Website:tailieumontoan.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN MỸ ĐỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2020-2021 MƠN: TỐN Thời gian làm 120 phút Ngày thi 24/10/2020 Đề số 14 Câu (5 điểm) x x 3 P : x 2 x x x 10 x x Cho biểu thức a) Rút gọn P b) Tính giá trị biểu thức P x 13 12 B c) Cho biểu thức 28 16 x x x Tìm x để M P.B có giá trị nguyên Câu (4 điểm) a) Tìm tất cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: xy x y 11 y 9 b) Giải phương trình: 2x x x 3 Câu (5 điểm) a) Cho a, b, c ba số khác thỏa mãn: a b c abc ab bc ca 3abc Tính giá trị biểu thức: A 1 2 2 a b c b)Cho x, y số thực lớn Tìm giá trị nhỏ biểu B thức: Câu (6 điểm) x2 y2 y x Cho hình vng ABCD có cạnh a N điểm tùy ý cạnh AB Gọi E giao điểm CN DA Vẽ tia Cx vng góc với CE cắt AB F Lấy M trung điểm EF a) Chứng minh: CM EF 2 FE a b) Chứng minh: NB.DE a CN c) Chứng minh: ba điểm B, D, M thẳng hàng d) Tìm vị trí điểm N cạnh AB cho diện tích tứ giác AEFC gấp lần diện tích hình vng ABCD Câu (1 điểm) 2 Tìm tất số nguyên dương a, b, cho a b chia hết cho a b HẾT Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG TOÁN HUYỆN MỸ ĐỨC Năm học: 2020-2021 Câu (5 điểm) x x 3 P : x 2 x x x 10 x x Cho biểu thức a) Rút gọn P b) Tính giá trị biểu thức P x 13 12 B Cho biểu thức 28 16 x x x Tìm x để M P.B có giá trị nguyên Lời giải a) (2,0đ) x x 3 P : x 2 x x x 10 x x Ta có x 3 x x x 2 x 1 x 2 x 1 x 3 : x 3 x 2 x 1 x x 1 x 3 x 2 x 1 Với x 0, x 4 : x 3 x x 1 x x 1 x 3 x x b) (1,5 đ) Ta có: x 13 3 6 x 13 9 (TM) P 15 9 c) (1,5 đ) M P.B x x x x x 2 x 2 Với x 0, x 4 ta có Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word x 2 2 mơn tốn: 1 x 2 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 5 x 2 M Mà dễ thấy M 0 0M M M 1; 2 Nên với M 1 1 x 2 M 2 2 x 2 + Với + Với x 5 x 9 (TM) x x (TM) 1 x ;9 4 Vậy Câu (4 điểm) a) Tìm tất cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: xy x y 11y 9 b) Giải phương trình: 2x x x 3 Lời giải a) (2,0 đ) Ta có: xy x y 11 y 9 x y 1 y y y 5 x y 1 y y 1 y 1 5 y 1 x y 5 Do x; y nguyên suy y x y ước Ta có trường hợp sau: y 1 y 1 + x y 5 x 4 2 y 5 y 3 + x y 1 x 6 y x y + y x y + y 0 x y x 11 x; y 4;1 6;3 9;0 Vậy cặp số thỏa mãn toán ; ; ; 11; b) (2,0 đ) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Điều kiện: x 2x x x 3 2x x x x 1 x 3 x 1 x 3 x 3x 2 x x x x x 3 x (1) 3 x 0 (1) 2 2 x x 9 x x (2) (2) x 11x 12 0 x 1 x 12 0 x 1 (TM) x 12 (KTM) Vậy PT có nghiệm x 1 Câu (5 điểm) a) Cho a, b, c ba số khác thỏa mãn: a b c abc ab bc ca 3abc Tính giá trị biểu thức: A 1 2 2 a b c b) Cho x, y số thực lớn Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B x2 y2 y x Lời giải a) (2,0 đ) a b c 1 1 1 abc ab ac bc Từ (1) 1 ab ac bc 3abc 3 a b c (2) a b c abc 1 1 1 1 2 ab bc ac (3) Ta có: a b c a b c Từ (1); (2); (3) ta có A 2.1 A 7 b) (2,0 đ) x 1 x Ta có: y y Áp dụng bất đẳng thức Cơ – si ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com x2 x2 y 1 2 y 1 4 x y y y2 y2 x 1 2 x 1 4 y x x A x y 4 x y A 8 x2 4 y 1 y x y 2 (TM) y 4 x Dấu “=” xảy x Vậy giá trị nhỏ A 8 x y 2 Câu (6 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a N điểm tùy ý cạnh AB Gọi E giao điểm CN DA Vẽ tia Cx vng góc với CE cắt AB F Lấy M trung điểm EF a) Chứng minh: CM EF 2 FE a b) Chứng minh: NB.DE a CN c) Chứng minh: ba điểm B, D, M thẳng hàng d) Tìm vị trí điểm N cạnh AB cho diện tích tứ giác AEFC gấp lần diện tích hình vng ABCD Lời giải a) (1,5 đ) Vẽ hình đến câu a Ta có: ECD BCF (cùng phụ với ECB ) Xét ECD FCB có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ECD BCF (CMT) DC BC a EDC FBC EDC FBC 90 (cạnh góc vng - góc nhọn) CE CF ECF cân C Mà CM đường trung tuyến nên CM EF b) (1,5 đ) Vì EDC FBC ED FB NCF vng C có CB NF Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng NCF ta có: BC NB.BF a NB.DE (đpcm) 2 BC CN CF (1) Xét ECF vng cân ta có: 2 FC FE (2) 1 a CN FE Từ (1) (2) FE EC FC 2 FC c) (1,5 đ) Xét CEF vng C có CM đường trung tuyến nên CM EF AM EF Xét AEF vng A có AM đường trung tuyến nên CM AM M thuộc đường trung trực AC Vì ABCD hình vuông nên B, D thuộc đường trung trực AC B, D, M thẳng hàng thuộc đường trung trực AC (đpcm) d) (1,5 đ) Đặt Liên hệ tài 039.373.2038 DE x x BF x liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com S ACFE S ACF S AEF AF AE CB AB BF AE AD a x DE a x x S ACFE 3S ABCD a x x 3a 6a ax x 0 2a x 3a x 0 Do x 0; a 3a x 2a x 0 x 2a A trung điểm DE AE a AN AE 1 Vì AE //BC nên NB BC N trung điểm AB S ACFE 3S ABCD Câu (1 điểm) 2 Tìm tất số nguyên dương a, b, cho a b chia hết cho a b Lời giải a b a b 1 a b Ta có: a k b ka b 2 k a 2b 1 * , với k mb a k (1) m ka b m * m b ka (2) Đặt Từ (1) (2) suy ra: mb m b a k ka m 1 b 1 a 1 k ka Do (3) * m, b m 1 b 1 0 a 1 k ka 0 Vì từ (3) suy ra: k ka 0 k a 1 Lại a nên suy ra: k a 1 0 k a 1 Vì a 0, k nên a 1 k a 1 0 a 1 k a 1 1 k 1 m 1 b 1 2 Với a 1 Thay vào (3) ta được: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com m 2 b 2 m 1 b 2 m 3 b 2 m 2 b 3 Vậy trường hợp ta hai cặp a 1; b 2 a 1; b 3 Với a 2 k 1 Thay vào (3) ta có: Khi b 1 ta a 2; b 1 b 1 m 1 m 1 b 1 0 Khi m 1 ; từ (1) suy a k b b 3 Khi đó: a 2; b 3 a; b 1; , 1;3 , 2;3 , 2;1 Vậy có cặp số thỏa mãn HẾT Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC