16 hsg toan 9 2020 2021 quan cau giay ha noi toan thcs vn

Website:tailieumontoan.com PHÒNG GD VÀ ĐT QUẬN CẦU GIẤY KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN NĂM 2020-2021 Thời gian: 120 phút ( không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 31/10/2020 Đề số 16 Bài (6,0 điểm): M Cho biểu thức x x3 x x   2( x  3) x 1  x 3 3 x a) Tìm điều kiện x để biểu thức M xác định thu gọn b) Tìm giá trị nhỏ M Cho số thực x, y, z đôi khác nhau, thỏa mãn: xy  yz  zx 0 Chứng minh rằng: 1   0 x  yz y  xz z  xy Bài ( 6,0 điểm): 2 Giải phương trình: x ( x  2) 12  x x  2 2 Cho a, b, c, d số tự nhiên thỏa mãn điều kiện a  b  c d Chứng minh a, b, c, d đồng thời số lẻ Bài (7,0 điểm):  Cho hình bình hành ABCD ( A nhọn, AB  AD , hai đường chéo AC BD cắt O Đường thẳng qua điểm C vuông góc với AC cắt đường thẳng qua A vng góc với BD điểm P; từ P vẽ PM vng góc với BC ( M thuộc đường thẳng BC) PN vng góc với CD ( N thuộc đường thẳng CD) Gọi S hình chiếu B AC a) Chứng minh CBS đồng dạng với PCM ACP đồng dạng với BSO 2 b) Chứng minh AB  BC 2CP.BS c) Chứng minh M, N, O thẳng hàng Bài (1 điểm) Cho số thực a, b, c, x, y,z thỏa mãn a, b, c 1; x, y,z 1 a  b  c  x  y  z 6 Tìm giá trị lớn biểu thức M a  b  c  x  y  z  HẾT  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN GIẢI KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN NĂM 2020-2021 Thời gian: 120 phút ( không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 31/10/2020 Bài (6,0 điểm): x x3 M  2( x  3)  x 3 x x  x 1 3 x Cho biểu thức a) Tìm điều kiện x để biểu thức M xác định thu gọn b) Tìm giá trị nhỏ M Lời giải a) Ta có M   x x x x 3   x x  x 1 3 x x x       x   x  3  x  1 x  3  x  1 x  3  x  1 x x    x  x     x  x  3   x  1 x  3   x  3 x 1 x x   x  12 x  18  x  x    x 1 x3 x x  3x  x  24   x 1  x  8   x  x 1 M Vậy x3  x      x  x  8  3 x  8   x 1 x3  x 8 x 1 x 8  x 0; x 9  x 1 b) Với x 0, x 9 ta có M  x  1 9    x    x 1  x 1 x   0, Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 9 2 x 1  x 1 x 1  M 6   M 4    x 1  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word  mơn tốn: 0 x 1 ta có x 1   6  x 1 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Dấu “=” xảy x 1      x 1 x  9  x 2  x  3     x 4  TM   x   L   x   Vậy giá trị nhỏ M x 4 Cho số thực x, y, z đôi khác nhau, thỏa mãn: xy  yz  zx 0 Chứng minh rằng: 1   0 x  yz y  xz z  xy x, y, z đôi khác nhau, Lời giải xy  yz  zx 0  1  y 0 x 0  yz 0    z 0 (trái giả thiết) + Giả sử  x  yz 0 , tương tự mẫu lại P 1   x  yz y  xz z  xy xác định Do Ta có x  yz  x  yz  yz  x  yz    xy  xz    1   x  xy  yz  xz  x  x  y   z  x  y   x  z   x  y  Tương tự Vậy: P  Bài y  xz  y  x   y  z  1  ; z  xy  z  x   z  y    x  y  x  z   y  x  y  z   z  x  z  y  z yx zy x 0  x  y  y  z  z  x Từ ta có điều phải chứng minh ( 6,0 điểm): 2 Giải phương trình: x ( x  2) 12  x x  Lời giải x x  t  t 0   x x  t Đặt Thay vào phương trình ta có  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn  tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com t 12  2t  t  2t  12 0  t 2   t   L   x x  2  x x  8  x  x  0  x  x  x  0  x  x     x   0   x    x   0 x   x 2    x   L   x    S   2; Vậy nghiệm phương trình 2 2 Cho a, b, c, d số tự nhiên thỏa mãn điều kiện a  b  c d Chứng minh a, b, c, d đồng thời số lẻ Giả sử a số lẻ Bài Lời giải a 2k  1 k    a 4k  4k  suy a chia dư 2 2 Giả sử a, b, c, d đồng thời số lẻ a  b  c chia dư mà d chia dư (vô lý) Vậy ta có điều phải chứng minh (7,0 điểm):  Cho hình bình hành ABCD ( A nhọn, AB  AD , hai đường chéo AC BD cắt O Đường thẳng qua điểm C vng góc với AC cắt đường thẳng qua A vng góc với BD điểm P; từ P vẽ PM vuông góc với BC ( M thuộc đường thẳng BC) PN vng góc với CD ( N thuộc đường thẳng CD) Gọi S hình chiếu B AC a Chứng minh CBS đồng dạng với PCM ACP đồng dạng với BSO 2 b Chứng minh AB  BC 2CP.BS c Chứng minh M, N, O thẳng hàng Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Ta có BCS 90  MCP MPC  CBS PCM  g g  CAP 90  AOH 90  BOS OBS  ACP BSO  g g  b) Ta có: BA2  BC  SA2  SB    SC  SB  SA2  SC  SA  SC   SA  SC  2SO AC CP AC ACP BSO  g.g     2CP.BS 2SO.AC  AB  BC SO BS Có: c) Đặt AB CD a; BC  AD c Do CBS PCM  g g    MB  BC  CM c  Bài BS BC BS CP a  c   CM   CM CP BC 2c a  c2 a2  c2  2c 2c (1 điểm) Cho số thực a, b, c, x, y,z thỏa mãn a, b, c 1; x, y,z 1 a  b  c  x  y  z 6 Tìm giá trị lớn biểu thức M a  b  c  x  y  z Lời giải Dễ thấy: 2 M  a  x    b  z    c  z  a  b  c  x  y  z 6 Do đó, biểu thức M đạt giá trị lớn biểu thức N  A2  B  C , A  B  C 6; A, B, C 1 đạt giá trị lớn Dễ suy rằng:  A, B, C 4 A  1  A   0  A2 5 A  Ta lại có đánh giá  N 5  A  B  C   12 18 Suy Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Tại  A, B, C  hoán vị  1,1,  ta N 18 x, y , z  Vậy giá trị lớn M 18 đạt a b c 0  hoán vị  1,1,   HẾT  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC