Toán vdc hsg5 hsg toán 12 sở lào cai 2020 2021 hoàn thiện

2021 Câu (5,0 điểm) f ( x)   x    x   , x   a) Cho hàm số y  f ( x ) liên tục  , biết Xét tính đơn điệu hàm số y  f  x  3x  b) Cho hàm số hàm số Câu y  f ( x)  x    x  1 , x   y  g ( x)  f ( x)  f ( x)  m Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị có điểm cực trị (4,0 điểm) a) Giải bất phương trình   3 x   2   x 1 log  x  m   log x  x  x  2m  b) Tìm cất giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt Câu (5,0 điểm) SBC  Cho hình chóp tứ giác S ABCD biết AB a , góc hai mặt phẳng  mặt phẳng  ABCD  60 a) Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo AB SC AM SP   b) Lấy điểm M , P thuộc cạnh AD , SC cho AD , SC Gọi N BMP  giao điểm SD mặt phẳng  Tính thể tích khối đa diện S ABMNP Câu (4,0 điểm) Cho tập S {1; 2;3; ; 2016} a) Hỏi có tập gồm phần tử khác chọn từ tập S cho số chọn độ dài ba cạnh tam giác mà cạnh lớn có độ dài 1000 b) Chọn ngẫu nhiên số khác từ tập S Tính xác suất cho số chọn độ dài ba cạnh tam giác mà cạnh lớn có độ dài số chẵn Câu (2,0 điểm) 1    x  y  xy x , y  xy  a) Cho thỏa mãn Chứng minh b) Cho a, b, c số thực tùy ý thỏa mãn điều kiện a b c  Tìm giá trị nhỏ biểu 1 b c  3a M    a  b c  b   ac thức HẾT TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII Trang HƯỚNG DẪN GIẢI NG DẪN GIẢI N GIẢI I Câu (5,0 điểm) f ( x)   x    x   , x   a) Cho hàm số y  f ( x ) liên tục  , biết Xét tính đơn y  f  x  3x  điệu hàm số Lời giải  x  f ( x) 0    x 4 (nghiÖm k Ðp)   Đặt hàm số g ( x)  f ( x  3x)  g ( x) (2 x  3) f  x  3x    x 2  x  0  g ( x) 0     x 1  x  x   x 2    Bảng xét dấu:  Vậy : Hàm số đồng biến khoảng   ;1 3   ;     3  1;   2;   Hàm số nghịch biến khoảng   b) Cho hàm số hàm số y  f ( x)  x    x  1 , x   y g ( x)  f ( x)  f ( x)  m Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị có điểm cực trị Lời giải  f ( x)  x  1   x  1  x    x  1  x    x   y 4 f ( x) 0    x 1  y 0 Trang TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA 2021  Số điểm cực trị hàm số y  g ( x )  f ( x)  f ( x )  m số điểm cực trị hàm số h( x)  f ( x)  f ( x)  m cộng với số giao điểm ( khác điểm cực trị ) đồ thị hàm số h( x)  f ( x)  f ( x)  m y 0 h( x ) 2 f ( x ) f ( x )  f ( x ) 2 f ( x)  f ( x )  1  x    x 1  f '( x) 0  h '( x) 0     x a  a   1  f ( x) 1  x b    b  1   x c  c  1 y g ( x )  f ( x )  f ( x)  m  Để hàm số có điểm cực trị điều kiện :  m    m  m  Câu (4,0 điểm) a) Giải bất phương trình   3 x   2   x 1 log  x  m   log x x  x  2m  b) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt Lời giải a) Giải bất phương trình  t  2  x   3  2 t    2    x 1 x  Đặt , bất phương trình trở thành: t  1  t2   t  t2  t    t  t t    2  Vậy  x  t  0  x   x  log 2  S  log 2 2;   b) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình log  x  m   log x  x  x  2m   có hai nghiệm thực phân biệt TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII Trang x    m x  Điều kiện xác định:  log  x  m   log x x  x  2m   Ta có:  log  x  m    log x  x  x  2m  log  x  m   log 2  log x  x  x  2m  log  x  2m   log x  x  x  2m  log  x  2m   x  2m x  log x f t log t  t  Xét hàm số   với t   f  t   1  t ln với t   f t đồng biến  0;    f  x  2m   f  x   x  2m x x2  m   x  1 x2 f  x   2x  f  x  x  2  Xét hàm số với x   f  x  0  x  0  x 2  Để phương trình log  x  m   log x  x  x  2m  có hai nghiệm thực phân biệt  Phương trình  1 có hai nghiệm thực phân biệt  m    2;  Câu (5,0 điểm) SBC  Cho hình chóp tứ giác S ABCD biết AB a , góc hai mặt phẳng  mặt phẳng  ABCD  60 a) Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo AB SC AM SP   b) Lấy điểm M , P thuộc cạnh AD , SC cho AD , SC Gọi N BMP  giao điểm SD mặt phẳng  Tính thể tích khối đa diện S ABMNP Lời giải Trang TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA 2021 a) Gọi I trung điểm BC OI  BC  BC   SOI   BC  SI  SO  BC   Khi ta có Suy góc hai mặt phẳng  SBC  mặt phẳng AB a OI   2  Trong SIO vng O ta có:  tan SIO   ABCD    góc SIO hay SIO 60 SO a a   SO OI tan SIO  tan 60  OI 2 3a a  a 4 AB // CD  AB //  SCD   d  AB, SC  d  AB,  SCD   2d  O,  SCD   2d  O,  SBC   SI  SO  OI  Do OH  SI  1  Trong SIO kẻ với H  SI BC   SOI   BC  OH    Do OH   SBC  d O, SBC   OH  Từ (1) (2) suy Vậy    Trong SIO vng O ta có: 1 1 4 16 a  2   2    OH  2 2 OH OI SO OH a 3a OH 3a  Vậy d  AB, SC  2OH  a b) Gọi Q giao điểm CD BM TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII Trang Q   MBP    SCD      MBP    SCD  PQ P   MBP    SCD    Ta có:  Gọi N giao điểm SD PQ  Do PQ   BMP   SD   BMP  N  Trong SCD có P , N , Q thẳng hàng nên theo định lý Menelaus ta có PS QC ND ND ND 1   1   NS PC QD NS NS 1 a a3 VS ABCD  SO.S ABCD  a  3 (đvtt)  Thể tích tứ diện S ABCD  S BCQ S ABCD a  Ta thấy AMB DMQ (c – g – c) 2 a d  P,  ABCD    d  S ,  ABCD    SO  5 1 a a3 VP.QBC = d  P,  ABCD   S BQC  a  3 15  1 a a d  N ,  ABCD    d  S ,  ABCD    SO   4 a2 S MDQ S MAB  AB AM  1 a a2 a3 VN MDQ = d  N ,  ABCD   SMDQ   3 96 (đvtt) VPNBCDM VP.BQC  VN DQM   Thể tích khối đa diện PNBCDM Vậy thể tích khối đa diện S ABMNP VS ABMNP VS ABCD  VPNBCDM  Câu a 3 a 3 9a 3   15 96 160 (đvtt) a 3 9a 3 53a 3   160 480 (đvtt) (4,0 điểm) Cho tập S {1; 2;3; ; 2016} a) Hỏi có tập gồm phần tử khác chọn từ tập S cho số chọn độ dài ba cạnh tam giác mà cạnh lớn có độ dài 1000 b) Chọn ngẫu nhiên số khác từ tập S Tính xác suất cho số chọn độ dài ba cạnh tam giác mà cạnh lớn có độ dài số chẵn Lời giải Lời giải tổng quát S {1; 2; ; k  1} Bài toán tương đương với tốn: “Có  Với k Xét tập k S cách chọn phần tử phân biệt k cho tổng chúng lớn k ” Giả sử hai phần tử chọn a  b k  Trang TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA 2021 Đặt s a  b Suy k  s 2k  Vậy với s cố định a hồn tồn xác định biết b Từ điều kiện a, b ta có s s  b k  k  1 cách  Nếu s chẵn Suy có s 1 s 1 b k  k cách  Nếu s lẻ Suy có Vậy k chẵn có k 2  k 4 2k     Pk  k    k      k         k 2  k 4 2k       k  1    k  1     k           k 2  k 4 2k    k  Pk 2   k    k      k    1        Rút gọn   k    (k  4)       k k k  k 2       1  2    k  2 k   k    1   (k  2)2     a) Với k 1000 ta có 499 tập S 1008 1008 1007.1008.(2.1007 1) B   4(i  1)  (i  1)  i 1 i 1 b) Với k 2i chẵn thuộc S ta có cách chọn B  Vậy xác suất C2016 Trường hợp k lẻ k 3  k 5 2k     Pk  k    k      k         k 1   k 3 2k       k  1    k  1     k          Rút gọn  k 3  k 5  2k     Pk 2   k    k      k           (k  3)  ( k  5)    1  (k  1)( k  3) Vậy số tam giác mà cạnh lớn có độ dài số lẻ k 2i  là: 1007 1007.1008.(2.1007  1) 1007.1008 C  (i  i )   i 1 Vậy số cách chọn ba số lập thành ba cạnh tam giác 1007.1008.(2.1007  1) 1007.1008 C  Từ tổng quát thay 2016 n TÀI LIỆU ƠN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII Trang Câu (2,0 điểm) 1    x  y  xy x , y  xy  a) Cho thỏa mãn Chứng minh Lời giải  Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với  xy  x xy  y   1     0      0   x 1  xy  y 1  xy   x  xy    y  xy        x y y x y y  xx y  y x x   0   0   xy   y  x   xy 1 x 1 y  x y  xy  x y   0   x  y   xy  1 0   xy    x    y  xy  1 x 1 y  (luôn với x, y  xy 1 )  Dấu “=” xảy x  y xy 1 b) Cho a, b, c số thực tùy ý thỏa mãn điều kiện a b c  Tìm giá trị nhỏ biểu 1 b c  3a M     a b c b  a c thức Lời giải 1 b c  3a 1 M    2M     a b c  a b c b  a c 1  1 b c a  Ta có : a  u  b  a v  b uv   c , a b c  nên u v 1 Suy c Đặt  2M  1   u 1 v 1  uv Thay vào biểu thức ta có: u  uv  1    v   uv  Do u v 1 nên  , suy u 1 v 1  uv 6uv  3uv 2M   M  M 3   uv  uv  uv  uv  Khi uv 1   uv 2  1  uv Vì , suy M 2 Vậy giá trị nhỏ biểu thức M đạt u v 1 , tức a b c Tài liệu chia sẻ Website VnTeach.Com https://www.vnteach.com Một sản phẩm cộng đồng facebook Thư Viện VnTeach.Com https://www.facebook.com/groups/vnteach/ https://www.facebook.com/groups/thuvienvnteach/ Trang TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA