Toán vdc hsg7 hsg toán 12 sở thanh hóa 2020 2021 hoàn thiện

Câu (4 điểm) Cho hàm số y  x  x  có đồ thị  C  1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C  hàm số 2) Tìm m để đường thẳng y m  x   cắt đồ thị  C  ba điểm phân biệt cho tiếp tuyến với đồ thị  C  ba điểm tạo thành tam giác vuông Câu (4 điểm)   1) Giải phương trình sin x cos x    sin x  1  cos x  cos x Câu Câu    2   x ln    ln   y  x     2) Giải hệ phương trình  , x, y      y  xy  x xy 5y   (4 điểm) 1) Gọi X tập hợp số tự nhiên có chữ số đơi khác lấy từ chữ số 0,1, 2,3, 4,5, 6, Chọn ngẫu nhiên số từ tập X Tính xác suất để số chọn số chẵn, có mặt hai chữ số 2, đồng thời không đứng cạnh 2) Để đủ tiền mua nhà, anh An vay ngân hàng 500 triệu theo phương thức trả góp với lãi suất 0,85% / tháng Sau tháng, kể từ thời điểm vay, anh An trả nợ cho ngân hàng số tiền cố định 10 triệu đồng bao gồm tiền lãi vay tiền gốc Biết lãi suất không thay đổi suốt trình anh An trả nợ, hỏi sau tháng anh trả hết nợ ngân hàng? (tháng cuối trả 10 triệu đồng) (6 điểm) 1) Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Một mặt phẳng thay đổi song song với mặt phẳng chứa đa giác đáy cắt cạnh bên SA, SB, SC, SD M, N, P, Q (không trùng với đỉnh hình chóp S ABCD ) Gọi M , N , P, Q hình chiếu vng góc M, N, P, Q lên mặt phẳng  ABCD  Tính tỉ số SM để thể tích khối đa SA diện MNPQ.M N PQ đạt giá trị lớn 2) Cho mặt cầu tâm O , bán kính R 1 Từ điểm S mặt cầu kẻ ba đường thẳng cắt   mặt cầu điểm A , B , C (khác với S ) cho SA SB SC ASB BSC CSA  Khi  thay đổi, tính thể tích lớn khối chóp S ABC 3) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh 2a , D trung điểm cạnh BC Biết tam giác SAD tam giác mặt phẳng  SAD  vng góc với mặt phẳng  ABC  Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  SAB  Câu (2 điểm) Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn x  y  z 4 Tìm giá trị lớn biểu thức P  x3  y  z   xy  yz  zx  TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII Trang HẾT Trang TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII HƯỚNG DẪN GIẢING DẪN GIẢIN GIẢII Câu (4 điểm) Cho hàm số y  x  x  có đồ thị  C  1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C  hàm số 2) Tìm m để đường thẳng y m  x   cắt đồ thị  C  ba điểm phân biệt cho tiếp tuyến với đồ thị  C  ba điểm tạo thành tam giác vng Lời giải 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C  hàm số  Tập xác định: D   Ta có: y 3 x  x  Bảng biến thiên: - Hàm số đồng biến khoảng   ;    0;    ; hàm số nghịch biến khoảng   2;0  - Điểm cực đại đồ thị hàm số   2;0  , điểm cực tiểu đồ thị hàm số  0;    x3  3x     , xlim  x3  3x    - Giới hạn: xlim    Đồ thị: 2 2) Xét phương trình: x  3x  m  x     x    x  x   m  0  x    x  x   m 0 (*) TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII Trang  Đường thẳng y m  x   cắt đồ thị  C  ba điểm phân biệt phương trình (*) có  1     m    nghiệm phân biệt khác  Khi đó:       m        m   (1)  m 0  Hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số  C  giao điểm là: y   0 , y x1  3 x12  x1 , y x2  3x22  x2 với x1 , x2 nghiệm phương trình (*) Tiếp tuyến với đồ thị  C  ba điểm tạo thành tam giác vuông y x1  y x2     3x12  x1   3x22  x2    x1 x2  x1 x2   x1  x2     (**)  x1  x2  Theo Công thức Vi-ét ta có:  , nên từ (**) ta có:  x1 x2   m    m     m    1     9m  18m  0  m  Đối chiếu với đk (1), ta có giá trị cần tìm m  Câu  2  2 (4 điểm)   1) Giải phương trình sin x cos x    sin x  1  cos x  cos x    2   x ln    ln   y  x     2) Giải hệ phương trình  , x, y      y  xy  x xy 5y   Lời giải 1) Phương trình cho tương đương với sin x cos x  3sin x  2sin x   cos x  cos x 0  sin x  cos x sin x  cos x            sin  x   sin  x     sin  x    sin sin  x   6 3 6 3                  2sin  x   cos  x   sin  x    2sin  x    2cos  x    1 0 3 6 3 3 6          x   k      sin  x   0        x   k 2 , k , k         cos  x    6    x    k 2       Vậy tập nghiệm phương trình cho S    k ,  k 2 ,   k 2 ; k , k     Trang TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII x   2) Điều kiện:   y    y      2   x ln    ln   y  x     Hệ phương trình:     y  xy  x xy 5y    2  Ta có  1  2 2  3x  6   x xy        x   3x  y y  y              3x  x y  y   Xét hàm số: f  t  2t  3t khoảng  0;   có f  t  2  9t  , t   0;   nên hàm số f  t  đồng biến khoảng  0;   Do đó,     Thế vào phương trình  1 ta có: Đặt z  2  x   x y y   x ln    ln x  3 x  , z  Phương trình  3 trở thành: x 1  1 ln   2z  ln    ln   2z   ln z  ln   2z   z ln z 0 z z z   ln z  Xét hàm số g  z  ln   2z   z ln z khoảng  0;   , ta có: g  z    2z g  z     2z   8z  4z    , z   0;   z z   2z  lim g  z    , lim g  z   z   z  0 Suy g  z  0 có nghiệm z0 1 g  z  0 , lim g  z   Mà hàm số y  g  z  liên tục  0;   và: g   0 , zlim z    0   Ta có bảng biến thiên hàm y g  z  sau: TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII Trang  x 4 Suy phương trình g  z  0 có nghiệm z  Suy  2  y  Câu (4 điểm) 1) Gọi X tập hợp số tự nhiên có chữ số đơi khác lấy từ chữ số 0,1, 2,3, 4,5, 6, Chọn ngẫu nhiên số từ tập X Tính xác suất để số chọn số chẵn, có mặt hai chữ số 2, đồng thời không đứng cạnh 2) Để đủ tiền mua nhà, anh An vay ngân hàng 500 triệu theo phương thức trả góp với lãi suất 0,85% / tháng Sau tháng, kể từ thời điểm vay, anh An trả nợ cho ngân hàng số tiền cố định 10 triệu đồng bao gồm tiền lãi vay tiền gốc Biết lãi suất không thay đổi suốt trình anh An trả nợ, hỏi sau tháng anh trả hết nợ ngân hàng? (tháng cuối trả 10 triệu đồng) Lời giải 1) Gọi số có chữ số khác chọn từ X là: a1a2 a3 a4 a5 a6 Chọn chữ số a1 0 có cách; Chọn chữ số cịn lại có A7 cách  n    7 A75 17640 cách Gọi biến cố A: “Số chọn số chẵn, có mặt hai chữ số 2, đồng thời không đứng cạnh nhau” TH1: Chọn a6  0 có cách; Chọn chữ số khơng đứng cạnh hốn vị vai trị chữ số có 2 12 cách; Chọn chữ số cịn lại có A5 cách TH2: Chọn a6  2 có cách; Chọn chữ số vào vị trí từ a1  a4 có cách Chọn chữ số cịn lại có A6 cách; Trong TH số khơng thỏa có dạng: 0a2 a3a4 a5  có 13 A5 1 cách TH3: Chọn a6  4;6 có cách; Chọn chữ số khơng đứng cạnh có 12 cách; Chọn chữ số cịn lại có A5 cách Trong TH3 số khơng thỏa có dạng: 0a2 a3a4 a5 a6  có 16 A4 2 144 cách  n  A 12 A53   A64  A53    24 A53  12 A42  3276 3276 13  Vậy P ( A)  17640 70 2) Gọi M số tiền vay, r lãi suất trả góp, a số tiền trả góp háng tháng n số tháng trả hết tiền Sau đóng tiền trả góp Tiền nợ đầu tháng Tiền nợ cuối tháng hàng tháng Trang TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII Tháng M Tháng M 1 r   a M 1 r   a  M   r   a    r  M 1 r   a 1 r   a M   r   a   r  Tháng 3 M 1 r   a 1 r   a … Tháng n M 1 r  M 1 r   a 1 r   a 1 r  … n  a 1 r  M 1 r  n  a 1 r  n M 1 r   a 1 r    a n Để trả hết nợ M   r   a   r  M 1 r   a 1 r  n n  a 1 r   a … n  a 1 r  n  a 1 r    a   r  n 2 … n  a 1 r  M 1 r  n  a 1 r  n   a   r   a   a   r   a 0 n n n  M   r    a   r   a   r    a   r   a  0   n  M 1 r   a  1 r    a n  1 r  M 1 r  1 r  n Ta thấy:   r   1 r  n n  1 r   un u1.q n    r  n     r   1 0  n     r   n     r   tổng cấp số nhân với u1 1, q   r  n n  Sn   r  Suy ra: a  n   1 r  n   r     r      r   1 r 1 r   1 500.0,85%   0,85%    0,85%  n 1 n Câu 1 Sử dụng cơng thức vay trả góp: a  10  n n M r   r  1 r  n n M r   r  1 r  n n 1 , ta có:   2017  n  17  2017  n  10     1      2000    2000  n 23  2017  40  2017     10      n 65,38  2000  23  2000  Vậy sau 66 tháng anh An trả hết nợ ngân hàng (6 điểm) 1) Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Một mặt phẳng thay đổi song song với mặt phẳng chứa đa giác đáy cắt cạnh bên SA, SB, SC, SD M, N, P, Q (khơng trùng với đỉnh hình chóp S ABCD ) Gọi M , N , P, Q hình TÀI LIỆU ƠN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII Trang chiếu vng góc M, N, P, Q lên mặt phẳng  ABCD  Tính tỉ số SM để thể tích khối đa SA diện MNPQ.M N PQ đạt giá trị lớn 2) Cho mặt cầu tâm O , bán kính R 1 Từ điểm S mặt cầu kẻ ba đường thẳng cắt   mặt cầu điểm A , B , C (khác với S ) cho SA SB SC ASB BSC CSA  Khi  thay đổi, tính thể tích lớn khối chóp S ABC 3) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh 2a , D trung điểm cạnh BC Biết tam giác SAD tam giác mặt phẳng  SAD  vuông góc với mặt phẳng  ABC  Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  SAB  Lời giải 1) Đặt SM k với k   0;1 SA MN SM  k  MN k AB AB SA MQ SM  k  MQ k AD Xét tam giác SAD có MQ // AD nên AD SA Kẻ đường cao SH hình chóp Xét tam giác SAH có: MM  AM SA  SM SM MM  // SH nên   1  1  k  MM    k  SH SH SA SA SA Vì khối đa diện MNPQ.M N PQ khối hộp chữ nhật, suy Xét tam giác SAB có MN // AB nên VMNPQ.M N PQ MN MQ.MM   AB AD.SH k   k  Mà VS ABCD  SH AB AD  VMNPQ.M N PQ 3.VS ABCD k   k  Thể tích khối chóp khơng đổi nên VMNPQ.M N PQ đạt giá trị lớn k   k  lớn   k  k k   2k  k  k      2 27  SM  Đẳng thức xảy khi:   k  k  k  Vậy SA 2) Ta có k   k   Trang TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII  Gọi H hình chiếu S lên mặt phẳng ( ABC )  Do OA OB OC R SA SB SC nên ba điểm A , B , C nằm đường tròn giao tuyến hai mặt cầu S  O, R  S  S , SA  Do đó, điểm H nằm đường thẳng OS    Ta lại có ASB BSC CSA  nên ba tam giác SAB , SBC , SCA Suy ra, AB BC CA hay tam giác ABC tam giác Từ ta có S ABC hình chóp  Do tính đối xứng khối cầu nên khối chóp S ABC tích lớn H nằm khác phía với S qua O Khi  thay đổi H thay đổi theo Đặt h OH , h  Khi đó, SH SO  OH 1  h HA  OA2  OH   h , AB 2 HA sin ACB 2  h sin 60   h  Thể tích khối chóp S ABC 1 AB 3 V  h   SH S ABC  SH    h    h     h  h  h  1 3 4  3h  2h  1   h 0 V  h  0    h 1  V  h    Bảng biến thiên V  h  2  Khi h  , ta có AB  , HA  , SH  , SB SA  SH  HA2  Lúc 3 3 tam giác SAB tam giác Do đó,   ASB 60 TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII Trang  Vậy thể tích khối chóp S ABC lớn ,  60 27 Nhận xét:   1) Bài tốn tổng quát không cần giả thiết ASB BSC CSA  nhận xét: “Trong tất n -giác nội tiếp đường tròn, n -giác có diện tích lớn nhất” 2) Hơn nữa, ta bỏ điều kiện SA SB SC nhờ nhận xét: “Trên mặt cầu S  O, R  cho ba điểm A , B , C phân biệt Một điểm S thay đổi S  O, R  , gọi H hình chiếu S lên mặt phẳng ( ABC ) Khoảng cách SH lớn O nằm đoạn SH ” 3) Gọi H trung điềm AD  SH  AD  SH  ( ABC ) Trong ( ABC ) gọi K CH  AB Gọi M trung điềm BK DM đường trung bình BKC  DM / / KC , CK 2 DM HK đường trung bình ADM  HK / / DM , HK  DM CK DM  4  d (C , ( SAB )) 4d ( H , ( SAB)) Khi HK DM Kẻ HQ  AB HQ AH BD AH a a a Ta có AQH đồng dạng với ADB    HQ    DB AB AB 2a Do SAD tam giác  SH  AD 3a  2  AB  HQ  AB  ( SHQ) Ké HT  SQ Khi   AB  SH Trang 10 TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII  HT  SQ  HT  ( SAB)  d ( H , ( SAB )) HT Do   HT  AB Trong SHQ vuông H đường cao HT ta có Câu 1 1 1 16        3a 2 2 3a 9a HT HQ HS HT HT 9a  HT  4 3a Vậy d ( H , ( SAB ))   d (C , ( SAB)) 4d ( H , ( SAB)) 3a (2 điểm) Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn x  y  z 4 Tìm giá trị lớn biểu thức P  x3  y  z   xy  yz  zx  Lời giải Khơng tính tổng qt, giả sử x  y  z 2 2 2 Suy x  y  x   y  z  0  xy  xyz  x y  x z 0  xy  x z  x y  xyz  xy  x z  x y  xyz , suy xy  yz  zx  yz  xyz  x y  y  x  z  (1) Mặt khác, ta hoàn toàn chứng minh x  z  x  z  (2) Từ (1) (2) ta có P  y   x  z   y  x  z  (3) Lại có x  y  z 4  x  z 4  y , thay vào (3) suy P  y    y   y   y   P 8 y  52 y  80 y  64 ,  y 4 Xét hàm số f  y  8 y  52 y  80 y  64 đoạn  0; 4  y 1 Ta có f  y  24 y  104 y  80 , f  y  0    y 10  Bảng biến thiên: Căn vào bảng biến thiên, ta thấy f  y  100 , suy P 100 Suy giá trị lớn biểu thức P 100 đạt khi: TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII Trang 11  y 1  xyz 0   xz  x  z  0   x  y  z 4   x  y z  x 0   y 1  z 3  Vậy Pmax 100 đạt  x; y; z   0;1;3 hoán vị Tài liệu chia sẻ Website VnTeach.Com https://www.vnteach.com Một sản phẩm cộng đồng facebook Thư Viện VnTeach.Com https://www.facebook.com/groups/vnteach/ https://www.facebook.com/groups/thuvienvnteach/ Trang 12 TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII