Toán vdc hsg4 hsg toán 12 hưng yên 2020 2021 hoàn thiện

Câu (6,0 điểm) y = g ( x ) = x +( m +1) x +1 m ( C ) ( tham số thực) Tìm m để đồ thị Cho hàm số hàm số y = f ( x) = x +( m - 1) x +( 1- m) x - cắt trục hồnh ba điểm phân biệt có hồnh x1 , x2 , x3 thỏa mãn g ( x1 ) + g ( x2 ) + g ( x3 ) = 15 y  f  x f  x  9  x , x   Cho hàm số có đạo hàm Tìm tất giá trị thực độ 1  y  f  x  x    m  1  ln x   x  nghịch biến nửa khoảng  tham số m để hàm số  1;    Câu (4,0 điểm) Giải phương trình x   x  x  1 3x  x  x 0 Cho số thực a, b thỏa mãn mãn  c  d  log3  2c  d   2c  3cd  d  4c  4d 0 T  a  2c    b  d  Câu log a2 b2 20  6a  8b   1 số thực dương c, d thỏa Tìm giá trị nhỏ biểu thức (5,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có AB  AC 2a, BC a, SA 3a Thể tích khối chóp S ABC theo   SAC 60 a biết SAB S R 9  cm  Cho điểm A nằm mặt cầu   tâm O bán kính Gọi I , K hai điểm đoạn OA cho OI  IK  KA Các mặt phẳng qua I , K vng góc với OA cắt mặt cầu  S theo đường tròn  C1  ,  C2  Gọi V1, V2 thể tích khối nón đỉnh O , V1 đáy đường trịn Tính tỉ số V2 Cho hình lăng trụ ABC ABC  có đáy tam giác vng A , AB  AC a ( a  ), biết  C1  ,  C2   BCC B BA BB BC ; góc hai mặt phẳng Tính khoảng cách hai đường thẳng AC  BC Câu  ABBA  với tan   2 (4,0 điểm) xdx I  2 x  3x  Tìm nguyên hàm Câu (4,0 điểm) Cho dãy số  an  a1 2  2021an1 an2  2023an  1, n 1 xác định sau  TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII Trang  a  a2  a 1  lim     n  a2  a3  an 1    Tính n   Câu (2,0 điểm) Gọi S tập số tự nhiên có chữ số đơi khác lập từ chữ số 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 Chọn ngẫu nhiên số từ tập S Tính xác suất để số chọn chia hết cho HẾT Trang TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA HƯỚNG DẪN GIẢI NG DẪN GIẢI N GIẢI I Câu (6,0 điểm) Cho hàm số số y  g  x   x   m  1 x  m C ( tham số thực) Tìm m để đồ thị   hàm y  f  x  x3   m  1 x    m  x  cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hồnh độ x1 , g  x1   g  x2   g  x3  15 x2 x3 , thỏa mãn y  f  x f  x  9  x , x   Cho hàm số có đạo hàm Tìm tất giá trị thực 1  y  f  x  x    m  1  ln x   x  nghịch biến nửa khoảng  tham số m để hàm số  1;    Lời giải  Đồ thị hàm số y  f  x   x3   m  1 x    m  x  phương trình cắt trục hoành ba điểm phân biệt x   m  1 x    m  x  0  1 có ba nghiệm phân biệt  x 1   x  1  x  mx  1 0    x  mx  0 Ta có   Do phương trình   có ba nghiệm phân biệt phương trình x  mx  0 có m  0 m     m  40  m   2 hai nghiệm phân biệt khác  x x x 1 thỏa  Khi đó, theo định lí Vi-et phương trình   có ba nghiệm phân biệt ,  x1  x2  m  x x 1  3 mãn   Ta có: g  x   x   m  1 x   m  2m  3 x   m  1 x   Chia biểu thức g g  x cho f  x ta  x   x   m  3  f  x    m   x2   m2  4m  x  m   Suy g  x1   m   x12   m  4m  x1  m  g  x2   m   x22   m  4m  x2  m  g  x3   g  1  m     m  4m   m  m  6m   Do đó:      m     x  x   x x    m  4m   x  x   m    2 2 g  x1   g  x2   g  x3  15   m   x1  x2  m  4m  x1  x2   m  8m  17 15 2 TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII 2 2  8m  17 15   Trang  m 1   m  Kết hợp với điều kiện  Thay   vào   rút gọn, ta m  3m  0  2 ta m  thỏa mãn yêu cầu toán 1  g  x   f  x  x    m  1  ln x   x  có   Xét hàm số    1  g  x   f  x  x    m  1  ln x    x   f  x  x    m  1    x  x x  x 1 2  x  1    x  x     m  1   x   Hàm số  y g  x  nghịch biến nửa khoảng  1;   g  x  0, x   1;   x 1  x  1    x  x     m  1 0, x   1;      x Khi đó:  m  2 x   x  x    , x   1;      (*) h  x  2 x   x  x      nửa khoảng  1;    có: Xét hàm số h x  4 x   x  x   9  x 2  x    x  x    h x  4 x  x  1  x  3  x  x    x  x  1  x    0, x   1;    h  x  2 x   x  x      nửa khoảng  1;    sau: Bảng biến thiên hàm số Dựa vào bảng biến thiên: điều kiện (*) xảy m  0   m 1 Vậy tất giá trị thực tham số m thỏa mãn điều kiện đề là:  m 1 Câu (4,0 điểm) Giải phương trình x   x  x  1 3x  x  x 0 Cho số thực a, b thỏa mãn mãn log a2 b2 20  6a  8b   1  c  d  log  2c  d   2c  3cd  d  4c  4d 0 T  a  2c    b  d  số thực dương c, d thỏa Tìm giá trị nhỏ biểu thức Lời giải x  Đặt t 3 (t  0) , phương trình cho trở thành: Trang TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA t   x  x  1 t  x  x 0 (*)   x  x  1    x  x   x  x   x3  x  x  x3  x  x  x3  x  x   x  1    x  x  1   x  1 t  (*)     t    x  x  1   x  1     x  x  1   x  x  1 x 3      x  x  1   x  x  1  3x     3x  x  x  2 x   Phương trình  Phương trình  1  2  1 x vơ nghiệm   x 0 x     3x  x  0 x x Xét hàm số y 3  x  có tập xác định D  , đạo hàm y 3 ln  2 y 0  3x   x log ln ln Ta có bảng biến thiên hàm số sau: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình   có nghiệm Dễ nhận thấy nghiệm phương trình   là: x 0 x 1 Vậy phương trình cho có hai nghiệm là: x 0 x 1 2  Với điều kiện: 6a  8b   (*) a  b  20  nên: 2 log a2 b2 20  a  8b   1  6a  8b  a  b2  20   a  3   b   1 Do đó: M  a; b   C  :  x  3 thuộc đường tròn TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII 2   y   1 Trang C I 3;  Đường tròn   có tâm  , bán kính r 1  Vì: c  d  nên:  c  d  log  2c  d   2c  3cd  d  4c  4d 0  log  2c  d    2c  d   0 (1) f  t   1  f  t  log t  t  t ln Xét hàm số với t  có với t  f  t 0;     f t 0 Suy đồng biến khoảng  phương trình   có tối đa nghiệm t  f 0 f t 0 Mặt khác ta có:   Vậy t 3 nghiệm phương trình   Từ (1)  2c  d 3  2c  d  0 Do đó: N  2c; d  điểm thuộc đường thẳng  : x  y  0  T  a  2c    b  d  MN d  I ;    3 4 Xét: 12  12 Suy ra: T min MN 2    nằm  C  Do đó: MN 2  r 2    T  2  9  Khi MN 2  Suy ra: M IN   C  Giá trị T đạt khi: N hình chiếu I lên  + Gọi  đường thẳng qua I vuông góc với  thì:  :  1 x  3   y   0  : x  y  0 c     N  1;  , d 2 Khi đó:    MN  2  MI M IN   C  +    ON  2  OI     OM   ;   1 2   Suy ra:    a  6 2 , b    8 2 thỏa mãn điều kiện (*) Vậy: T 9  Minh họa hình vẽ: Trang TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA Câu (5,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có AB  AC 2a, BC a, SA 3a Thể tích khối chóp S ABC theo   SAC 60 a biết SAB S R 9  cm  Cho điểm A nằm mặt cầu   tâm O bán kính Gọi I , K hai điểm đoạn OA cho OI IK KA Các mặt phẳng qua I , K vng góc với OA cắt mặt cầu  S theo đường tròn  C1  ,  C2  Gọi V1,V2 thể tích khối nón đỉnh O , V1 C , C đáy đường tròn     Tính tỉ số V2 Cho hình lăng trụ ABC ABC  có đáy tam giác vng A , AB  AC a ( a  ), biết BA BB BC ; góc hai mặt phẳng  BCC B  ABBA  với Tính khoảng cách hai đường thẳng AC  BC tan   2 Lời giải  Gọi H trung điểm BC , ta có AB  AC nên AH  BC SAB SAC  c.g c   SB SC Ta có nên SH  BC , suy BC  ( SAH )  Do ( SAH )  ( ABC ) Trong mặt phẳng ( SAH ) , kẻ SO  AH O  SO  ( ABC ) a 15  2a      a 2  2  Trong ABC , AH  AB  HB = 2 2 o  Xét SAB, ta có SB SA  AB  2SA AB.cos 60 7a  SB a SC Có SH  SB  BH  3 a 11 S SAH  p ( p  SA)( p  SH )( p  AH ), p  ( SA  AH  SH )  a SO  2S SAH 165  a AH 1 11 VS ABC  SO.S ABC  SO AH BC  a 3  Vậy Thể tích khối chóp S ABC là: TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII Trang Cách 2:    Đặt AS m , AB n , AC  p , SAB  , SAC  , BAC  VSABC  abc  cos  cos  cos   cos   cos   cos   Sử dụng công thức tính nhanh:  Áp dụng : m 3a, n  p 2a , cos    cos BAC  cos  cos  cos 60  AB  AC  BC  AB AC 1 1 49 11 VSABC  3a.2a.2a      a 2 4 64  Ta có Từ giả thiết suy OI IK KA 3 C , C r ,r Gọi bán kính     , ta có r1 6 2, r2 3  r OI V1   V2  r OK Do Trang TÀI LIỆU ƠN THU THPT QUỐC GIA A' C' B' Q M A P C K H B  Gọi H trung điểm BC Vì tam giác ABC vng cân A nên: BH CH  AH  BC a  2 , suy H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC AH  BC BH   ABC    BBC    ABC  Mặt khác, theo giả thiết ta có BA BB BC nên ,   BBC    ABC  BC AH  BC  AH   BBC  mà BCC B K  BB  Do AH  BB Trong  kẻ HK  BB  nên  AHK   BB  AK  BB Do góc hai mặt phẳng  BCC B AKH  AH   BBC   AH  HK , nên AHK vuông H  ABBA a AH 2a HK     5 tan AKH 2  Xét tam giác AHK vng H có:  B HB H HK  Xét tam giác vng có đường cao nên 1 1 1 2a 17       BH  2 2 2 HK BH BH BH HK BH 17 ABC  P  AC  BH   ABC   AC   BHP   Trong  kẻ HP  AC  , mà AC  BH ,  nên   ACB   BHP   ACB   BHP  BP , BHP  HQ   ACB Trong  kẻ HQ  BP , với Q  BP , Q HQ d  H ,  ACB  Do a HP  HQ đường cao nên  Trong tam giác BHP vng H có TÀI LIỆU ƠN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII Trang 1 2a 33    HQ  2 HQ PH BH 33 AC // AC  AC //  ACB  d  AC , BC  d  AC ,  ACB  d  C ,  ACB   Ta có Gọi M BC  C H ; Vì BC  // HC nên ta có d  C ,  ACB  C M C M BC   2   2 HM HC d  H ,  ACB  HM  Nên  Vậy: Câu , CH   ABC  M d  C ,  ACB  2.d  H ,  ACB  2.HQ 2 d  AC , BC   2a 33 4a 33  33 33 4a 33 33 (4,0 điểm) xdx I  2 x  x 1 Tìm nguyên hàm Lời giải xdx   I     dx ln x   ln x   C  x  1  x  1  x  x   Ta có Câu (4,0 điểm) Cho dãy số  an  a1 2  2021an1 an2  2023an  1, n 1 xác định sau   a  a2  a 1  lim     n  n   a  a3  an 1    Tính Lời giải  Ta có : 2021an 1 an2  2023an   2021  an1  an  an2  2an 1  2021 an 1  an   an  1 0, n suy dãy số  an   tăng, suy an 2, n    Mặt khác ta có: 2021an 1 an2  2023an   2021  an 1 1  an  1  an  2022   an  2021  an 1  an  2022  a  a2    a 1  1 lim     n 2021 lim       n   a  n   a  2022 a3  an 1   a2  2022 an  2022     Vậy 1 2021 an 1  1  an  1  an  2022     an  2022 an  an 1   Từ  Suy tổng 1 Sn     a1  2022 a2  2022 an  2022  Sn  Trang 10 1 1 1       a1  a2  a2  a3  an  an 1  TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA  Sn  Vì  an  1 1   Sn   a1  an 1  an1  dãy tăng, ta xét: lim an b a  TH1: Dãy số  n  tăng bị chặn Giả sử n   với điều kiện b 2 2 Khi 2021b b  2023b   b  2b  0  b  (không thỏa mãn điều kiện)  an   TH2: Dãy số lim S n  Vậy n  tăng không bị chặn Khi lim an  n   lim suy n   an 1  0  a  a2  a   2021 lim     n  n   a  a3  an 1    Vậy Câu (2,0 điểm) Gọi S tập số tự nhiên có chữ số đơi khác lập từ chữ số 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 Chọn ngẫu nhiên số từ tập S Tính xác suất để số chọn chia hết cho Lời giải  Từ 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 ta lập A 3024 số tự nhiên có chữ số đơi khác n  C3024 3024 Suy số phần tử không gian mẫu    Gọi A biến cố: “Số chọn chia hết cho ”  Các số tự nhiên từ đến chia thành nhóm: - Nhóm I gồm số tự nhiên chia hết cho 3, gồm số - Nhóm II gồm số tự nhiên chia cho dư 1, gồm số - Nhóm III gồm số tự nhiên chia cho dư 2, gồm số  Để chọn số có chữ số chia hết cho tổng chữ số chia hết cho 3, ta có trường hợp sau: 1 - chữ số thuộc nhóm I, chữ số thuộc nhóm II, chữ số thuộc nhóm III có 4!.C3 C3 C3 cách - chữ số thuộc nhóm I, chữ số thuộc nhóm II có 4!.C3 C3 cách - chữ số thuộc nhóm I, chữ số thuộc nhóm III có 4!.C3 C3 cách 2 - chữ số thuộc nhóm II, chữ số thuộc nhóm III có 4!.C3 C3 cách Suy n  A  4! C32 C31.C31  C31.C33  C31.C33  C32 C32  1008 P  A   Vậy xác suất cần tìm TÀI LIỆU ƠN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII n  A  1008   n    3024 Trang 11 Hướng dẫn tìm tải tài liệu https://forms.gle/LzVNwfMpYB9qH4JU6 Trang 12 TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA