Sản phẩm nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM Tuyển Tập Đề Thị Học Sinh Giỏi Các Tỉnh SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI NĂM HỌC: 2020 - 2021 THCS&THPTNTT Mơn: Tốn lớp – Vịng (Đề thi gồm 01 trang) (Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề) + x x 2 − x x − 3x A= − − ÷: ÷ (4,0 điểm) Cho biểu thức: − x x − + x 2x − x 1) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức 2) Tìm giá trị để A < (4,0 điểm) Giải phương trình: 1) x − 3x + + x − = 2 1 1 x + ÷ + x + ÷ − x + ÷ x + ÷ = ( x + ) 2) x x x x Bài (4, điểm) Chứng minh : Tìm số tự nhiên Bài (6,0 điểm) Cho để D = n5 − n + số phương ∆ ABC vuông A( AC > AB) , đường cao AH điểm D cho HD = HA Đường vng góc với BC D Chứng minh rằng: ∆ BEC ∽ ∆ ADC Tính BE Gọi Bài n a b c + + =1 ab + a + bc + b + ac + c + biết abc = Tia M AM trung điểm theo a = cắt AC ( H ∈ BC ) Trên tia HC lấy E AB BE Chứng minh rằng: ∆ BHM ∽ ∆ BEC Tính ·AHM GB HD = cắt BC G Chứng minh rằng: BC AH + HC (2 điểm) B = a + b2 + 1 + a2 b2 Cho a > 0, b > a + b ≤ Tìm GTNN biểu thức Một bà mẹ chiều nên ngày cho ăn kẹo Để hạn chế, tuần bà cho ăn không 10 kẹo Chứng minh số ngày liên tiếp bà mẹ cho tổng số 13 kẹo HẾT Sản phẩm nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM Trang Sản phẩm nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM Tuyển Tập Đề Thị Học Sinh Giỏi Các Tỉnh HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN (2020 – 2021) Bài (4,0 điểm) Cho biểu thức: + x x 2 − x x − 3x A= − − ÷: ÷ − x x − + x 2x − x 1) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức 2) Tìm giá trị A x để A < Lời giải 1) ĐKXĐ: x ≠ ±2; x ≠ 0; x ≠ + x x 2 − x x − 3x A= − − ÷: ÷ − x x − + x 2x − x ( + x ) + x − ( − x ) x ( x − 3) = ÷: ÷ x ( − x) + x − x ( ) ( ) + x + x + x − + x − x x ( x − 3) = : x ( − x) ( + x) ( − x) x2 + 8x x ( − x ) = ( + x ) ( − x ) x ( x − 3) 4x ( x + 2) x 2+ x x− x2 = x−3 4x2 A= Vậy x − với x ≠ ±2; x ≠ 0; x ≠ = 4x2 A< 0⇒ (do x ≠ ) ⇒ x− 3< 0⇔ x< Mà x ≠ ± 2; x ≠ Kết hợp ĐKXĐ ta được: x < x ≠ ± 2; x ≠ Vậy với x < A < Bài (4, điểm) Giải phương trình: 1) x − 3x + + x − = Sản phẩm nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM Trang Sản phẩm nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM Tuyển Tập Đề Thị Học Sinh Giỏi Các Tỉnh 2 1 1 x + ÷ + x + ÷ − x + ÷ x + ÷ = ( x + ) 2) x x x x Lời giải 1) Với x ≥ x − = x − , phương trình trở thành: x − 3x + + ( x − 1) = ⇔ ( x − 1) ( x − ) + ( x − 1) = ⇔ ( x − 1) = ⇔ x = (thỏa mãn) Với x < x − = − x , phương trình trở thành x − 3x + − ( x − 1) = ⇔ ( x − 1) ( x − ) − ( x − 1) = x = ⇔ ( x − 1) ( x − 3) = ⇔ x = (loại) Vậy tập nghiệm phương trình S 2) ĐKXĐ: = { 1} x≠ 2 1 1 x + ÷ + x + ÷ − x + ÷ x + ÷ = ( x + ) x x x x 2 2 2 1 ⇔ x + ÷ + x + ÷ − − x + ÷ − x + ÷ = ( x + ) x x x x 4 2 1 1 1 1 1 ⇔ x + ÷ + x + ÷ − 16 x + ÷ + 16 − x + ÷ + x + ÷ = ( x + ) x x x x x ⇔ ( x + ) = 16 x + = ⇔ x + = −4 x = ⇔ x = − ( loaïi ) ( t /m ) Sản phẩm nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM Trang Sản phẩm nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM Vậy tập nghiệm phương trình S Bài Tuyển Tập Đề Thị Học Sinh Giỏi Các Tỉnh = { − 8} (4, điểm) Chứng minh a b c + + =1 ab + a + bc + b + ac + c + biết abc = Tìm số tự nhiên n để D = n5 − n + số phương Lời giải Ta có a b c + + ab + a + bc + b + ac + c + a b c = + + ab + a + abc bc + b + ac + c + a b c = + + a ( bc + b + 1) bc + b + ac + c + VT = b+1 c + bc + b + ac + c + abc + b c = + bc + b + ac + c + ac + c = + ac + c + ac + c + ac + c + = =1 ac + c + = Có D = n5 − n + = n ( n − 1) + = n ( n + 1) ( n2 − 1) + = n ( n − 1) ( n + 1) ( n + 1) + Ta thấy n ( n − 1) ( n + 1) M3 ⇒ D ≡ 2(mod3) Mà a ≡ 0;1(mod3)(a ∈ N ) Vậy khơng có số tự nhiên Bài n để D = n5 − n + số phương ∆ ABC vng A( AC > AB ) , đường cao AH ( H ∈ BC ) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đường vng góc với BC D cắt AC E Cho Chứng minh Gọi Tia M AM ∆ BEC ∽ ∆ ADC Tính BE theo a = trung điểm BE Chứng minh rằng: AB ∆ BHM ∽ ∆ BEC Tính ·AHM GB HD = cắt BC G Chứng minh rằng: BC AH + HC Sản phẩm nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM Lời giải Trang Sản phẩm nhóm: TOÁN THCS VIỆT NAM Tuyển Tập Đề Thị Học Sinh Giỏi Các Tỉnh ∆ BEC ∽ ∆ ADC Tính BE theo a = AB Kẻ EI ⊥ AH Chứng minh rằng: · = HDA · = 450 ⇒ ·ADC = 1350 ∆ AHD cân H ⇒ HAD Xét ∆ AHB ∆ EIA có: ·AEI = BHA · ; EI = HD = AH ; BHA · = EIA · ⇒ ∆ AHB = ∆ EIA(cgc) ⇒ AE = AB ⇒ ∆ ABE cân A · = 450 ⇒ BEC · = 1350 ⇒ ·ABE = BEA Xét ∆ BEC · = 1350 (cmt) ∆ ADC có: Chung Cµ , ·ADC = BEC ⇒ ∆ BEC ∽ ∆ ADC ∆ ABE vuông cân A, ta có BE = a Gọi M trung điểm BE Chứng minh rằng: ∆ BHM ∽ ∆ BEC Tính ·AHM Áp dụng ĐL Pytago vào ⇒ AM = MD = BE ∆ BDE, ∆ ABE có AM , BD trung tuyến AM MD = ÷ · Ta có: tan ·AHM = tan DHM HM HM · · · + ·AHM = 1350 ⇒ ·AHM = DHM = 450 ⇒ BHM = BHA · · = 1350 Xét ∆ BHM ∆ BEC có: Chung góc B, BHM = BEC ⇒ ∆ BHM ∽ ∆ BEC (gg) GB HD = Tia AM cắt BC G Chứng minh rằng: BC AH + HC ∆ ABE cân A, có AG đường trung tuyến nên AG đường phân giác Sản phẩm nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM Trang Sản phẩm nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM Bài ⇒ AB GB = AC GC ⇒ HA GB = HC GC mà AH ⇒ HA GB = HA + HC GC Mà Tuyển Tập Đề Thị Học Sinh Giỏi Các Tỉnh AB HA = AC HC = HD ⇒ HA GB HA GB = ⇒ = HC GC HA + HC GB + GC (2,0 điểm) B = a + b2 + 1 + a2 b2 Cho a > 0, b > a + b ≤ Tìm GTNN biểu thức Một bà mẹ chiều nên ngày cho ăn kẹo Để hạn chế, tuần bà cho ăn không 10 kẹo Chứng minh số ngày liên tiếp bà mẹ cho tổng số 13 kẹo Lời giải Ta có B = a + b2 + 1 + a2 b2 1 1 1 1 a + ÷ + b + ÷ − ≥ a + b + + ÷− 2 a b a b 1 a+b+ + ≥ a+b+ = a +b + ≥ 2+3= ÷+ Mà a b a+b a+b a+b ⇒ P≥ 17 17 ⇒ P = ⇔ a = b = 2 2 Cách Xét tổng với số kẹo ăn ngày thứ Ta xét đến Theo nguyên tắc Dirickle phải tồn tổng số dư chia cho Khi chia hết cho mà dễ Cách Xét hai tuần liên tiếp gồm 14 ngày gọi tự ( n1; n2 ; n3 ; n4 n14 số kẹo em bé ăn ngày theo thứ ) Gọi a ≤ a ≤ 10 số kẹo em bé ăn tuần thứ +)Nếu tuần thứ em bé ăn kẹo dễ thấy thỏa mãn +)Nếu tuần thứ em bé ăn 10 kẹo suy n5 + n6 + + n14 ≥ 13 ⇒ 13 + n1 + n2 + n3 < n1 + n14 = a + 10 ta xét tổng liên tiếp S1 = n1 + n8 ; S2 = n1 + n9 ; S7 = n1 + n14 Các tổng số khác 10 số liên tiếp từ số bốn số a + tới a + 10 nên phải có 13; 13 + n1;13 + n1 + n2 ;13 + n1 + n2 + n3 có tổng 13 tổng Sản phẩm nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM Trang Sản phẩm nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM Tuyển Tập Đề Thị Học Sinh Giỏi Các Tỉnh có tổng thỏa mãn Nếu có tổng 13 + n1 tổng thỏa mãn Tương tự có hai số ta lấy tổng bỏ số hạng 13 + n1 + n2 ;13 + n1 + n2 + n3 n1 ta lấy tổng bỏ n1 + n2 ( n1 + n2 + n3 ) tổng thỏa mãn +) Chứng minh tương tự cho trường hợp tuần em bé ăn kẹo Cách Xét hai tuần liên tiếp gồm 14 ngày gọi tự ( n1; n2 ; n3 ; n4 n14 số kẹo em bé ăn ngày theo thứ ) Gọi a ≤ a ≤ 10 số kẹo em bé ăn tuần thứ +)Nếu tuần thứ em bé ăn kẹo dễ thấy thỏa mãn +)Nếu tuần thứ em bé ăn 10 kẹo suy n5 + n6 + + n14 ≥ 13 ⇒ 13 + n1 + n2 + n3 < n1 + n14 = a + 10 ta xét tổng liên tiếp S1 = n1 + n8 ; S2 = n1 + n9 ; S7 = n1 + n14 Các tổng số khác 10 số liên tiếp từ số bốn số a + tới a + 10 nên phải có 13; 13 + n1;13 + n1 + n2 ;13 + n1 + n2 + n3 có tổng 13 tổng có tổng thỏa mãn Nếu có tổng 13 + n1 tổng thỏa mãn Tương tự có hai số ta lấy tổng bỏ số hạng 13 + n1 + n2 ;13 + n1 + n2 + n3 n1 ta lấy tổng bỏ n1 + n2 ( n1 + n2 + n3 ) tổng thỏa mãn +) Chứng minh tương tự cho trường hợp tuần em bé ăn kẹo HẾT Sản phẩm nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM Trang ... + n14 ≥ 13 ⇒ 13 + n1 + n2 + n3 < n1 + n14 = a + 10 ta xét tổng liên tiếp S1 = n1 + n8 ; S2 = n1 + n9 ; S7 = n1 + n14 Các tổng số khác 10 số liên tiếp từ số bốn số a + tới a + 10 nên phải có 13 ;... + n14 ≥ 13 ⇒ 13 + n1 + n2 + n3 < n1 + n14 = a + 10 ta xét tổng liên tiếp S1 = n1 + n8 ; S2 = n1 + n9 ; S7 = n1 + n14 Các tổng số khác 10 số liên tiếp từ số bốn số a + tới a + 10 nên phải có 13 ;... 13 ; 13 + n1 ;13 + n1 + n2 ;13 + n1 + n2 + n3 có tổng 13 tổng có tổng thỏa mãn Nếu có tổng 13 + n1 tổng thỏa mãn Tương tự có hai số ta lấy tổng bỏ số hạng 13 + n1 + n2 ;13 + n1 + n2 + n3 n1 ta