tổng hợp đề thi toán học quốc gia

CHƯƠNG I CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN I BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC I.1 Bài toán cực trị hình học Trong chương trình THPT toán cực trị hình học có dạng chung là: Trong tất hình có chung tính chất, tìm hình mà đại lượng (độ dài, khoảng cách, số đo góc, số đo diện tích, số đo thể tích, ) có giá trị lớn hay nhỏ Giả sử hình H thay đổi miền D mà vị trí hay hình dạng thay đổi theo đại lượng cho biểu thức f ứng với biến thiên tập biến số X tập xác định D Khi tìm vị trí hay hình dạng hình H miền D cho f đạt giá trị lớn ta phải xác định hai điều kiện sau: Với vị trí hay dạng hình H miền D f ≥ M (là số) Tồn vị trí hay dạng hình H miền D cho f = M Khi tìm vị trí hay hình dạng hình H miền D cho f đạt giá trị nhỏ ta phải xác định hai điều kiện sau: Với vị trí hay dạng hình H miền D f ≤ m (là số) Tồn vị trí hay dạng hình H miền D cho f = m I.2 Một số dạng Toán cực trị hình học thường gặp Dạng 1: Xác định khoảng cách (độ dài đoạn thẳng) lớn hay nhỏ Dạng 2: Các toán xác định diện tích đa giác, diện tích hình tròn lớn nhất, nhỏ Dạng 3: Các toán xác định thể tích đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Dạng 4: Các toán xác định tính góc lớn hay nhỏ Một số kỹ - Biết cách dựng đường vuông góc từ điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng đặc biệt đường vuông góc tới mặt phẳng - Biết vận dụng kiến thức hình học vào việc chứng minh: song song, vuông góc, chéo nhau, - Biết cách dựng đoạn vuông góc chung hai đường thẳng chéo - Biết cách so sánh, đặt tương ứng khoảng cách cần tìm với khoảng cách để tiện cho việc tính khoảng cách - Biết cách vận dụng thành thạo công thức liên quan đến tính khoảng cách, tính độ dài đoạn thẳng - Kỹ vẽ hình không gian - Kỹ nhận dạng hình đăc biệt như: tam giác(tam giác vuông, cân, đều), Tứ giác có hai đường chéo vuông góc, hình bình hành, hình thoi, chữ nhật - Kỹ nhận dạng đa diện đặc biệt như: đa diện đều, hình chóp đều, lăng trụ đứng, lăng trụ đều, hình hộp, hộp chữ nhật, lập phương - Biết vận dụng linh hoạt công thức vào tính toán - Kỹ nhận dạng khối đa diện đặc biệt - Kỹ xác định chiều cao hình chóp, lăng trụ, hình trụ, hình nón - Kỹ vận dụng linh hoạt công thức tính thể tích, công thức tỉ số thể tích khối chóp tam giác - Kỹ dựng góc hai đường thẳng không gian, góc đường thẳng với mặt phẳng, góc hai mặt phẳng - Biết cách thiết lập tương ứng thay đổi độ lớn đoạn thẳng (góc, diện tích, thể tích ) với đại lượng (biến số) hay hàm số hay nhiều biến số - Biết vận dụng phương pháp tìm cực trị, GTLN, GTNN I.3 Một số phương pháp giải toán cực trị hình học Phương pháp 1: Sử dụng quan hệ đường vuông góc đường xiên Phương pháp 2: Sử dụng quan hệ đoạn thẳng đường gấp khúc, bất đẳng thức tam giác Phương pháp 3: Sử dụng bất đẳng thức đường tròn Phương pháp 4: Sử dụng số phép dời hình Phương pháp 5: Sử dụng số bất đẳng thức Phương pháp 6: Sử dụng phương pháp hàm số II RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC II.1 Kỹ Các kỹ chung giải toán cực trị hình học: Vẽ hình, chứng minh, nhận dạng, áp dụng công thức, tính toán biến đổi linh hoạt, so sánh, Các kỹ giải toán cực trị, tìm GTLN, GTNN hàm số: Kỹ tính đạo hàm, xét dấu đạo hàm, kỹ vận dụng quy tắc tìm cực trị, tìm GTLN, GTNN hàm số Kỹ vận dụng quy trình bước để giải toán cực trị hình học phương pháp hàm số có ứng dụng đạo hàm II.2 Một số khó khăn sai lầm giải toán cực trị hình học Khi giải toán hình học nói chung, giải toán cực trị hình học đặc biệt hình học không gian, học sinh lớp 12 kể học sinh khá, giỏi môn Toán mắc khó khăn sai lầm sau: Trong vẽ hình không gian: khó khăn hình vẽ phức tạp, phương tiện hỗ trợ thô sơ (thước kẻ compa), quy tắc vẽ hình không gian đơn giản song để vẽ hình trường hợp cụ thể gặp khó khăn xác định hình chiếu, đường vuông góc, thiết diện,… dẫn đến vẽ hình sai Khó khăn việc áp dụng định lý, đặc biệt cách xác định góc, khoảng, cách dẫn đến xác định sai góc, khoảng cách Sai lầm không xét toán trường hợp đặc biệt, trường hợp không tồn theo giả thiết 4 Khó khăn sai lầm việc vận dụng phương pháp giải toán cực trị hình học: so sánh đại lượng, áp dụng bất đẳng thức, sử dụng phương pháp hàm số Ví dụ Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a Đường chéo BC’ hợp với mặt bên BAA’B’ góc α Tính thể tích hình lăng trụ Nối BA’ Góc a3 sin α − sin α = ∠ C’BA’ từ tính toán được: V = α 2 A’ C’ A’ C’ I B’ B’ C A C A B B (?) Sai lầm lời giải việc xác định góc BC’ với mp(BAA’B’) Lẽ theo định nghĩa góc đường thẳng mặt phẳng ta phải tìm góc đường thẳng với hình chiếu lên mp Do tam giác A’B’C’ nên gọi I trung điểm A’B’ ⇒ C’I A’B’ C’I ⊥ (A’B’BA) lăng trụ cho Từ suy α ⊥ = ∠ C’BI, sau tính toán ta kết V = a3 3 − sin α sin α Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Lấy hai điểm M N theo thứ tự AC A’B cho AM = A’N = t (0 ) ≤ t ≤ a Tìm GTNN M M, N chuyển động AC, A’B Bài giải z B C M A Lập hệ trục toạ độ Descartes D vuông góc Oxyz cho O trùng N y C’ B’ A’ D’ x B’,trục Ox chứa A’, trục Oy chứa C’ trục Oz chứa B Ta có: A(a; 0; a), C(0; a; a), A’(a; 0; 0), B(0; 0; a), M(a- t ;0; t ) nên t ; t ; a ), N(a- AC = (− a; a;0) t t   ; − a A' B = (−a;0; a ) , MN =  0;− 2   Do MN nhỏ MN đoạn vuông góc chung AC A’B nên at   − =  MN AC = ⇔  MN A' B = a t − a  =    hệ vô nghiệm Vậy giá trị nhỏ không tồn tại! Lời giải sai lầm chỗ MN nhỏ toán xảy mà MN không đoạn vuông góc chung Lời giải là: 2 Từ (!) thay là:MN = a  t   t  − a   +  2   =t2- at +a2 = f(t), (0 ≤ t ≤ ) =0 ⇔t = Khi MN nhỏ a 2 Ta có f’(t) = 2t - 2a a ⇔ M, N trung điểm AC, A’B CHƯƠNG II XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH NHẰM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC I HỆ THỐNG CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH CÓ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC I.1 Mục tiêu Giúp giáo viên có hệ thống toán ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị hình học để rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh đặc biệt học sinh khá, giỏi Giúp học sinh củng cố, nắm vững kiến thức bản, có kỹ giải toán cực trị hình học dựa kiến thức kỹ giải toán cực trị hàm số Phát huy tính tự giác,tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh thông qua việc tự rèn luyện kỹ giải toán dạng Rèn luyện kỹ ứng dụng tri thức Toán học vào nội môn Toán, tăng cường khả ứng dụng tri thức Toán học vào thực tế cho học sinh qua học sinh thấy vai trò công cụ Toán học I.2 Hệ thống toán điển hình I.2.1 Một số toán cực trị hình học không gian tổng hợp Bài toán Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh Điểm M chạy đoạn AA’, điểm N chạy BC cho AM = BN = x (0 < x < 1) P trung điểm C’D’ Dựng tạo bởiC’ D’ thiết diện P mp(MNP) hình lập phương Tìm x để chu vi thiết diện đạt GTNN S Bài giải A’ Gọi Q trung điểm AB, Suy mặt phẳng (MNP) qua Q Thật vậy: D C M M’ I Gọi I trung điểm MN kẻ MM’ // AB (M’ ∈ BB’), T B’ A Q N B II’// MM’ (I’ ∈ M’N) ⇒ I’ trung điểm M’N Vì AM=BN ⇒ II’//QB ⇒ BM’ = BN ⇒ I’ ∈ BC’ // PC’ ⇒ I, P, Q thẳng hàng ⇒ Q ∈ mp(MNP) Ta có thiết diện lục giác MQNTPS Thiết diện có chu vi là: 2p = 4MQ +2NT ⇒ p= 2MQ+NT = x2 + Xét hàm số f(x) = f’(x) = 4x 4x + + (1 − x ) ; (0 < x < 1) x2 + − + (1 − x ) ; (0 < x < 1) f’(x) = ⇔ x= Ta có bảng biến thiên1 x f’(x) _ + + + 32 f(x) Vậy chu vi thiết diện đạt GTNN = 2p = 2f( ) = x = Bài toán Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) SA = 2a, tam giác ABC vuông C, AB = 2a , góc A 300 Gọi M điểm di động cạnh AC, SH ⊥ BM Đặt AM = x, Tính khoảng cách từ S đến BM theo a x Tìm x để khoảng cách S lớn Bài giải SA ⊥ BM   ⇒ BM ⊥ AH BM ⊥ SH  Ta có H A M C Tính khoảng cách từ S đến BM SH SH ⊥ B BM H Tính SH: Ta có ∆ AHM ~ ∆ BCM Mặt khác AM = x, (0 BC = a; BM = ≤ x ≤ a x − 2a x + 4a ⇒ AH = BC AM BM 3) ⇒ AH= ax x − 2a x + 4a Xét tam giác vuông SAH có SH2 = SA2 + AH2 a 4+ ⇒ SH = x2 x − 2a x + 4a Tìm x để SH lớn : SH lớn ⇔ x2 f(x) = x − 2a x + 4a đạt GTLN Ta có f’(x) =  x=0  4a : f ' ( x ) = ⇔ x = ( x − 2a x + 4a )  − 2a x + 8a x Bảng biến thiên: x a + f’(x) f(x) Từfx bảng biến thiên suy Maxf(x) = x = a x) [0; a 3] H trùng với C Khi SH = a với x ∈ Chú ý: Thấy kết đến ta nghiên cứu lời giải tìm cách giải là: Bằng cách so sánh đường ⊥ với đường xiên suy SH lớn H trùng với M M trùng với C Bài toán Cho tứ diện cạnh Các điểm M, N di động AB AC cho mp(DMN) ⊥ mp(ABC) Đặt AM =x, AN =y a) Chứng minh hệ thức x+y = 3xy b) D Xác định vị trí M N để Thể tích tứ diện ADMN đạt GTLN, GTNN c) y A N diện ADMN đạt GTLN, GTNN H x M I Diện tích toàn phần tứ C Bài giải 10 cho O trùng B’,trục Ox chứa A’ , trục Oy chứa C’ trục Oz chứa B (hình bên) Khi đó: A(a; 0; a), C(0; a; a), A’(a; 0; 0), B(0; 0; a), M(at ;0; t ) nên t ; t ;a ) N(a- AC = (− a; a;0) t t   ; − a A' B = (−a;0; a ) , MN =  0;− 2   2 MN =  t   t  − a   +  2   Ta có f’(t) = 2t - 2a =t2=0 at ⇔t = +a2 = f(t), (0 a ⇔ ≤ t ≤ a ) M, N trung điểm AC, A’B Khi MN nhỏ a 2 Chú ý: giải toán phương pháp khác như: - Phương pháp véctơ - Phương pháp hình học tổng hợp: Dùng định lý Cos tam giác Bài toán 14 Cho đường (Q ) : x − y + z − = ∆ giao hai mặt phẳng ( P) : x + y + z − = 0; điểm A(2;1;-1), B(-1;2;0) Trong đường thẳng qua B cắt ∆, viết phương trình đường thẳng cho khoảng cách từ A tới lớn nhất? Bé nhất? Bài giải 24 Xét ur uu r n1 = (1;1;1), n2 = (1; −1;1) , ta có ur uu r  n1 , n2  = (2;0; −2) ,   N(1; 0; 0) thuộc ∆ nên ∆ có véctơ phương (1;0;-1) suy phương trình tham số x = 1+ t  ∆: y =  z = −t  Gọi d đường thẳng qua B cắt ∆ Giả sư d cắt M(1+t; 0; -t) Khi uuuu r uuu r BM = (2 + t ; −2; −t ), BA = (3; −1; −1) d có véctơ ∆ phương suy uuuu r uuu r  BM , BA = (2 − t ; − 2t ; − t )   uuuu r uuu r  BM , BA (2 − t ) + (2 − 2t ) + (4 − t )   d ( A , d ) = = uuuu r Do đó: BM (2 + t ) + + t = 3t − 10t + 12 t + 2t = t=2 3t − 10t + 12 16t − 64 , f '( t ) = , f '(t ) = ⇔  2 t + 2t + (t + 2t + 4) t = −2 Xét hàm số f(t) = Ta có bảng biến thiên: -∞ t f’(t) + -2 +∞ - + 11 f(t)) 3 Vậy khoảng cách từ A tới d lớn 1;0;2) nhỏ 11 t = -2 ứng với M(- t =2 ứng với M(3;0;-2) Hai đường thẳng cần tìm ứng với GTLN, GTNN có phương trình là: d1:  x = −1   y = − 2t  z = 2t  d2: x +1 y − z = = −2 −2 25 Bài toán 15 Cho mặt phẳng ( α ): x+y-z+1 = đường thẳng d giao hai mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = 0;(Q) : x − y − z − = Trong đường thẳng qua A(1;- 1;2) song song với mặt phẳng ( α ) viết phương trình đường thẳng cho khoảng cách ∆ ∆ d lớn Bài giải Ta có: uur nα = (1;1; −1) , đường thẳng d có phương trình tham Do , d qua điểm I(-1; 0; 4) có véctơ phương Giả sử uu r ud = (a; b; c) véctơ phương ∆  x = −1 + 2t  số:  y = t  z = − 3t  uu r ud = (2;1; −3) cần tìm, (a2+b2+c2 > 0) Do ∆ // ( α ) nên a+b-c = Trường hợp 1: a = phương trình: ⇒b  x =1   y = −1 + s  z = 2+ s  Trường hợp 2: a ≠ = c Chọn b = c = Đường thẳng r ur uu r u , u ' IA   d ( ∆, d ) = = r ur  u , u '   Chọn a =1 ⇒c 2b + 24b + 24b + 27 Xét hàm số f (b ) = lớn 4b + 12b + 24b + 24b + 27 ⇔ có = b+1 uu r ud = (1; b; b + 1) r ur uu r u , u ' IA 6b + 2b +   d ( ∆, d ) = = = r ur  u , u ' (4b + 1) + (−2b − 5) + (2b − 1) 24b + 24b + 27   d ( ∆, d ) = ∆ 4b + 12b + lớn 24b + 24b + 27 Khi Ta có  b = − −12(16b + 18b − 9) f '(b) = ; f '(b) = ⇔  (24b + 24b + 27)  b=3  Mặt khác 26 3 lim f (b) = ; f (− ) = 0; f ( ) = 14 b →±∞ Khi f(b) = 5 ; d ( ∆, d ) = 14 14 Vậy f(b) lớn b = < đường thẳng qua A, song song với ( α ) cách d khoảng lớn  x =1   y = −1 + s  z = 2+s  ∆: I.2.3 Một số toán cực trị hình học có ứng dụng thực tiễn Bài toán 16 Cho nhôm hình vuông cạnh a Người ta cắt bốn góc bốn hình vuông nhau, gập nhôm lại hình để hộp không nắp Tính cạnh hình vuông bị cắt cho thể tích khối hộp lớn Bài giải a x Gọi x độ dài cạnh hình vuông bị cắt, điều kiện Thể tích khối hộp 0< x< a V ( x ) = x ( a − x) a Bài toán trở việc tìm x ∈ (0; ) cho V(x) đạt GTLN Ta có V’(x) = (a-2x)2 + x.2(a-2x)(-2) = (a-2x)(a-6x) V’(x) = ⇔ x= a 27 Bảng biến thiên x V’(x) + _ V(x) Từ bảng biến thiên ⇒ a hàm số có điểm cực trị điểm CĐ x= Nên hàm số V(x) đạt GTLN Vậy hình vuông bị cắt x= a Bài toán 17 Một hộp không nắp làm từ mảnh tông theo mẫu h Hộp có đáy hình vuông cạnh h x(cm), chiều cao h(cm) tích x 500cm3 a) Hãy biểu diễn h theo x x b) Tìm diện tích S(x) mảnh tông h c) Tìm x cho S(x) nhỏ Bài giải a) Ta tích khối hộp là: V ( x) = x h = 500(cm ) ⇒ h = 500 , x > x2 b) Diện tích mảnh tông dùng làm hộp 28 S ( x) = x + 4hx ⇔ S ( x ) = x + c) Bài toán quy tìm x 2000 , x > x ∈ (0; + ∞) cho S(x) đạt GTNN Ta có 2000 2( x −1000) S ' ( x) = x − = , x x2 x > 0; S ' ( x) = ⇔ x = 10 Suy bảng biến thiên sau: x 10 - S’(x) + + + + S(x) 300 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy S(x) đạt GTNN x = 10 Vậy muốn tốn nguyên liệu ta lấy độ dài cạnh đáy hình hộp x = 10 cm Bài toán 19 Cắt bỏ hình quạt tròn AOB (hình dưới) từ mảnh tông hình tròn bán kính R dán hai bán kính OA OB hình quạt tròn lại với để phễu có dạng hình nón Gọi x góc tâm quạt tròn dùng làm phễu (H1.3), < x < π a)Hãy biểu diễn bán kính r hình tròn đáy đường cao h hình nón theo R x Tính thể tích hình nón theo R x 29 b)Tìm x để hình nón tích lớn nhất, tính giá trị lớn Bài giải a) Vì độ dài đường tròn đáy hình nón độ dài cung AB π = Rx quạt tròn dùng làm phễu, nên ta có Do h = R2 − r = R2 − Thể tích hình nón R2 x2 R = 2π 4π ⇔ r= Rx 2π 4π − x 2 R3 V = πr h = x 4π − x , < x < 2π 24π b) Bài toán quy tìm x ∈ (0; π ) cho V đạt GTLN Ta có V’ = R x (8π − x ) 24π 4π − x với x∈ (0; π ) ⇒ V’ = ⇔ x= π Bảng biến thiên : x V’(x) + - V(x) Vậy hình nón tích lớn x = π ≈ 1,63 π MaxV = 3 πR 27 30 Bài toán 20 Một hành lang hai nhà có hình dạng lăng trụ đứng (H.12) Hai mặt bên ABB’A’ ACC’A’ hai kính hình chữ nhật dài 20m rộng 5m.Gọi x (m) độ dài cạnh BC Tính thể tích V hình lăng trụ theo x Tìm x cho hình lăng trụ tích lớn nhất, tìm giá trị Bài giải A' 20 m A 5m C' B' C xm B Ta có đáy ABC tam giác có cạnh 5, 5, x ⇒ SABC = 1 (10 + x) x.x.(10 − x) = x 100 − x 4 , x ∈ (0; 10) Ta tích lăng trụ V(x) = SABC.AA’ = 5x ⇔ Hình lăng trụ tích lớn ⇔ 100 - x2 = x2 Bảng biến thiên: x f’(x) ⇔ ⇔x =5 100 − x 100 − x , + 5x 100 − x − x2 = 50 (m3) hàm số f(x) = 5x đạt GTLN với x ∈ (0; 10) Ta có f’(x) = f’(x) = 100 − x 10 - 250 f(x) f(x) fx x) 31 Vậy V lăng trụ lớn x = 2, V = 250 m3 Bài toán 21 Một nhà máy cần sản xuất bể nước tôn có dạng hình hộp đứng đáy hình chữ nhật có chiều dài gấp lần chiều rộng không nắp, tích 4/3m3 Hãy tính kích thước bể cho tốn vật liệu Bài giải h x 2x Gọi x, h chiều rộng đáy chiều cao khối hộp x, h ∈ (0; + ∞ ) Ta có chiều dài đáy 2x ; Thể tích V = 2x.x.h = 2x2h=4/3 ⇔ h= V = 2 2x 3x Diện tích vật liệu làm khối hộp S = Sđ + Sxq = 2x.x + 6x.h ⇒ 4 S(x) = 2x2 + x Xét hàm số S(x) = 2x2 + x với x ∈ (0; + ∞ ) x2 S’(x) =4x - x2 , S’(x) =4x - =0 ⇔x = Bảng biến thiên: x - S’(x) + + + + S(x) Từ bảng biến thiên suy MinS = x = ⇒ h =2/3 32 Vậy để tốn vật liệu bể cần làm có kích thước là: đáy có chiều rộng 1, chiều dài 2, chiều cao khối hộp 2/3 Bài toán 22 Nguời ta muốn sản xuất hộp hình trụ đứng tròn xoay kín hai đáy, với thể tích cho trước V Hãy tìm kích thước hộp cho tốn vật liệu Bài giải Gọi bán kính đáy hình trụ x (x > 0) , chiều cao h, theo công thức tính thể tích khối trụ ta có V = h πx h ⇔ h = V πx Độ lớn vật liệu làm hộp diện tích x toàn phần hình trụ có chiều cao h bán kính đáy x, Stp = π xh + π x2 = π x2 + Xét hàm số f(x) = π x2 + f’(x) = ⇔ V 2π x= 2V x 2V x , x > Ta có: f’(x) = π x - 2V x2 ; Bảng biến thiên: x S’(x) + - + + + S(x) 33 Từ bảng biến thiên suy S(x) nhỏ x = V 2π Vậy để tốn vật liệu hộp hình trụ phải có bán kính đáy x = V 2π , chiều cao h = 2x II KHẢ NĂNG PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HS LỚP 12 THÔNG QUA DẠY GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC Rèn luyện kỹ giải toán cực trị hình học có nhiều hội phát triển tư sáng tạo cho HS thông qua HS rèn luyện hoạt động trí tuệ: Dự đoán, bác bỏ, khái quát hoá, tương tự hoá, vv Vận dụng nhuần nhiễn thao tác trí tuệ phối hợp hoạt động, nhanh chóng phát vấn đề, liên tưởng tốt Chọn nhiều giải pháp, xét nhiều phương diện,.vv Thông qua hai ví dụ sau ta chứng tỏ khả phát triển tư sáng tạo cho học sinh Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Lấy hai điểm M N theo thứ tự AC A’B cho AM = A’N = t (0 ) ≤ t ≤ a Tìm GTNN M M, N chuyển động AC, A’B Có thể tìm lời giải toán theo hướng sau: Dự đoán đoạn MN có đoạn vuông góc chung không? (So sánh) Nếu HS ý đến điều kiện AM =A’N =t kinh nghiệm giải toán gặp toán tìm đoạn vuông góc chung AC, A’C bác bỏ dự đoán thể tính linh hoạt tư Có thể tính MN theo a t tìm x để MN đạt GTNN sau dùng phương pháp đại số hay giải tích để tìm GTNN HD: áp dụng định lý Cosin tam giác hệ tam giác A’BM; BMN để tìm MN theo a t 34 Tiếp cận toán phương pháp toạ độ không gian Chuyển toán hình học tổng hợp sang toán hình học giải tích: Lập hệ trục toạ độ Descartes vuông góc Oxyz cho O trùng B’,trục Ox chứa A’ , trục Oy chứa C’ trục Oz chứa B Từ tìm toạ độ điểm M, N theo a, t Dùng công thức tính khoảng cách để tính MN Tiếp cận toán phương pháp véctơ biểu diễn véctơ MN theo véctơ nằm cạnh hay đường chéo mặt, cụ uuuu r uuur uuuu r uuuuu r MN = MA + AA' + A' N ⇒ MN = ( MA + AA ' + A ' N ) Vì thể: góc cặp véctơ dễ dàng xác định nên cách khai triển bình phương vô hướng vế trái ta suy MN2 = t2- at+a2, Xem xét lại toán cũ để tìm hướng giải hay hơn, hiệu cách giải quen thuộc: Qua hướng tiếp cận toán ta giải toán sau theo hướng mới: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tìm tính độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng AC A’B ( tiếp cận phương pháp toạ độ) Qua cách giải toán giúp HS tìm tòi hướng giải toán nhiều góc độ, cách nhìn khác nhau, giúp cho việc rèn luyện tính linh hoạt tư cho HS Ví dụ Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho đường thẳng ∆ giao hai mặt phẳng (P): x + y – = 0, (Q): điểm A(1; -2; -1), B(2- ;2; -3 ) Tìm M thuộc ∆ x + y + z − = 0, hai cho AM + BM nhỏ 35 Tương tự toán ta nhìn nhận toán theo hướng sau: Hãy đặc biệt hoá toán: Nếu AB ∆ đồng phẳng trở giải toán quen thuộc mặt phẳng Tuy nhiên toán cụ thể AB ∆ không đồng phẳng Tiếp tục trường hợp đặc biệt không gian AB chéo AB vuông góc với ∆ ? ∆ Nếu AB vuông góc với ∆ dựa vào phân tích hình học ta có cách giải là: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa AB (P) ⊥ ∆ , gọi N giao (P) ⇒ ∆ dễ dàng M trùng N AM, BM đường vuông góc hạ từ A, B đến ∆ Hãy giải toán trường hợp tổng quát, tiến hành theo phương pháp hình học tổng hợp giải toán theo bước sau: B1: Tìm toạ độ hình chiếu A1 A lên ∆ ; B1 lên ∆ B2: Tính độ dài AA1; BB1 từ suy điểm N chia A1B1 theo tỉ số − AA1 BB1 = -k B3: Chứng minh AM + BM nhỏ M trùng N Thật gọi A điểm thuộc mặt phẳng chứa (d, B) khác phía (d) thoả mãn AA1 = A1A2 A1A2 ⇒ ⊥ (d) ⇒ NA1 = − k NB1 ⇒ A2, B, N thẳng hàng đpcm Giải toán tổng quát dùng phương pháp đặc trưng hình học giải tích là: Viết phương trình (d) dạng tham số t, ta có toạ độ M thuộc (d) theo tham số t Tính khoảng cách AM, BM theo biểu thức toạ độ, tổng AM + BM giá trị hàm 36 số f biến t, khảo sát hàm số suy t để hàm số đạt GTNN từ suy M Cũng giải toán phương pháp hình học giải tích song hàm f(t) có dạng a2 + b2 + c2 + d Nên ta lựa chọn khéo léo để dùng bất đẳng thức biết HS khá, giỏi: Dùng bất đẳng thức: a2 + b2 + c + d ≥ (a − c) + (b − d ) Khai thác hướng giải toán ta khái quát hoá cách giải cho toán tìm cực trị hình học liên quan đến biến thiên điểm thuộc đường thẳng cho trước BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho tứ diện ABCD có cạnh AB > 1, CD ≤ 1, cạnh khác Gọi V thể tích tìm cạnh ABCD cho V có giá trị lớn Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D, AB = 2a, AD = DC = a; cạnh bên SA ⊥ đáy, SA = 2a, Gọi E trung điểm SA Xét mặt phẳng (P) qua điểm E song song với AB, cắt cạnh SB, BC, AD M, N, F Thiết diện hình chóp S.ABCD cắt (P) hình gì? Tìm F thuộc AD để diện tích thiết diện có diện tích nhỏ Bài Một nhà máy cần sản xuất bể nước tôn có dạng hình hộp đứng đáy hình chữ nhật có chiều dài gấp lần chiều rộng không nắp, tích 4/3m3 Hãy tính kích thước bể cho tốn vật liệu 37 Bài Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Lấy hai điểm M N theo thứ tự AC A’B cho AM = A’N = t (0 ) ≤ t ≤ a Tìm GTNN đoạn MN M, N chuyển động cạnh AC, A’B Bài Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) SA = 2a, tam giác ABC vuông C, AB = 2a , góc A 30 Gọi M điểm di động cạnh AC, SH ⊥ BM Đặt AM = x, Tính khoảng cách từ S đến BM theo a x Tìm x để khoảng cách lớn Bài Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh Điểm M chạy đoạn AA’, điểm N chạy BC cho AM = BN = x (0 < x < 1) P trung điểm C’D’ Dựng thiết diện tạo mp(MNP) hình lập phương Tìm x để chu vi thiết diện đạt GTNN Bài Cho khối chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh C SA ⊥ (ABC), SC = a Hãy tìm góc hai mặt phẳng (SCB) (ABC) để thể tích khối chóp lớn Bài Xét hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy chiều cao thay đổỉ V1 Tìm hệ thức liên hệ cạnh đáy chiều cao hình chóp để V đạt GTNN, V1, V2 thể tích hình cầu ngoại tiếp nội tiếp hình chóp Bài Cho nhôm hình vuông cạnh a Người ta cắt bốn góc bốn hình vuông nhau, gập nhôm lại để hộp không nắp Tính cạnh hình vuông bị cắt cho thể tích khối hộp lớn 38