Trích dẫn đề thi học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2020 – 2021 sở GDĐT Đồng Tháp: + Từ một tấm tôn hình quạt OAB có 2 120 o OA AOB người ta xác định hai điểm M N lần lượt là trung điểm của OA OB rồi cắt tấm tôn theo hình chữ nhật MNPQ (như hình vẽ). Dùng hình chữ nhật đó tạo thành mặt xung quanh của một hình trụ với đường sinh MQ NP trùng khít nhau. Khối trụ tương ứng được tạo thành có thể tích là? + Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho a(1;1;0) và hai điểm A(−4;7;3), B(4;4;5). Hai điểm M N thay đổi thuộc mặt phẳng Oxy sao cho MN cùng hướng a và MN = 5√2. Giá trị lớn nhất của |AM – BN| bằng? + Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1;2), B(1;0;4), C(0;1;3) và điểm M thuộc mặt cầu (S): x2 + y2 + (z – 1)2 = 1. Nếu biểu thức MA2 + MB2 + MC2 đạt giá trị nhỏ nhất thì độ đài đoạn AM bằng?
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐỒNG THÁP KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020 - 2021 Mơn: TỐN −1 2 x + y = Câu Hệ phương trình có tất nghiệm? −1 2 y + x = A Một nghiệm B Hai nghiệm C Vô nghiệm D Vơ số nghiệm Câu Tìm tất giá trị tham số m để phương trình nghiệm thực A m ∈ [6;7] B m ∈ (−∞;7] C m ∈ [2; +∞) D m ∈ [0;7] + x + − x= m + − x − x có Câu Biết sin x + cos x = Giá trị sin 2x A − ⋅ B ⋅ C ⋅ D − ⋅ Câu Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P( x) =3 x + − x Mệnh đề sau mệnh đề đúng? A M + m = B M + m = 32 C M + m = ⋅ D M + m = Câu Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn bc + 2ca + 3ab − abc = Giá trị nhỏ P = abc A 162 B 54 C D 27 Câu Cho tam giác ABC Gọi ma , mb , mc tương ứng độ dài đường trung tuyến hạ từ đỉnh A, B, C Biết 5m= mb2 + mc2 , mệnh đề sau mệnh đề đúng? a A ∆ABC tam giác vuông B ∆ABC tam giác C ∆ABC có ba góc nhọn D ∆ABC có góc tù Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi MNPQ có tâm I (3;1) , đỉnh M thuộc đường thẳng x − y + = , đỉnh N thuộc đường thẳng x − y + = Xác định tọa độ đỉnh Q A Q(5; −7) B Q(−5;7) C Q(−11; −3) D Q(16; 4) π Câu Phương trình cos x + = có tất nghiệm đoạn 0; ? 2 A Hai nghiệm B Một nghiệm C Ba nghiệm D Vô nghiệm Câu Gọi S tập hợp tất nghiệm thuộc [0; π ] phương trình π + tan = x 2 sin x + Tổng phần tử S 4 13π A ⋅ 12 B π ⋅ 12 3π C ⋅ 7π D ⋅ Câu 10 Cho đa giác có 12 đỉnh đặt tên 12 chữ khác nhau, chọn ngẫu nhiên chữ 12 chữ Xác suất biến cố “bốn chữ chọn đỉnh hình chữ nhật” A ⋅ 33 B ⋅ 33 C ⋅ D ⋅ 15 ( Câu 11 Biết + ) 10 = a0 + a1 + a2 Tính a2 A B C D a2 = 729 a2 = 342 a2 = 45 a2 = 210 28 u1 + u4 = Câu 12 Cấp số nhân ( un ) dãy số tăng thỏa mãn Công bội q ( un ) 252 u3 + u6 = A q = B q = −3 C q = ±3 D q = Câu 13 Cho dãy số ( an ) có số hạng tổng = quát an n(n + 1) ( ∀n ∈ N ) Gọi S * n = a1 + a2 + + an , tính lim S n A lim S n = B lim S n = C lim S n = +∞ D lim S n = = 60o , tam giác SBD tam Câu 14 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi, BAD giác đều, SA = SC Tính cơ-sin góc hợp đường thẳng SB mặt phẳng ( ABCD ) A 13 ⋅ ⋅ C ⋅ 3 D ⋅ B Câu 15 Cho hình hộp đứng ABCD A′B′C ′D′ , đáy ABCD hình bình hành có diện tích 18 góc nhọn, AA′ = Khoảng cách hai mặt phẳng ( A′BD ) , , AB = 2, AD = 3, BAD ( CB′D′ ) A 18 ⋅ 409 ⋅ C ⋅ D ⋅ B Câu 16 Hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x )= x − x, ∀x ∈ Hàm số g ( x ) = −2 f ( x ) nghịch biến khoảng sau đây? A (1; +∞ ) B ( −∞;1) C ( 0;1) D ( 0; +∞ ) Câu 17 Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau: Số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số cho A B C D Câu 18 Cho hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình bên Số điểm cực đại hàm số y = f ( x ) A B C D Câu 19 Cho hàm số bậc ba y = ax3 + bx + cx + d ( a ≠ 0) có đồ thị hình bên Trong giá trị a , b , c , d có giá trị âm? A B C D Câu 20 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = ( −∞;1) A B C D mx + nghịch biến khoảng x+m −2 < m ≤ −1 −2 ≤ m ≤ −2 < m < −2 ≤ m ≤ Câu 21 Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = x + x − đoạn [ −3;0] Tính M + m A 14 B C D Câu 22 Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số f ( x ) = x + x + m − có giá trị lớn đoạn [ −1; 2] 19 Tính tổng tất phần tử S A B C D −2 Câu 23 Gọi S tập hợp giá trị nguyên tham số m để hàm số m Số y = x3 − x − ( 3m − 1) x + m đạt cực trị hai điểm x1 , x2 thỏa x1 x2 + ( x1 + x2 ) + = phần tử S A B C D Câu 24 Cho hàm số y = f ′( x) có đồ thị hình bên Tìm số điểm cực trị hàm số g= ( x ) f ( x2 − x ) khoảng (0; +∞) A B C D Câu 25 Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình bên Tìm tất giá trị nguyên dương tham số m f x f x để phương trình f ( x ) + 9m = m.3 ( ) + ( )+ có nghiệm thực phân biệt A B 10 C D Câu 26 Tập xác định hàm số y log 2021 ( x − x) = A (−∞;0) ∪ (3; +∞) B (−∞;0] ∪ [3; +∞) C [ 0;3] D ( 0;3) Câu 27 Cho a, b số thực dương thỏa mãn log = log = log a 6b a+b a Tính tỉ số ⋅ b a = b a B = b A a = b a D = b C ( ) Câu 28 Phương trình 2.12 x + 16 x = = x log a b + với a, b số x có nghiệm dạng nguyên dương Giá trị biểu thức a + 2b A B C D Câu 29 Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình m x + m x ≤ ( 2m + 1) x có nghiệm với x ∈ ( 0;1) A m ∈ ( −∞;6] B m ∈ ( 0;6 ) C m ∈ ( 6; +∞ ) D m ∈ ( −∞;0] Câu 30 Gọi m0 giá trị thực nhỏ tham số m cho phương trình (1 − m ) log32 x + ( m − 5) log3 x + − m =0 mệnh đề đúng? 5 A m0 ∈ −4; − 3 1 có nghiệm thuộc đoạn ;9 Mệnh đề sau 3 B m0 ∈ ( −5; −3) C m0 ∈ − ;0 7 D m0 ∈ −2; 3 Câu 31 Có cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn ≤ y ≤ 2020 log ( y + ) − x =1 + x − y ? A 11 B 10 C 12 D 2021 Câu 32 Họ tất nguyên hàm hàm số f ( x ) = 2x +1 ( x + 2) khoảng ( −2; +∞ ) + C x+2 B ln ( x + ) − + C x+2 C ln ( x + ) + + C x+2 D ln ( x + ) − + C x+2 A ln ( x + ) + Câu 33 Xét ∫ x ( x + 2020 ) 2021 dx , đặt = u x + 2020 ∫ x ( x + 2020 ) 2021 dx 2021 A ( u − 2020 ) u 2021du ∫ 2020 B ( u − 2020 ) u 2021du ∫0 C 2021 ∫ ( u − 2020 ) u 2021 du 2020 D ∫ ( u − 2020 ) u 2021 du Câu 34 Thể tích V khối trịn xoay quay quanh trục Ox hình phẳng ( H ) giới hạn đồ thị hàm số y = x ln x, trục hoành đường thẳng x = e Trong mệnh đề sau, mệnh đề mệnh đề đúng? e A V = π ∫ x ln xdx e B V = ∫ x ln xdx e C V = π ∫ x ln xdx e D V = π ∫ x ln x dx Câu 35 Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f ( x) + f ′( x) = e − x f (0) = Họ nguyên hàm hàm số f ( x).e x A ( x + 1)e x + C B ( x − 1)e x + C C ( x + 2)e x + e x + C D ( x − 2)e x + e x + C Câu 36 Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đồ thị hàm số y = x đường thẳng y = mx với m ≠ Có số nguyên dương m để diện tích hình phẳng ( H ) số nhỏ 20 (đơn vị diện tích) A B C D Câu 37 Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục \{0} thỏa mãn f (1) = −2, f ( x ) ≠ − x f ( x ) + ( x − 1) f ( x= ) x f ′ ( x ) − với ∀x ∈ \{0} Tính A −2 ln − ⋅ B −2 ln − ⋅ C − ln − ⋅ D − ln − ⋅ 4 x ∫ f ( x ) dx Câu 38 Cho hình lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vng A, AC = a , ACB= 60° Đường thẳng BC ′ tạo với ( ACC ′A′ ) góc 30° Tính thể tích V khối trụ ABC A′B′C ′ A V = a a3 B = V ⋅ C V = 3a D V = a 3 a 17 , hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ( ABCD ) trung điểm H đoạn AB Tính chiều cao hạ từ đỉnh H Câu 39 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SD = khối chóp H SBD theo a a A ⋅ a B ⋅ a 21 C ⋅ 3a D ⋅ Câu 40 Cho khối chóp tứ giác S ABCD, mặt phẳng (α ) qua trọng tâm tam giác SAB , SAC , SAD chia khối chóp thành hai phần tích V1 V2 (V1 < V2 ) Tính tỉ lệ ⋅ 19 B ⋅ 27 16 C ⋅ 81 16 D ⋅ 75 V1 ⋅ V2 A Câu 41 Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân có cạnh huyền Thể tích khối nón cho A π B 3π C 3π D 3π Câu 42 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tam giác SAC cạnh a Bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp a A.= R ⋅ B R = a a C.= ⋅ R a D.= R ⋅ Câu 43 O M N B A Q P Từ tơn hình quạt OAB = có OA 2,= AOB 120o , người ta xác định hai điểm M , N trung điểm OA, OB cắt tơn theo hình chữ nhật MNPQ (như hình vẽ) Dùng hình chữ nhật tạo thành mặt xung quanh hình trụ với đường sinh MQ, NP trùng khít Khối trụ tương ứng tạo thành tích 10 3( 13 − 1) ⋅ 8π 3( 13 − 1) B ⋅ 4π C 3π A D 3 ⋅ 2π Câu 44 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có ba đỉnh A ( 2;1; −3) , B ( 4; 2;1) , C ( 3;0;5 ) G ( a; b; c ) trọng tâm tam giác ABC Tính giá trị P = a.b.c A B C D P = P = P = P = Câu 45 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A(2; 2; 2) , B ( −2; 2;0 ) C ( 4;1; − 1) Trên mặt phẳng ( Oxz ) , điểm cách ba điểm A, B, C ? −1 3 A P ; 0; ⋅ 4 1 3 B M ; 0; ⋅ 2 4 −1 −3 C N ; 0; ⋅ 1 −3 D Q ; 0; ⋅ 2 Câu 46 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1; −2;3) , B ( −2; 2; ) Gọi I ( a; b; c ) tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác OAB Tính T = a + b + c 13 ⋅ B T = C T = 29 D = T ⋅ A T= Câu 47 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho a= (1; −1;0) hai điểm A ( −4;7;3) , B ( 4; 4;5 ) Hai điểm M , N thay đổi thuộc mặt phẳng (Oxy ) cho MN hướng a MN = Giá trị lớn AM − BN A 17 B 77 C − 11 D 82 − Câu 48 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm M ( −3; 4; ) , N ( −5;6; ) , I ( −10;17; −7 ) Viết phương trình mặt cầu ( S ) tâm I bán kính MN A ( x + 10 ) + ( y − 17 ) + ( z + ) = 2 B ( x + 10 ) + ( y − 17 ) + ( z − ) = 12 2 C ( x − 10 ) + ( y − 17 ) + ( z + ) = 12 2 D ( x + 10 ) + ( y + 17 ) + ( z + ) = 2 Câu 49 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi I ( a; b; c ) tâm mặt cầu qua điểm A (1; − 1; ) tiếp xúc với tất mặt phẳng tọa độ Tính P = a − b + c A B C D P = P = P = P = Câu 50 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A (1;1; ) , B ( −1;0; ) , C ( 0; −1;3) điểm M thuộc mặt cầu ( S ) : x + y + ( z − 1) = Nếu biểu thức MA2 + MB + MC đạt giá trị nhỏ độ đài đoạn AM A B C D HẾT 12 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐỒNG THÁP CÂ U HỎI PHƯƠN G ÁN ĐÚNG A KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn: TỐN 12 TĨM TẮT LỜI GIẢI 2 x + y = −1 ⇒ ( x − y )[2 − ( x + y )] = −1 2 y + x = * x= y= * x+ y = không thỏa + x + − x= m + − x − x Điều kiện x ∈ [−3;1] A + x + 1− x = m + − x2 − x ⇔ + − x2 − x + = m + − x2 − x 2 m Đặt t = − x − x + , t ∈ [0; 2] ta −t + 2t + = Phương trình có nghệm m ∈ [6;7] A A A A A A 1 sin x + cos x = ⇒ + sin x = ⇒ sin x =− 9 P( x) =3 x + − x x ∈ [−1;1] x P '( x)= − P '( x) = ⇔ x = − x2 3 M =P =5, m =P(−1) =−3 ⇒ M + m =2 5 bc + 2ca + 3ab − abc =⇒ + + = a b c 162 = + + ≥ 33 ⇒1≥ ⇒ abc ≥ 162 a b c abc abc Đẳng thức xảy a= b= c= b2 + c2 a a + c2 b2 a + b2 c2 − = − + − 5ma2 = mb2 + mc2 ⇔ 4 4 ⇔ b2 + c2 = a2 Tâm I (3;1) đỉnh M thuộc đường thẳng x − y + =0 ⇒ QN : x + y − 13 = N thuộc đường thẳng x − y + = ⇒ N (1;9) ⇒ Q(5; −7) −1 cos x + = ⇔ cos x = π 3π x ∈ 0; ⇒ x ∈ 0; 2 Dùng đường tròn lượng giác giải phương trình lượng giác CÂ U HỎI PHƯƠN G ÁN ĐÚNG A 10 A TÓM TẮT LỜI GIẢI π sin x + cos x + tan= x 2 sin x + ⇔ = 4 cos x 3π sin x + cos x = x = 3π ⇔ ⇔ ⇒S= cos x = x = π Ω= C12= 450 10 = a0 + a1 + a2 Số hạng T = C10k 11 A 4= ( 2) π ; 3 15 = 450 30 Ω A = C62 = 15 ⇒ p (A) = (1 + ) ( sin x + cos x ) ( 2) k ⇒ k = 3n + ⇒ k ∈ {2;5;8} a2 =C102 + C105 + C108 =( C102 + C105 + C108 ) a2 =C102 + C105 + C108 =729 Do ( un ) dãy số tăng ⇒ q > 12 A 13 A u1 (1 + q ) = 28 ⇒ q2 = ⇒ q = 252 u1q (1 + q ) = 1 an= = − n(n + 1) n n + S n =a1 + a2 + + an =1 − ⇒ lim S n =1 n +1 S B C H D 14 A O A Từ giả thiết suy BD ⊥ AC , BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ ( SAC ) ⇒ ( ABCD) ⊥ ( SAC ) Gọi H hình chiếu S lên (ABCD), suy H thuộc AC Góc SB (ABCD) SBH Đặt AB = ⇒ AC =3, BD = Các tam giác ABD,SBD, CBD nên OA=OC=OS Suy tam giác SAC vuông S 15 15 , SA = ⇒ SH = ⇒ HB = 5 SA=2SC nên SC = = cos SBH HB = SB 13 13 CÂ U HỎI PHƯƠN G ÁN ĐÚNG TÓM TẮT LỜI GIẢI B' A' C' D' J H B I A A' B A K O 15 A D ( A ' BD ) // ( CB ' D ') C D AI = IJ= JC ' với I, J trọng tâm tam giác A’BD, CB’D’ d (( A ' BD = ), (C ' BD)) d= ( A, ( A ' BD)) AH 18 18 S ABCD = ⇒ AB AD.sin A = ⇒ sin A =⇒ cos A = 5 5 17 Định lý cosin suy BD = 18 18 S ABD = ⇒ AK = ⇒ AH = 85 409 16 17 A A x = −2 f ( x ) ⇒ g ′ ( x ) = −2 f ′ ( x ) = −2 x + x; g ′ ( x ) = 0⇔ Ta có g ( x ) = = x Dựa vào bảng biến thiên y = g ( x ) , hàm số nghịch biến khoảng (1; +∞ ) Dựa vào bảng biến thiên ta có: Lim f ( x ) = x →−∞ Ta có: f ( x ) = +∞ xLim →+∞ Suy đường thẳng y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số Lim+ f ( x ) = +∞ suy đường thẳng x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số x →0 18 A Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng tiệm cận ngang Có tổng cộng hai đường tiệm cận Dựa vào đồ thị hàm số y = f ' ( x ) , số điểm cực đại hàm số y = f ( x ) A Đồ thị hàm số y = ax + bx + cx + d giao với trục Oy điểm D ( 0; d ) nằm phía trục Ox nên d < , hình dạng đồ thị hàm số ứng với trường hợp a < Hàm số đạt cực tiểu x1 < , đạt cực đại x2 > x1 + x2 > −2b >0 b > S = x1 + x2 > 3a mà a < nên ⇒ c > = P x x < c 0) Do ∆OAB ⊥ O ⇒ I trung điểm AB ⇒ I (− ;0; ) ⇒ T= Gọi M ( x; y;0) mà MN =k a ⇒ MN =(k ; −k ;0) 13 ⋅ MN= ⇒ 2k 2= ⇒ k= k > Tịnh tiến điểm A ( −4;7;3) theo véc tơ MN ta 47 48 = P a= b.c 3.1.1 = −1 3 P ; 0; 4 A′ (1; 2;3) ⇒ AM = NA′ A Do AM − BN = A′N − BN ≤ A′B = 17 Dấu xảy A′, B, N thẳng hàng 2 R = MN = 2 ⇒ ( x + 10 ) + ( y − 17 ) + ( z + ) = A Vì mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ nên 49 a= b= c a = b = −c d= ( I , ( Oyz ) ) d= ( I , ( Ozx ) ) d ( I , ( Oxy ) ) ⇔ a = b = c ⇔ a =−b =c a =−b =−c Nhận thấy có trường hợp a =−b =c phương trình AI = d ( I , ( Oxy ) ) có nghiệm, trường hợp cịn lại vơ nghiệm Với a =−b =c I ( a; − a; a ) AI = d ( I , ( Oyx ) ) ⇔ ( a − 1) + ( a − 1) + ( a − ) = a ⇔ a − 6a + = 50 A 2 ⇔a= Khi P = a − b + c = Gọi G trọng tâm tam giác ABC Ta có G ( 0;0;3) G ∉ ( S ) Khi đó: MA2 + MB + MC = MG + GA + MG + GB + MG + GC ( ) ( ) ( ) 10 CÂ U HỎI PHƯƠN G ÁN ĐÚNG TÓM TẮT LỜI GIẢI = 3MG + MG GA + GB + GC + GA2 + GB + GC ( ) = 3MG + Do ( MA2 + MB + MC ) ⇔ MG ngắn Ta lại có, mặt cầu ( S ) có bán kính R = tâm I ( 0;0;1) thuộc trục Oz , ( S ) qua O Mà G ∈ Oz nên MG ngắn M = Oz ∩ ( S ) Do M ( 0;0; ) Vậy MA = - HẾT - 11 ... ( x + 2020 ) 2021 dx , đặt = u x + 2020 ∫ x ( x + 2020 ) 2021 dx 2021 A ( u − 2020 ) u 2021du ∫ 2020 B ( u − 2020 ) u 2021du ∫0 C 2021 ∫ ( u − 2020 ) u 2021 du 2020 D ∫ ( u − 2020 ) u 2021 du... 2) ∫ x (x + 2020 ) 2021 dx Đặt x + 2020 =u ⇒ x =u − 2020 du xdx =du ⇒ xdx = Đổi cận: Ta có 33 x = ⇒ u = 2020 x =1 ⇒ u =2021 Vậy I = 34 A A 35 36 A 2021 ( u − 2020 ) u 2021du ∫ 2020 e Ta có... HẾT 12 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐỒNG THÁP CÂ U HỎI PHƯƠN G ÁN ĐÚNG A KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020 - 2021 Mơn: TỐN 12 TĨM TẮT LỜI GIẢI 2