19 hsg toan 9 2020 2021 vong 3 archimedes academy ha noi toan thcs vn

Website:tailieumontoan.com TRƯỜNG ARCHIMEDES ACADEMY ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP (Đề thi gồm 02 trang) NĂM HỌC: 2020 – 2021 Đề số 19 Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu (5,0 điểm) a) Cho đa thức P( x)  x  x  x  có nghiệm thực a i) Hỏi, có tồn không số thực c khác a thỏa mãn P(c ) 0? ii) Xét đa thức Q  x   x  x  10 x  10 có nghiệm thực b Chứng minh a  b 1 P x Q x (Học sinh không cần chứng minh hai đa thức     có nghiệm thực làm Tuy nhiên có điểm thưởng cho bạn chứng minh điều này) 2 b) Tồn không số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  2abc 1 Câu ( a  bc)      b    c    14 ? 2 (5,0 điểm) n2  a) Cho số nguyên dương n thỏa mãn tích hai số nguyên dương liên 2n  tiếp Chứng minh n chia dư số phương p  p   q  2q   r  2r   p , q , r b) Tìm tất số nguyên tố thỏa mãn số phương c) Có tồn khơng lũy thừa cho viết lại chữ số theo thứ tự thích hợp ( chữ số không viết đầu ), ta thu Câu lũy thừa khác ? ( điểm) a) Cho ba số thực dương a , b , c Chứng minh a  b3  c3 81 ab  bc  ca   30 abc  a  b  c b) Xét số thực a , b , c thay đổi Tìm giá trị lớn biểu thức P Câu a b c   a  a 1  b2  b 1  c2  c  1 (6 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Cho tam giác ABC vng A ( AB  AC ) , có đường cao AH ( H  BC ) Gọi D trung điểm đoạn AC , N trung điểm đoạn AD I hình chiếu vng góc điểm H đường thẳng AB Các đường thẳng HN ID cắt điểm P Gọi K giao điểm hai đường thẳng AP HI a) Chứng minh hai đường thẳng AK BD vng góc với b) Gọi G giao điểm hai đường thẳng BD IH Trên đoạn AG lấy điểm E  cho BE BH Chứng minh BEK 90 c) Gọi F điểm đối xứng với điểm E qua điểm A Qua điểm E , kẻ đường thẳng song song với đường thẳng BK điểm L Gọi M trung điểm đoạn EK Các đường thẳng ML AG cắt điểm O Chứng minh hai đường thẳng BO FL vuông góc với Câu (1 điểm) Cho bảng vuông 18 x18 Người ta điền số nguyên dương từ đến 324 vào ô vuông bảng, số khơng có hai điền số giống Ở hàng, người ta chọn số lớn thứ tư điền vào ô vng hàng Gọi S tổng 18 số chọn Chứng minh tồn hàng có tổng tất số điền vào vng hàng nhỏ S  HẾT  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Bài (5,0 điểm) a) Cho đa thức P( x )  x  x  x  có nghiệm thực a i) Hỏi, có tồn không số thực c khác a thỏa mãn P(c ) 0? ii) Xét đa thức Q  x   x3  x  10 x  10 có nghiệm thực b Chứng minh a  b 1 P x Q x (Học sinh không cần chứng minh hai đa thức     có nghiệm thực làm Tuy nhiên có điểm thưởng cho bạn chứng minh điều này) 2 b) Tồn không số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  2abc 1 ( a  bc) 1     b    c    14 ? 2 Lời giải a) Cho đa thức P( x )  x  x  3x  có nghiệm thực a i) Hỏi, có tồn khơng số thực c khác a thỏa mãn P(c) 0? P c 0 P a 0 Giả sử tồn c a cho   mà   nên a  2a  3a  c  2c  3c    a  c   a  ac  c  2a  2c  3 0   c2 3c   a  c   a  ac   2a  c    c   0 4    c  c  c   2c     a  c    a   1   0      a c (vô lý) Suy không tồn c thỏa mãn toán ii) Xét đa thức a  b 1 Q  x   x  x  10 x  10 có nghiệm thực b Chứng minh Theo giả thiết: 3 Có x a nghiệm P( x ) x  x  3x   a  2a  3a  0 Q x  x  x  10 x  10  b3  5b  10b  10 0 Có x b nghiệm     b3  5b  10b  10 0 a  2a  3a   b3  5b  10b  10  a3  2a  3a  b3  3b  3b   2b2  4b    3b  a  2a  3a   b     b     b  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  a  2a  3a    b     b     b   0 P x Suy x a , x 1  b hai nghiệm   a  b 1 2 b) Tồn không số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  2abc 1 ( a  bc) 1   Ta xem a  2abc  b  c  0  1 Giả sử phương trình Ta có  1   b    c    14 ? 2 phương trình bậc hai với ẩn a có nghiệm a   b c  b  c    b    c  0  1  a  bc  2 1 b  1 c   a  bc    b    c  Có Đặt  a  bc  1    b2    c      x    b2    c2  , x 0 1    trở thành: x   x    x  x   1  x  0 2  (vô lý) 2 Vậy không tồn số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  2abc 1 thỏa ( a  bc)    Bài   b    c    14 2 (5,0 điểm) n2  d) Cho số nguyên dương n thỏa mãn tích hai số nguyên dương liên tiếp Chứng minh n chia dư 2n  số phương    số e) Tìm tất số nguyên tố p, q, r thỏa mãn  phương f) Có tồn không lũy thừa cho viết lại chữ số theo thứ tự thích hợp ( chữ số khơng viết đầu ), ta thu p  p q  q r  2r lũy thừa khác ? Lời giải a) Ta có n2  k  k  1 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu  k  *   word môn  2n  1  2n  1  2k  4n  4k  4k     3 tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 2n     2n  1,  1  TH1: 2n  13  2n   2n   p ; q  p  3q 2  p 2  mod  ( vô lý) TH2: 2n  13  n 1 mod 3 2n   2n   , 2n  1 1   số phương   pqr  p    q    r   b) Theo p, q, r số nguyên tố số phương  pqr  p    q    r    kpqr   k      p    q    r   k * pqr Ta có pqr   p    q    r   8 pqr   k 8  k 2   p    q    r   4 pqr Vậy ba số p, q, r phảo có số khơng tính tổng qt giả sử r 2   p    q   8 pq   p    q   2 pq  p, q phải có số q  giả sử   p   4 p  2 ( vô lý) Vậy khơng có số thỏa mãn u cầu tốn m n m n c) giả sử có hai số  thỏa mãn yêu cầu toán   9   m  n 3 m n Vì hai số ; có chữ số giống  2m 2n  mod   2m  2n 9  2n  2m  n  1 9  2m  n  19  1 Thử giá trị m  n 1; m  n 2; m  n 3 Ta thấy không thỏa mãn   Vậy khơng có số thỏa mãn Bài ( điểm) a) Cho ba số thực dương a , b , c Chứng minh a  b3  c3 81 ab  bc  ca   30 abc  a  b  c b) Xét số thực a , b , c thay đổi Tìm giá trị lớn biểu thức P a b c   a  a 1  b2  b 1  c2  c  1 Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com P a) Đặt a  b3  c 81 ab  bc  ca   abc  a  b  c   a  b3  c   81 ab  bc  ca  P  30   3    27  abc      a  b  c  Ta có   a  b  c   a  b  c  ab  bc  ca  abc  ab  bc  ca    a  b  c   27   a b  c   1 27   a  b  c    ab  bc  ca       2  ab bc ca  a  b  c   9      a  b  c    ab  bc  ca      0 ab  bc  ca ab  bc  ca  CBS 2 2 a  b  c  3  ab  bc  ca  a, b, c (Do a  b  c ab  bc  ca  , ) Do P 30 Dấu “=” xảy a b c Vậy ta có đpcm 1  a  a   a     0, a 2  b) Ta có 2 Tương tự b  b   0, b ; c  c   0, c Do a  b  c  P    Ta xét trường hợp a  b  c 2 P  a b c  2 2   3   3   3  a      b      c                 a b c  2        1 1 1   a       b    3   c    3 64   2 2 2        Ta chứng minh bổ đề x  x  y  z  1 Thật 2  3  y  3  z  3 4  x  y  z  1 , x, y , z (*)   y  z  1    x  3      BCS Do ta cần chứng minh Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com  y  z  1 1 y     z  3  16   y  z   yz   y  z  3 y z   y  z   27  y z   y  z   yz   y  z   11 0 2 2  yz  1   y  1   z  1   y  z  0 (luôn đúng) Như ta có (*) ln 1 1 1    x 2  a   y 2  b   z 2  c   2 , 2,  ta có    Áp dụng (*) với 2        1 1 1   a    3   b    3   c    3 4  2a  2b  2c   2 2 2           P a b c  2 4 4  a  b  c  1 64   a  b  c  2  a  b  c  1 P Đặt t a  b  c , t 2 ,  t  2 Lại có   t  1  t  2  t  1 2  1  t  2  t  1 4t    t  2t  1  t  1 2    t  6t    t  1    t  3  t  1 2 0, t 2 1, t 2 (2) Từ (1) (2) suy P 1 Dấu “=” xảy a b c 1 Vậy GTLN P Bài (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông A ( AB  AC ) , có đường cao AH ( H  BC ) Gọi D trung điểm đoạn AC , N trung điểm đoạn AD I hình chiếu vng góc điểm H đường thẳng AB Các đường thẳng HN ID cắt điểm P Gọi K giao điểm hai đường thẳng AP HI a) Chứng minh hai đường thẳng AK BD vng góc với b) Gọi G giao điểm hai đường thẳng BD IH Trên đoạn AG lấy điểm E  cho BE BH Chứng minh BEK 90 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com c) Gọi F điểm đối xứng với điểm E qua điểm A Qua điểm E , kẻ đường thẳng song song với đường thẳng BK điểm L Gọi M trung điểm đoạn EK Các đường thẳng ML AG cắt điểm O Chứng minh hai đường thẳng BO FL vng góc với Lời giải a) Chứng minh hai đường thẳng AK BD vng góc với Có HK // AC (do vng góc AB )  HI HP HK HP   ND PN AN PN , mà AN  ND  HI HK Ta có HIA ∽ BAC  HI AB KI HI AB AB      IA AC IA IA AC AD  IK AB  IA AD hay KIA ∽ BAD Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com       AKI DBA , có DBA  ADB 90 , ADB DGK (so le)   AKI  DGK 90  BD  AK b) Gọi G giao điểm hai đường thẳng BD IH Trên đoạn AG lấy điểm E  cho BE BH Chứng minh BEK 90 Gọi T giao điểm KI BE ABK có hai đường cao KI , BD cắt G  G trực tâm BAK nên AG  BK 2 Có BE BH BI BA  BE BA  BI BE  BEI ∽ BAE  EAB     IEB , có EAB BKI (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vng góc)  BKI   IEB  IET ∽ BKT (g.g)  IT ET  BT KT  KTE ∽ BTI     KET BIT 90 hay BEK 90 c) Gọi F điểm đối xứng với điểm E qua điểm A Qua điểm E , kẻ đường thẳng song song với IK cắt đường thẳng BK điểm L Gọi M trung điểm đoạn EK Các đường thẳng ML AG cắt điểm O Chứng minh hai đường thẳng BO FL vuông góc với Gọi Q trung điểm BE , X giao điểm AG với BK , Y giao điểm LO với BF    Có KEL EKI EBA (do IBT ∽ EKT )   Có ELK BAE (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vng góc)  LEK ∽ ABE (g.g)  EK LE LK   BE AB AE , có BE 2QE , EK 2MK Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  MK LK  QE AE  MLK ∽ QAE (c.g.c)        MLK QAE , QAE BFE (đồng vị)  MLK BFE  BFX ∽ BLY (g.g)    BYL FXB 90 BLF có hai đường cao FX LK cắt O  O trực tâm BLF  BO  LF Bài (1 điểm) Cho bảng ô vuông 18 18 Người ta điền số nguyên dương từ đến 324 vào ô vuông bảng, ô số hai điền số giống Ở hàng, người ta chọn số lớn thứ tư điền vào vng hàng Gọi S tổng 18 số chọn Chứng minh tồn hàng có tổng tất số điền vào ô vuông hàng nhỏ S Lời giải Ta gọi giả sử bi  i 18  số hạng lớn thứ tư hàng thứ i Không tính tổng quát b1  b2  b3   b18 Ta có nhận xét : b1 15 ( b1 lớn 14 số hàng đó) b2 30 ( b2 lớn 14 số hàng lớn 15 số hàng có b1 ) Tương tự ta có bi 15.i  b16  b17  b18 15  16  17  18  765 a  j 18  b Gọi j  số hàng chứa Khơng tính tổng qt giả sử a1  a2  a18 Ta có : a16  a17  a18 322  323  324 969; b1 a15  b1  a1 14 a2  a3   a15  b2  b2  a2 14 ( hai giá trị a2 b2 có 13 giá trị) Tương tự ta có Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word bi  14  i  ;1 i 15  mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 18 Xét hiệu   b  a   b  a     b i i 1 15  a15    b16  b17  b18    a16  a17  a18  i 1 18    b  a  14.15  765  969 6  i i i 1 Vậy có hàng có tổng nhỏ S  HẾT  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC