 11 x x x x x x x x x 2 4 Do Ta chứng minh : Thật : x x3 x x x x 2 x x3 x x x x x x3 x x x x3 x x 1 3x 3x x 2 ( ) x Như ta có : 2 x x x3 x x x x Do x x x x số phương x x x x x x x x x x x x3 x x x x 0 x 1 x 0 x 1 hay x Thử lại ta nhận hai giá trị x 1 x Kết luận: x 1; x số nguyên cần tìm Câu (4,0 điểm) Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh p 100924 2021 2022 2023 Có tồn hay không số nguyên a, b thỏa mãn : 2020a 2021b Lời giải Vì p số nguyên tố lớn suy p chia dư dư p 1(mod 3) mà 1009 1(mod 3) p 1009 0(mod 3) p 10093 (1) Mặt khác : p số nguyên tố suy p chia dư 1, dư 3, dư 5,dư p 1(mod8) mà 1009 1(mod 8) p 1009 0(mod 8) p 10098 (2) p 10093 p 10098 p 100924 (3;8) 1 Từ (1) (2),ta có : Vậy p số nguyên tố lớn p 100924 2021 2022 Nếu b chẵn, ta có 2020a 2021b chẵn, mà 2023 số lẻ nên vơ lí b1011 2k 1, k 2021b 2022 2021.(2k 1)2 2021.4 k k 2021 Nếu b lẻ, ta có 2021 2022 Do 2020a 2021b chia dư 1, mà 2023 chia dư nên vơ lí 2021 2022 Do khơng số nguyên a, b thỏa mãn : 2020a 2021b 2023 Câu (2,0 điểm) Cho điểm M nằm tam giác ABC Vẽ MD AB, ME BC, MF AC Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com (D AB, E BC, F AC) a) Chứng minh: MD ME MF có giá trị khơng phụ thuộc vào vị trí điềm M 2 b) Tìm vị trí điểm M cho: AD BE CF đạt giá trị nhỏ nhất? Lời giải A D F M B HE C Kẻ AH BC S S AMB S BMC SCMA Ta có: ABC 1 1 BC AH AB MD BC ME AC MF 2 Hay 1 BC AH BC ( MD ME MF ) 2 (Vì ABC nên AB AC BC ) AH MD ME MF Do AH không đổi nên MD ME MF không đổi Vậy MD ME MF có giá trị khơng phụ thuộc vào vị trí điềm M 2 2 2 b) Ta chứng minh được: AD BE CF BD CE AF Ta có AD BD Tương tự ta có Lại AD BD AF2 CF2 AB 2 AC BC ; BE CF2 2 3AB2 4AH AB AD BE CF BD CE AF 2 AH 2 2 2 2 AD BE CF 2AH AD BE CF AH không đổi Dấu “=” xảy M giao điểm đường trung tuyến ABC Hay M tâm tam giác ABC Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vng A có AB 6cm, AC 8cm đường cao AH Trên AB lấy điểm D bất kì, vẽ DE / / BC (E AC) , vẽ DG / / AE // EF( F , G BC ).DF cắt GE O a) Biết AD 2cm Tính diện tích tứ giác DEFG ? b) Tìm vị trí D AB để DEFG hình vng? Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com c) Chứng minh D di động AB O ln chậy đường thẳng cố định Lời giải B D G I H N K A O F J E C 2 a) Áp dụng định lý Pytago cho ABC A : BC AB AC BC 10cm DE / / BC áp dụng định lý Talet ABC : AD DE AE DE AE 10 DF cm; AE cm AB BC AC BC 3 BD AB AD 4cm 0 ˆ ˆ Xét GBD (G 90 ) ABC ( A 90 ) có Bˆ chung BG DG BD DG 16 DG cm ABC ( g g ) GBD AB AC BC 10 DE / / GF (GT ) DGFE Ta có : DG / / FE(GT) hình bình hành DG / / AH DG BC ¿> ^ DGF=90° AH BC Mà: Suy : DHFE hình chữ nhật 16 S DGFE DE.DG cm DG BD AC ABC DG BD BD AC BC BC b) GBD DE AD BC DE / / BC DE AD AD BC AB AC 25 DE DG BD AD DGFE hình vng 12 mà 72 AD BD AB 6 AD cm 37 K c) Gọi trung điểm AH ; BK cắt DG I ; CK cắt EF J DG BD DG / / AH AH AB DG DI DI BD AH AK 1 DI / / AK AK AH DI DG I AK AB 2 mà trung điểm DG CMTT : J trung điểm EF Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Suy O trung điểm JI mà JIBC hình thang ( JI / / BC ) theo tính chất hình thang KO qua trung điểm BC O thuộc đường thẳng qua trung điểm AH BC D thay đổi AB O ln nằm đường thẳng cố định Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC