HOC SINH GIOI TOAN 9 2020 2021 QUAN TAY HO CHU VAN AN TOAN THCS VN

Sản phẩm nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM UBND QUẬN TÂY HỒ TRƯỜNG THCS CHU VĂN AN ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) Bài Tuyển Tập Đề Thi HSG năm 2020 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC: 2020 – 2021 Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) (4,0 điểm) Tính giá trị biểu thức sau: A  3 52 3 52   18  27  3 6 (4,5 điểm) B Bài Tìm x thỏa mãn điều kiện : 1)   x  x    x 2) x2  x   x2  x   x   x  3)  x    x  x Bài (2,0 điểm) 58  ab 14  40 b a Cho hai số nguyên , thỏa mãn Tính S  a.b Bài ( điểm) � Cho ABC vuông A , vẽ đường cao AH phân giác AD CAH 1) Chứng minh tam giác BAD tam giác cân DH BD  2) Chứng minh DC BC 3) Giả sử AB  10cm , HC  21cm Tính độ dài đoạn thẳng BH , AC DE � 4) Vẽ đường phân giác AE BAH Tam giác ABC cần thêm điều kiện để BC đạt giá trị lớn nhất? Bài (1,5 điểm) Cho tập A có tính chất sau: a Tập A chứa toàn số nguyên b  �A c Với x, y �A x  y �A x y �A Chứng minh �A 2  HẾT  Sản phẩm nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM Trang Sản phẩm nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM Bài Tuyển Tập Đề Thi HSG năm 2020 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP QUẬN TÂY HỒ (4,0 điểm) Tính giá trị biểu thức sau: A  3 5 3 5 B   18  27  3 6 Lời giải    A  32         B   Bài   1  1   18  27  3 6   3 3  3 3   3    3    3  3      1 3  3   1 (4,5 điểm) Tìm x thỏa mãn điều kiện : 1)   x  x    x 2) x2  x   x2  x   x   x  3)  x    x  x Lời giải 1)   x  x    x �    x  3   x � x    5x x    5x � x  � x    (loại) TH1 : x �3 ta có TH2 : x  3 ta có  x   5x � x  � x  Phương trình có nghiệm 2) x (nhận) x2  x   x2  x   x   x  �  x  1  x     x  1  x    x   x  Sản phẩm nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM , (ĐK : x �1 ) Trang Sản phẩm nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM Tuyển Tập Đề Thi HSG năm 2020 � x  x   x  x   x   x  � 2x  �      x4  x3  x4  x3  x4  x3  � x   x    * 2x  1  � �   x    ** �   �  Phương trình (*) vơ nghiệm x �1 (**) � 2x   � 2x   � 2x  � x  Phương trình có nghiệm x 3 3)  x    x  x ( x �0 ) �   x   3x  x  � x   3x   x  1  x  1 x   3x � 1 2x   x  1  x  1 x   3x �  x   * � � �   x   ** � x   3x �  * Xét �  2x  � x   ** VT  0, VP �1 �  ** ta có với x �0 vơ nghiệm Phương trình có nghiệm Bài x (2,0 điểm) 58  ab 14  40 b a Cho hai số nguyên , thỏa mãn Tính S  a.b Lời giải 58  ab 14  40 Ta có: � � 29  ab  10  29  10 39   ab � 203  29 10  39a  39b Sản phẩm nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM Trang Sản phẩm nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM  � 203  39a  39b  29 2  �203  39a � �� � 39b  29 � �  � 39 b  2.39b.29  2.29 2 Tuyển Tập Đề Thi HSG năm 2020   203  39a   �� � 392 b  2.39b.29  2.29 �� Trường hợp 1: b �0 � �� (vô lý) Trường hợp 2: b  � 203  29 10  39a � 203  39a  29 10 � 10 �� (vơ lý) Vậy khơng có giá trị a , b thỏa mãn điều kiện đề Bài ( điểm) � Cho ABC vuông A , vẽ đường cao AH phân giác AD CAH 1) Chứng minh tam giác BAD tam giác cân DH BD  2) Chứng minh DC BC 3) Giả sử AB  10cm , HC  21cm Tính độ dài đoạn thẳng BH , AC DE � 4) Vẽ đường phân giác AE BAH Tam giác ABC cần thêm điều kiện để BC đạt giá trị lớn nhất? Lời giải 1) � � � Vì AD phân giác HAC nên HAD  DAC � � � Vì ABC vng A , vẽ đường cao AH nên BAH  ACD (do phụ B ) � � � Ta có BDA  DAC  DCA (góc ngồi tam giác) �  DAC �  DCA �  HAD �  BAH �  BAD � � � BDA hay BDA  BAD , suy tam giác BAD tam giác cân B (đpcm) � BD  AB Sản phẩm nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM Trang Sản phẩm nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM 2) Tuyển Tập Đề Thi HSG năm 2020 DH BD  � Vì AD phân giác HAC nên DC BC ( T/chất) (1) Áp dụng hệ thức lượng cho ABC vuông A , vẽ đường cao AH ta có AB AC  AH BC AH AB BD   AC BC BC (2) DH BD  Từ (1) (2) ta có DC BC � 3) Đặt BH  x � BC  x  21 , x  Áp dụng hệ thức lượng cho ABC vng A , vẽ đường cao AH ta có AB  BH BC hay 102  x  x  21 � x  21x  100  �x   t/m  �  x    x  25   � � x  25  loai  � Vậy BH  4cm; BC  25cm Áp dụng định lý pitago ABC cho ta có AB  AC  BC 102  AC  252 � AC  525 � AC  525 4) � � � � � � Ta có CEA  ABC  BAE  EAH  CAE  CAE � CAE cân, suy CE  CA Khi ta có: Bài DE  BD  BE  BA   BC  CE   AB  AC  BC  AB  AC  DE AB  AC  BC AB  AC   1 � 1  1 BC BC BC Suy BC  ABC A Dấu “=” xảy vuông cân (1,5 điểm): Cho tập A có tính chất sau: a Tập A chứa toàn số nguyên b  �A c Với x, y �A x  y �A x y �A Chứng minh �A 2 Lời giải Ta có  �A �   2   �A �  �A Vì �A � �A �  1 �A � 2 �A Mà 1�A Sản phẩm nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM Trang hay Sản phẩm nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM �  �A � Giả sử Vậy �   Tuyển Tập Đề Thi HSG năm 2020  �A  �A �    �A (mâu thuẫn)  �A �A 3 (điều phải chứng minh) Sản phẩm nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM Trang ... nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM  � 203  39a  39b  29 2  �203  39a � �� � 39b  29 � �  � 39 b  2.39b. 29  2. 29 2 Tuyển Tập Đề Thi HSG năm 2020   203  39a   �� � 392 b  2.39b. 29  2. 29 �� Trường... 40 b a Cho hai số nguyên , thỏa mãn Tính S  a.b Lời giải 58  ab 14  40 Ta có: � � 29  ab  10  29  10 39   ab � 203  29 10  39a  39b Sản phẩm nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM Trang Sản... � �� (vô lý) Trường hợp 2: b  � 203  29 10  39a � 203  39a  29 10 � 10 �� (vơ lý) Vậy khơng có giá trị a , b thỏa mãn điều kiện đề Bài ( điểm) � Cho ABC vuông A , vẽ đường cao AH phân giác