Câu (2,0 điểm) a) Cho hàm số y mx3 mx m 1 x Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số nghịch biến b) Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị biểu thị Hình Tìm số giá trị nguyên tham số h x f Câu 2 x f x m Câu Câu 2020; 2020 để hàm số (1,0 điểm) Cho log 12 x, log12 24 y giá trị biểu thức S a 2b 3c Câu đoạn có điểm cực trị log 54 168 Câu m axy bxy cx , a, b, c số nguyên Tính (1 điểm) cos x sin x sin x cos x 0 2sin x Giải phương trình (1,0 điểm) Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình x3 x x3 x m m 0 có ba nghiệm thực phân biệt (1,0 điểm) Một thi trắc nghiệm có 50 câu hỏi, câu hỏi có phương án lựa chọn có phương án Biết câu trả lời 0, điểm, câu trả lời sai điểm Một học sinh không học nên làm cách chọn ngẫu nhiên câu phương án trả lời Hỏi điểm số có xác suất xuất lớn nhất? (2,0 điểm) Cho khối tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm cạnh AB, CD ; P điểm nằm đoạn BC cho BP k PC , k a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD trường hợp tam giác ACD vuông A , tam giác BCD vuông cân B AB AC AD a TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII Trang b) Mặt phẳng qua ba điểm M , N , P chia khối tứ diện thành hai khối đa diện tích lần Câu V2 lượt V1 , V2 (trong V1 thể tích phần chứa điểm A ) Tính V1 (1,0 điểm) ACB 75 , B 4; Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có , D điểm thuộc cạnh BC cho DC 2 DB Biết đường cao kẻ từ A có phương trình x y 0 Câu ADC 60 Tìm toạ độ điểm A biết điểm A có hoành độ âm (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 2ab 8bc 2 2a 2b 2c 4ac HẾT Tài liệu chia sẻ Website VnTeach.Com https://www.vnteach.com Một sản phẩm cộng đồng facebook Thư Viện VnTeach.Com https://www.facebook.com/groups/vnteach/ https://www.facebook.com/groups/thuvienvnteach/ HƯỚNG DẪN GIẢING DẪN GIẢIN GIẢII Câu (2,0 điểm) a) Cho hàm số y mx3 mx m 1 x Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số nghịch biến b) Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị biểu thị Hình Tìm số giá trị nguyên tham số h x f m đoạn 2020; 2020 để hàm số x f x m có điểm cực trị Lời giải y mx mx m 1 x a) Cho hàm số Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số nghịch biến Trang TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII Ta có: y mx3 mx m 1 x y 3mx 2mx m Hàm số nghịch biến khi: y0, x 3mx 2mx m 0, x Trường hợp 1: 3m 0 m 0 3mx 2mx m 0, x 0 (vơ lí) Trường hợp 2: 3m 0 m 0 , Ta có 3mx 2mx m 0, x m m a 3m m m 2 3 m 3m m 1 0 2m 3m 0 m 0 b) Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị biểu thị Hình Tìm số giá trị nguyên h x f x f x m 2020; 2020 m tham số đoạn để hàm số có điểm cực trị y x O Đặt g x f x f x g x 2 f x f x f x 2 f x f x x0 ;0 f x f x0 g x 0 f x f x 0 f x 0 x 1 x 3 g x0 f x0 f x0 2 g 1 f 1 f 1 1 4.1 5 g 3 f 3 f 3 02 4.0 0 Ta có: y g x Bảng biến thiên hàm số là: TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII Trang y g x y f x f x suy từ đồ thị hay cách tịnh tiến lên đoạn m m m tịnh tiến xuống đoạn Đồ thị hàm số y g x m m m m Ta có: đồ thị hàm số hàm số - y g x m h x f x f x m hay y g x m suy từ đồ thị cách: y g x m nằm phía trục Ox y g x m Lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía Ox qua Ox bỏ phần Giữ nguyên phần đồ thị đồ thị y g x m nằm phía Ox Nên số điểm cực trị đồ thị hàm số y g x m số điểm cực trị đồ thị hàm số y g x m cộng với số giao điểm (không điểm cực trị) đồ thị hàm số với trục hoành Vậy đồ thị hàm số đồ thị hàm số h x f x f x m y f x f x m y g x m có ba điểm cực trị điểm cực tiểu nằm phía thuộc trục Ox f x f x m 0 g x m 0 g x0 m 0 m 0 m Câu 2020; 2020 m 2020; 2019; ; 3; 4 Vì m nguyên thuộc đoạn nên Có 2017 giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán (1,0 điểm) axy log 54 168 bxy cx , a, b, c số nguyên Tính Cho log 12 x, log12 24 y giá trị biểu thức S a 2b 3c Lời giải Từ giả thiết ta có: log 12 log 12 x x log x.log x.log log 2 log 1 log 23.3 log 24 log12 24 y y y log log 3 y log 12 log 2.3 log Thế 2 vào 1 log ta được: log 3.7 log 54 168 Khi đó: Trang log 2.33 x y 1 3 2y y 2 log log 3log 3 3 2y y x y 1 3 2y y TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII log 54 168 xy xy x a 1 b S a 2b 3c 1 3.8 15 c 8 Câu Suy ra: (1 điểm) cos x sin x sin x cos x 0 2sin x Giải phương trình Lời giải x k 2 2sin x 0 sin x x k 2 Điều kiện cos x sin x sin x cos x Phương trình trở thành cos x cos x 2sin x.cos x sin x 0 2cos x cos x 2sin x.cos x sin x 0 cos x 1 cos x 3 sin x cos x 1 0 cos x 1 sin x cos x 3 0 cos x sin x cos x 3 Câu x k 2 sin x 4 VN x k 2 k Kết hợp với điều kiện, họ nghiệm phương trình (1,0 điểm) m Tìm tất giá trị thực tham số để phương trình x x x3 3x m m 0 có ba nghiệm thực phân biệt Lời giải 3 3 3 Đặt t x x m t 2 x 3x m m t x 3x t 2t x x x t 2t x 1 x 1 Thay vào phương trình cho, ta Xét hàm số f (u ) u 2u có f (u ) 3u 0, u nên hàm số đồng biến Do đó, phương trình trở thành f (t ) f ( x 1) t x Với t x x x m x , phương trình cho trở thành m x 3x x 1 g ( x ) x 3; g ( x ) x Xét g ( x) x 3x ta có Bàng biến thiên: TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII Trang Câu Căn vào BBT, ta thấy ycbt m (1,0 điểm) Một thi trắc nghiệm có 50 câu hỏi, câu hỏi có phương án lựa chọn có phương án Biết câu trả lời 0, điểm, câu trả lời sai điểm Một học sinh không học nên làm cách chọn ngẫu nhiên câu phương án trả lời Hỏi điểm số có xác suất xuất lớn nhất? Lời giải Khôn gian mẫu có số phần tử số cách chọn phương án trả lời câu hỏi n 450 Gọi x số câu hỏi học sinh trả lời đúng, suy học sinh trả lời sai 50 x câu với x , x 50 Khi số điểm học sinh đạt A 0, x điểm C50x 1x.350 x P A 450 Xác suất để học sinh A điểm x x 50 x Để điểm A có xác suất xuất lớn C50 phải lớn 3 50 50 C50x 1x.350 x x 0 Khi ta tìm số lớn khai triển 1 x 50 x x 50 x 1 C50 C50 47 51 x 51 x x x 50 x 4 C50x 1.350 x 1 C50 50 x x Ta có: Do x x 12 Câu Vậy khả học sinh 12 câu lớn hay điểm 2, có xác suất xuất lớn (2,0 điểm) Cho khối tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm cạnh AB, CD ; P điểm nằm đoạn BC cho BP k PC , k a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD trường hợp tam giác ACD vuông A , tam giác BCD vuông cân B AB AC AD a b) Mặt phẳng qua ba điểm M , N , P chia khối tứ diện thành hai khối đa diện tích lần V2 lượt V1 , V2 (trong V1 thể tích phần chứa điểm A ) Tính V1 Lời giải a) Hình vẽ: Trang TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII a AN CD 2 Vì tam giác ACD vng cân A nên a BN CD 2 Tam giác BCD vuông cân B nên 2 2 Nhận thấy AN BN a AB , tam giác ABN vng cân N BN CD BN ACD BN AN Suy , hay BN đường cao khối tứ diện 1 a 2 a3 VABCD BN S ACD a 3 2 12 (đvtt) Vậy thể tích khối tứ diện ABCD b) Hình vẽ: Gọi I giao điểm AC MP , gọi Q giao điểm IN AD Khi thiết diện tạo MNP MPNQ mặt phẳng Theo định lý Menelaus ta có: IC MA PB IC k IC 1 1 I , P, M thẳng hàng nên IA MB PC IA 1 IA k IC QA ND QA QA 1 1 k QA kQD I , N , Q thẳng hàng nên IA QD NC k QD QD MNP chia tứ diện thành hai phần, V1 thể tích khối đa diện chứa V VA.MNQ VAMNCP V2 VB.MNP VBMNQD điểm A , nghĩa ; (1) Vì N trung điểm CD nên VA BNC VA.BND (2) VA.QMN AQ AM AN k k VA.QMN VA.DBN VA.DBN AD AB AN k 2 k 1 Ta có: (3) k 2 VBMNQD VA.DMN VA.QMN VA.DMN k 1 (4) Ta có mặt phẳng TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII Trang Tương tự: VB.PMN BP BM BN k k VB.PMN VB.CAN VB.CAN BD BA BN k 2 k 1 VAMNCP VB.CAN VB PMN Câu (5) k 2 VB.CAN k 1 (6) Thay (2), (3), (4), (5) (6) vào (1) ta có V1 V2 (1,0 điểm) ACB 75 , B 4; Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có , D điểm thuộc cạnh BC cho DC 2 DB Biết đường cao kẻ từ A có phương trình x y 0 ADC 60 Tìm toạ độ điểm A biết điểm A có hồnh độ âm Lời giải d : x y 0 Đường thẳng qua A, H có phương trình B 4; n n 2;1 nBC 1; BC d Đường thẳng BC qua có vtpt: BC : 1 x y 0 hay BC : x y 0 Khi đó, phương trình x y 0 H 0;0 H d BC x y H Gọi toạ độ điểm nghiệm hệ HD cot D cot 60 HD DC HC cot C cot 75 DC 2, DH D ; DB DB 3 Từ giả thiết ta có: 2 3 15 HD ; ; HD 3 15 HA HD.tan D tan 60 2 Ta có: Vì A d : x y 0 A x A ; x A HA x A2 x A x A Do ta có Câu x A 2 x A Vậy toạ độ điểm (1,0 điểm) A 4;8 (do x A ) y A 8 Cho số thực dương a, b, c thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức Trang TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII P 2ab 8bc 2 2a 2b 2c 4ac Lời giải Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có 2ab 8bc 2 2a.b b.2c 2a b b 2c 2 a b c Mặt khác, theo bất đẳng thức AM-GM dạng cộng mẫu số, ta có 2 2a 2b 2c 4ac 2 a c 2b a b c P Khi a b c a b c 1 Đặt t a b c, với t Suy P f t 2t t f t 0; , ta có t 1 f t 0 t 1 t Xét (do t ) Bảng biến thiên Xét hàm số f t Dựa vào bảng biến thiên, ta suy Vậy giá trị nhỏ biểu thức TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII 2 2t t 1 f t f 1 0; P 1 1 a ,b ,c 4 Trang