Website:tailieumontoan.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN ỨNG HÒA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2020-2021 MƠN: TỐN Thời gian làm 150 phút Đề số 15 Câu ( điểm): P Cho biểu thức : x 1 x2 x 1 x x x x x 1 x 0, x 1 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tìm giá trị lớn biểu thức Q 3) Tính giá trị P cho x Câu 50 50 ( điểm): Chứng minh Câu x P 2 n 1 2n 1 chia hết cho với số tự nhiên n ( điểm): 1) Giải phương trình : x x x 14 2 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình : x y xy x y Câu (6 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AK , BD, CE cắt H 1) Chứng minh AB AE AC AD KC AC CB BA2 2 2) Chứng minh KB BA CA AC 3) Giả sử HK AK Chứng minh : tan B tan C 3 4) Giả sử S ABC 120 cm BAC 60 Hãy tính S ADE Câu ( điểm): Tìm tất số tự nhiên mà gạch bỏ chữ số số giảm 31 lần HẾT Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG TỐN HUYỆN ỨNG HỊA Năm học: 2020-2021 Câu ( điểm): x 1 x2 x 1 x x x x x 1 P Cho biểu thức : 1) Rút gọn biểu thức P Q 2) Tìm giá trị lớn biểu thức x 0, x 1 x P 3 3) Tính giá trị P cho x 50 50 Lời giải 1) Rút gọn x 1 x2 x 1 x x x x x 1 P P x1 x P P P x 2 x 1 x x 1 x1 x 1 x x x 1 x x x x x 1 x 1 x 2 x 0, x 1 x x x 1 x 1 x 1 x x 1 x x x x 1 2x x x x 2 x 2 Q x P x x x 2) Q x 2 x x Theo BĐT Cauchy ta có x Nên Suy Liên hệ tài 039.373.2038 x x 2 2 max Q 2 liệu word dấu "=" xảy mơn tốn: x x x 2 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 3) Từ x 50 50 50 50 x 72 50 Ta có x 7 x x 14 0 x x x 0 x 2 ( Do x x ) P Thay x 2 ( Thỏa ĐKXĐ ), ta tính Câu 3 ( điểm): Chứng minh 2 n 1 2n 1 chia hết cho với số tự nhiên n Lời giải n n n Do , , số tự nhiên liên tiếp nên tích ,3 1 nên tích n Mà Câu n 2n 3 2 n 2n 2n 3 ( điểm): 1) Giải phương trình : x x x 14 2 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình : x y xy x y Lời giải 1) Giải phương trình x x x 14 (đk: x ) x x 14 x 0 x x x x 0 x 3 x 1 x 0 x 0 0 x 3 x 4 Vậy phương trình có nghiệm x 3 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình x y xy x y x y 2 xy x y x xy y x x y y 2 2 x y x 1 y 1 2 Vì x , y Z xy x y nên: 1 1 1 1 x; y 2;2 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu 1 1 0;0 word mơn tốn: 1 1 1 1; 2;1 1 1 1 1 1;2 1 1 1 0;1 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Vậy nghiệm phương trình là: Câu x ; y 2;2 , 0; , 1; , 2;1 , 1;2 , 0;1 (6 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AK , BD, CE cắt H 1) Chứng minh AB AE AC AD KC AC CB BA2 2 2) Chứng minh KB BA CA AC AK HK Chứng minh : tan B tan C 3 3) Giả sử S ADE S ABC 120 cm BAC 60 4) Giả sử Hãy tính Lời giải A D E H B C K 1) Xét ABD vng D ACE vng E có : A chung Suy ABD đồng dạng với ACE (g-g) AB AD AB AE AC AD Từ AC AE 2) Áp dụng định lí Pi-ta-go ta có AK KC KC KB BA AC CB BA2 VP BA CB AC BA2 KC KB AK KC AK KC KC 2KC.KB KB BA2 BA2 KC KB KC.KB AK KC 2 KC KC.KB AK KB BA BA AK KB KC.KB KC KC.KB KC KC KB KC VT KB KC KB KB KB KC KB ( đpcm ) AK AK AK tan B tan C tan B.tan C BK ; CK BK CK 3) Ta có Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: 1 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com CK BK tan B tan KHC tan C B KHC HK Tương tự có HK Mặt khác nên Suy tan B.tan C suy Vậy tan B.tan C 3 Từ 1 BK CK HK 2 tan B.tan C 2 AK 3 HK gt : HK AK 4) Ta chứng minh ABC đồng dạng với ADE ( theo câu a ) SABC AB SADE AD Nên AD AB BAC 60 ABD 30 Mà nên suy SABC 4 SADE 30 cm SADE Từ Câu ( điểm): Tìm tất số tự nhiên mà gạch bỏ chữ số số giảm 31 lần Lời giải + Giả sử số gạch chữ số hàng đơn vị, ta có xc 31x (với x N ) 10 x c 31x 21x c Do x 9 VT 21, VP 9 Vơ lí + Giả sử số gạch chữ số hàng chục, ta có xbc 31xc với x N 21x 3c b Lập luận tương tự trên, x 1 VT VP ( không thỏa ) suy x 0 Khi b 3c, bc 31 nên có số 31, 62, 93 + Giả sử số gạch chữ số hàng trăm, ta có xabc 31xbc 210 x 3bc 10a x 0,10a 3.bc bc 10, a 3 a 3;6;9 Lập luận tương tự để Ta có số 310 ; 620 ; 930 + Tiếp tục trình ta số dạng: HẾT Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: 31.10 k ; 62.10 k ; 93.10 k k 0;1;2;3; TÀI LIỆU TOÁN HỌC