Chuyên đề học sinh giỏi năm học 2014 - 2015 Một số biện pháp tổ chức bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS

PHÒNG GD&ĐT NINH HÒATỔ BỘ MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014 - 2015 MỘT SỐ BIỆN PHÁP TỔ CHỨC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN THCS A.. Thuận lợi: - Đối tượng bồi dưỡng là những

PHÒNG GD&ĐT NINH HÒA

TỔ BỘ MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014 - 2015

MỘT SỐ BIỆN PHÁP TỔ CHỨC BỒI DƯỠNG

HỌC SINH GIỎI TOÁN THCS

A THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ:

1 Thuận lợi:

- Đối tượng bồi dưỡng là những học sinh khá giỏi, có khả năng học tập tự giác, tích cực

và tự lực; khả năng tư duy sáng tạo cao và đã được tuyển chọn từ các trường THCS

- Được sự quan tâm, động viên kịp thời cả về tinh thần lẫn vật chất của gia đình và nhà trường và của lãnh đạo Phòng GDĐT

2 Khó khăn:

- Nội dung bồi dưỡng: Vì đối tượng bồi dưỡng ở đây không phải là học sinh lớp chuyên, trường chuyên mà là học sinh ở các trường đại trà nên không có chương trình dành cho lớp chuyên, thiếu định hướng và thiếu tính liên thông trong hệ thống chương trình Tất cả giáo viên dạy bồi dưỡng đều phải tự soạn, tự nghiên cứu và tự sưu tầm tài liệu

- Học sinh: Một số không yên tâm khi theo học lớp bồi dưỡng HSG, vì phải mất nhiều thời gian, ảnh hưởng đến sức khỏe và kết quả học tập chung

- Giáo viên dạy bồi dưỡng: Vẫn phải hoàn thành nhiệm vụ công tác tại trường, thực hiện giảng dạy như các giáo viên khác, đôi khi còn kiêm nhiệm nhiều công tác khác như: chủ nhiệm,

tổ trưởng bộ môn, … Đó là một thực tế, vì lãnh đạo nhà trường lúc nào cũng muốn giao công tác cho những giáo viên tốt, giỏi, có uy tín Vì vậy, việc đầu tư cho công tác bồi dưỡng HSG cũng có phần bị hạn chế

B GIẢI PHÁP THỰC HIỆN:

Để công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán có hiệu quả, giáo viên phải làm được những công việc sau:

1 Phát hịên, tuyển chọn HSG: thông qua kỳ thi HSG cấp thị xã.

2 Phân loại học sinh: thông qua kết quả thi HSG cấp thị xã, giáo viên tiến hành phân loại học

sinh để xây dựng chương trình và nội dung bồi dưỡng

3 Xây dựng kế hoạch và nội dung bồi dưỡng: Việc xây dựng kế hoạch và nội dung bồi dưỡng

môn Toán cho học sinh giỏi là khâu hết sức quan trọng, nó là vấn đề cốt lõi để hoạt động bồi dưỡng môn Toán cho HSG đi đúng hướng theo chương trình Trong kế hoạch cần thể hiện rõ một số vấn đề như:

- Mục tiêu của kế hoạch.

- Thời gian thực hiện: Để chương trình bồi dưỡng HSG có hiệu quả, vấn đề thời gian bồi dưỡng cũng góp phần không nhỏ Kế hoạch bồi dưỡng phải rải đều trong tuần, trong tháng, không nên dạy dồn ở tuần cuối, tháng cuối trước khi thi Cụ thể: một tuần 3 buổi, mỗi buổi 4 tiết (rải đều trong tuần); chúng tôi tiến hành trong 12 tuần

- Xây dựng chương trình, nội dung bồi dưỡng: Dựa vào kế hoach tổ chức thi HSG cấp tỉnh, hàng năm chúng tôi đã đưa ra một số chuyên đề cơ bản sau:

1 Biến đổi đồng nhất thức

2 Biến đổi căn thức

3 Phương trình – Bất phương trình

4 Hệ phương trình

5 Phương trình bậc hai – định lý viét (nếu cần)

6 Bất đẳng thức – Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

7 Số học

8 Tam giác – Tứ giác

9 Các bài toán về đường tròn

10 Diện tích tam giác – đa giác

11 Cực trị trong hình học

- Cơ sở vật chất thiết bị có liên quan

- Các lực lượng giáo dục tham gia

- Chỉ tiêu về số và chất lượng cần đạt

4 Tổ chức bồi dưỡng: GV tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi phải biết hướng dẫn cho HS

phương pháp tự học, biết độc lập suy nghĩ, sáng tạo khi giải quyết vấn đề Giúp học sinh chủ động chia sẽ với GV và các bạn trong lớp những bài tập, những ý tưởng mà các em chưa thông hiểu Qua thực tế tiết học bồi dưỡng môn Toán cần bao gồm các bước cơ bản sau đây

- Bước 1: Kiểm tra, nhận xét kết quả học tập ở nhà

- Bước 2: Hệ thống hóa, mở rộng kiến thức đang học theo từng chủ đề

- Bước 3: Nâng cao kiến thức Toán cần bồi dưỡng cho học sinh

- Bước 4: Tổng kết và giao nhiệm vụ học tập ở nhà

Ngoài những công việc trên thì việc giảng dạy là quan trọng nhất Khi giảng dạy phải dạy cho học sinh theo từng dạng toán, theo từng chuyên đề, ở mỗi dạng toán phải nêu bật cho học sinh cách làm và khai thác bài toán ở nhiều khía cạnh khác nhau

Và sau đây chúng tôi xin đưa ra một số ví dụ nhằm nâng cao tính khái quát hoá, đặc biệt hoá, tổng quát hoá một bài toán; từ đó phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo, linh hoạt cho các

em HS; giúp cho HS nắm chắc, hiểu sâu rộng kiến thức hơn một cách lôgic, khoa học, tạo hứng thú khoa học yêu thích bộ môn toán hơn

VÍ DỤ 1:

KHAI THÁC BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

A = a 3 + b 3 + c 3 - 3abc

Giải:

3 3

2 2 2

A=(a+b) + c - 3ab(a+b)-3abc = (a+b+c) a+b

= a+b+c (a +b +c -ab-bc-ca)

Khai thác bài toán:

* Từ kết quả trên ta có ngay bài toán:

Bài 1: Chứng minh rằng: Nếu a3 + b3 + c3= 3abc thì a + b + c = 0 hoặc a = b = c và ngược lại

Bài 2: Nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thỏa a 3 +b 3 +c 3 = 3abc thì đó là tam giác đều.

Bài 3: Chứng minh rằng: Nếu a, b, c là các số dương đôi một khác nhau thì giá trị của A là số

dương

Bài 4: Cho a, b, c là các số nguyên thoả mãn a + b + c = 0 Chứng minh rằng: a3 +b3+c3 chia hết cho 3abc

* Nhận xét: Nếu thay a = x – 3; b = 2x + 1; c = 2 – 3x thì a + b + c = 0 Sử dụng kết quả trên

ta có (x – 3) 3 + (2x + 1) 3 + (2 – 3x) 3 = 3(x – 3)(2x + 1)(2 – 3x) Ta đến với bài toán:

Bài 5: Giải phương trình: (x – 3)3 + (2x + 1)3 = (2 – 3x)3

* Nhận xét: Nếu thay a = x – y; b = y – z ; c = z – x thì a + b + c = 0 Theo kết quả trên ta có a 3 + b 3 + c 3 = 3abc; suy ra (x – y) 3 +(y – z) 3 + (z – x) 3 = 3(x – y)(y – z)(z – x) Nên ta có bài toán sau:

Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: (x – y)3 +(y – z)3 + (z – x)3

* Nhận xét: Nếu thay a = , b = , c =1 1 1

và kết luận của bài toán: 1 1 1+ + = 0

x y z => xy + xz + yz = 0

3 3 3 2 2 2

Ta có bài toán rất hay như sau:

Bài 7: a) Biết 1 1 1 0

a b c   (a,b,c khác 0) Tính giá trị của biểu thức Q = bc ca ab2 + 2 + 2

b) Cho x, y, z là các số khác 0 thoả mãn xy + xz + yz = 0 Tính giá trị của biểu thức:

yz xz xy

* Nhận xét: Ta thấy với a + b + c = 0 thì

3abc a + b + c a b c

abc abc bc ac ab Ta có một số bài toán:

Bài 8: Cho a, b, c là ba số khác 0 thoả mãn a + b + c = 0 Tính giá trị của biểu thức:

a) M = a2 +b2 +c2

b)

2 2 2 2 2 2 2 2 2

a - b - c b - c - a c - a - b

Bài 9: Cho a3 + b3 + c3 = 3abc và abc 0 Tính giá trị của biểu thứcQ 1 a 1 b 1 c

Bài 10: Cho a3 + b3 + c3 = 3abc và a + b +c 0 Tính giá trị của biểu thức:

2 2 2

2

a + b + c

A = (a + b + c)

* Nhận xét : Suy luận và phát triển thành các bài toán hay và khó hơn:

Thay c bởi c + d vào a3 + b3 + c3 = 3abc ta được:

a3 + b3 + (c+d)3= 3ab(c+d)

<=> a3 + b3 + c3 +d3= 3ab(c+d) - 3cd(c+d)

<=> a3 + b3 + c3 +d3= 3(c+d)(ab-cd)

Ta đến với bài toán:

Bài 11: Chứng minh rằng nếu a+b+c+d = 0 thì a3 + b3 + c3 +d3= 3(c + d)(ab – cd).

* Nhận xét: Nếu thay a = 2 – x, b = – (y + 2), c = x + y thì a + b + c = 0 Ta đến với bài toán:

Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên (Tìm các cặp số nguyên x,y thỏa)

(x + y)3 = (x – 2)3 + (y + 2)3 + 6

Bài 13: Tìm giá trị của k để x3 + y3 +z3 +kxyz chia hết cho x + y + z với mọi x, y, z

* Tiểu kết: Trong quá trình giảng dạy và học tập toán, việc khai thác, tìm hiểu sâu thêm kết quả của bài toán là rất quan trọng và rất có ích

VÍ DỤ 2:

Trong chuyên đề biến đổi căn thức, một phép biến đổi đơn giản nhưng đã giúp ta giải

quyết nhiều bài toán một cách hiệu quả, đó là trục căn thức ở mẫu Học sinh hiểu được việc nhân

biểu thức liên hợp nhằm trục căn ở mẫu và giải toán một cách dễ dàng Và chúng tôi xin hệ thống lại như sau:

I Tính giá trị biểu thức:

Bài tập 1: Rút gọn biểu thức:

a) A =

n

n 













1

4 3

1 3

2

1 2

1 1

b) B =

100 99 99 100

1

4 3 3 4

1 3

2 2 3

1 2

2

1

















c) C =

100 99

1

4 3

1 3

2

1 2

1

1

















Bài tập 2: Tính: A =

1 3 9

4 1

3

2

3 3

3    

Bài tập 3: Cho a a22012  b b22012 2012, Hãy tính tổng a + b

Bài tập 4: Cho x x22013  y y220132013, Hãy tính giá trị biểu thức

T = x2013 + y2013

II Giải phương trình:

Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm x như vậy phương trình luôn đưa0

về được dạng tích x x A x 0   0 ta có thể giải phương trình A x  hoặc chứng minh  0

A x  vô nghiệm, chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh giá

A x  vô nghiệm

Bài tập 1: Giải phương trình: x x 2  x x 1 2 x2 (1)

HD: ĐK x2;x1

 

Nếu x 1 ta có

3

2











Giải (3) ta tìm được x

Nếu x-2 ta có    

3

2









Giải (4) ta tìm được x

Bài tập 2: Giải phương trình sau:

3x  5x 1 x  2  3 x  x 1  x  3x4

HD: Ta nhận thấy: 3x2 5x1  3x2  3x 3 2x 2

x2 2  x2 3x4 3x 2

Ta có thể trục căn thức 2 vế:



Dễ dàng nhận thấy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài tập 3: Giải phương trình sau: x212 5 3  x x25

HD: Để phương trình có nghiệm thì: 2 12 2 5 3 5 0 5

3

x   x   x   x

Ta nhận thấy: x = 2 là nghiệm của phương trình, như vậy phương trình có thể phân tích về dạng x 2  A x 0, để thực hiện được điều đó ta phải nhóm, tách, nhân lượng liên hợp như sau:

Dễ dàng chứng minh được: 2 2 2 2 3 0, 5

3

x

Bài tập 4: Giải phương trình: 3 x2 1 x x3 1

HD: ĐK x 1

Nhận thấy x = 3 là nghiệm của phương trình, nên ta biến đổi phương trình

3

3

3

2 5

x

x



 

Ta chứng minh:

3

2 3

2 5

x



  Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3

Bài tập 5: Giải phương trình sau:

x

HD: ĐK: x 2 3

Nhân với lượng liên hợp của từng mẫu số của phương trình đã cho ta được:

x2  3 x x2  3 x2  3 x x2  3  3.x

0

x







 



2

0

x



Giải hệ trên ta tìm được x  2

Bài tập 6: Giải phương trình:

2 2

2

9

x

x x

 

HD: ĐK:

9 2 0

x x









 



2 2

9

x

2

9 4

x x

2

x

  là nghiệm

VÍ DỤ 3:

Khi dạy và học chuyên đề tam giác và tứ giác, có rất nhiều kiến thức đã được dùng để giải toán Một kiến thức tuy đơn giản nhưng vô cùng phức tập và phong phú khi dụng nó, đó là hệ

thức: 2 2 2

h a b Ở đây chúng tôi sẽ khai thác đơn vị kiến thức này từ một bài toán ở SGK nhằm giới thiệu cho HS cách hệ thống bài tập theo chủ đề, khai thác để phát triển tư duy cho HS, kiến thức trọng điểm của chủ đề, của bài tập Cụ thể như sau:

Bài toán 1: Cho hình vuông ABCD Gọi I là một điểm nằm giữa A và B Tia DI và tia CB cắt

nhau ở K Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L Chứng minh rằng:

a) Tam giác DIL là tam giác cân

b) Tổng 12 1 2

DI  DK không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB

* Nhận xét: Nếu bỏ đi câu a thì bài toán trở nên khó khăn hơn nhiều Và càng khó khăn hơn khi

bỏ bớt giả thiết bài toán Ta có bài toán sau:

Bài toán 1.1: Cho hình vuông ABCD Qua A vẽ một cát tuyến bất kỳ cắt các cạnh BC và

CD (hoặc đường thẳng chúa các cạnh đó) tại các điểm E và F Chứng minh rằng

AF

* Nhận xét: Nếu tứ giác ABCD là hình chứ nhật, AB = 2BC thì ta có bài toán sau:

Bài toán 1.2: Cho hình chứ nhật ABCD, AB = 2BC Trên cạnh BC lấy điểm E Tia AE

cắt đường thẳng CD tại F Chứng minh 12 12 1 2

* Nhận xét: nếu AD = t.AB (t>0) thì ta có bài toán tổng quát sau:

Bài toán 1.3: Cho hình chứ nhật ABCD, AD = t.AB (t > 0) Trên cạnh BC lấy điểm M.

Đường thẳng AM cắt đường thẳng CD tại P Chứng minh 12 1 2 22

AM

t

Có dáng dấp của bài toán 1.2, nhưng tứ giác không là hình chữ nhật, ta có bài toán sau:

Bài toán 2: Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O Cho biết khoảng cách từ O

tới mõi cạch hình thoi là h, AC = m; BD = n Chứng minh rằng: 12 12 12

Từ đó khai thác một số bài toán sau:

Bài toán 2.1: Cho hình thoi ABCD với A = 1200 Tia Ax tạo với tia AB một góc BAx bằng 150 và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng CD tại N Chứng minh rằng:

Bài toán: 2.2: Cho tam giác ABC có AB = 1cm; A = 1050; B = 600 Trên cạch BC lấy

điểm E sao cho BE = 1cm Vẽ ED//AB (D AC) Chứng minh rằng 12 12 4

Bài toán 2.3: Cho hình thoi ABCD có BAD 1200 Tia Ax tạo với tia AB một góc

BAx  và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng CD tại N Tính giá trị của biểu thức

2

T AB

Bài toán 3: Cho tam giác ABC vuông tại A Một đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam

giác cắt cácc cạnh AB; AC lần lươt tại M và N Chứng minh rằng:

+ 

VÍ DỤ 4:

Khi dạy chuyên đề “CÁC BÀI TOÁN DIỆN TÍCH ĐA GIÁC”

Trong chương trình toán phổ thông, học sinh nhiều lần “làm quen” với khái niệm diện tích

đa giác Từ cuối cấp I, học sinh đã biết các công thức tính diện tích tam giác và diện tích các tứ giác dạng đặc biệt Đến lớp 8, khi học sinh biết dùng phương pháp suy diễn, tổng hợp để xây dựng các công thức tính diện tích các đa giác và nhờ có thêm một loạt công cụ mới (các đoạn thẳng tỉ lệ, định lý Thalès, tam giác đồng dạng,…) thì các bài toán về diện tích đa giác càng trở nên phong phú, đa dạng và sâu sắc hơn Bởi vậy có thể tìm thấy các biểu thức nêu lên mối quan

hệ giữa diện tích đa giác với số đo các yếu tố của nó (cạnh, góc, các đường trong đa giác), quan

hệ diện tích giữa hai đa giác, quan hệ diện tích đa giác và diện tích các đa giác thành phần được chia ra bởi đa giác ban đều Các bài toán diện tích đa giác đã được lựa chọn nhiều trong các kỳ thi học sinh giỏi toán Ở chương trình hình học lớp 8, chương diện tích, kiến thức đa số chỉ dừng

ở mức độ tính toán diện tích các hình thông qua các công thức đã học Các bài toán sau đây, phần nào định hướng cho các anh (chị) giảng dạy và tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi

I/ Tính chất, công thức, các bài toán cơ bản:

1/ Tính chất: (Hình học lớp 8)

2/ Công thức diện tích các hình: (Hình học lớp 8)

3/ Các bài toán cơ bản

Bài toán 1: Nếu hai tam giác ABC và ADE (chung

đỉnh A), có hai đáy BC và DE cùng nằm trên một đường

thẳng mà BC = k.DE (k > 0)

A

Kết quả suy từ công thức: S= 1a.h

2 , với cạnh đáy a thay đổi, còn chiều cao AH = h (không đổi)

Bài toán 2: Nếu hai tam giác ABC và DBC (chung đáy BC) với hai đường cao AH và DK thì:

ABC DBC

S DK Đặc biệt: Nếu AD // BC thì: SABC = SDBC

Nếu AD cắt BC tại E thì: ABC

DBC

S DK DE

Bài toán 3: Cho tam giác ABC Hai điểm D và E thuộc các cạnh AB và AC (không trùng các

điểm A, B, C) thì: ADE

ABC

S AB.AC

Vẽ DH và BK cùng vuông góc AC (H, K  AC)

Do DH // BK  DH AD

BK AB (hệ quả Thalès)

ADE

ABC

1DH.AE

1

2

 = DH AE AD.AE

BK AC AB.AC

II/ Tính diện tích đa giác, đẳng thức và tỉ số diện tích hai đa giác:

Các bài toán sau đây giải được dựa trên các công thức đã học và các bài toán cơ bản nêu ở phần trên Ở phần này chúng tôi đưa ra trên 30 bài toán từ dễ đến khó Ví dụ như sau:

Bài toán 1: Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy K sao cho KB 1

KC 2, trên cạnh AC lấy H sao

cho HA 1

HC 3 Gọi O là giao điểm của AK và BH Biết SABC =

S Tính SAOB?

HD: Vẽ KE // BH (E  AC)

Bài toán tổng quát: K  BC với  KB m

KC n ; H  AC với  HA p

HC q

D

E K

B

A

O

K

E H

C B

A

E

K H

D

C B

A

Bài toán 2: Cho hình bình hành ABCD có diện tích S Gọi M là trung điểm BC, AM cắt đường

chéo BD tại Q Tính SMQDC theo S

Bài toán 3: Trên các cạnh AB, BC, AC của tam giác ABC ta lấy lần lượt các điểm M, N, P sao

cho: AM BN CP k

MB NC PA  (k > 0)

a/ Biết SABC = S Tính SMNP theo S và k

b/ Tìm k biết SMNP = 1S

4

Bài toán 4: Cho tam giác ABC cân tại C, cạnh AB = 3 , đường cao CH = 2 Gọi M là

trung điểm HB, N là trung điểm BC; AN cắt CM tại K, O là giao điểm CH và AN

a/ Tính SAOH b/ Chứng minh: KA = 2.KM

Bài toán 5: Cho hình thoi ABCD có tâm O Đường trung trực AB cắt BD và AC lần lượt tại O1

và O2 Biết rằng O1B = a, O2A = b Tính diện tích hình thoi theo a và b

Bài toán 6: Một hình thang có các đường chéo vuông góc với nhau Tính diện tích hình thang

đó nếu biết rằng độ dài của một trong các đường chéo của nó bằng 5 và đường cao bằng 4

Bài toán 7: Cho hình bình hành ABCD, M là điểm bất kỳ trên cạnh CD, AM cắt BD tại O.

Chứng minh rằng: SABO = SDMO + SBMC

Bài toán 8: Cho tam giác ABC, trên cạnh AB và AC lấy hai điểm M và N tương ứng sao cho

AM = 2MB

3 , AN =

3 NC

2 , O là giao điểm của CM và BN Chứng minh: SBOC = SAMON

Bài toán 9: Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AE, BM và CF.

1/ Chứng minh rằng tồn tại một tam giác với độ dài ba cạnh là độ dài các đoạn AE, BM, CF 2/ Tính diện tích tam giác có độ dài ba cạnh là độ dài các đoạn AE, BM, CF theo S = SABC

Bài toán 10: Cho tứ giác lồi ABCD, M và N là trung điểm AB và CD, AN cắt MD tại P, BN cắt

MC tại Q Chứng minh: SMPNQ = SAPD + SBQC

Bài toán 11: Trên cạnh AB và CD của tứ giác ABCD lấy các điểm M và N sao cho

k

AB CD  (k > 0) Các đoạn thẳng AN và DM cắt nhau tại E, các đoạn thẳng BN và CM cắt nhau tại F Chứng minh: SMENF = SADE + SBCF