Toán vdc hsg6 hsg toán 12 sở lâm đồng 2020 2021 hoàn thiện

PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu (4,0 điểm) x  x   x   x  x a) Giải phương trình   Câu Câu    x4  y3  log xy   7   Tính log x y  log y x x , y  x  y b) Cho hai số thực thỏa (2,0 điểm) y  x  mx  m Cho hàm số Tìm tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A, B, C thỏa đường tròn nội tiếp tam giác ABC có bán kính (2,0 điểm)  T  khối cầu  S  có Một rơ bốt thiết kế hình dạng gồm khối trụ  dm  xếp chồng lên (tham khảo hình minh họa bên) bán kính 32  dm3  Biết thể tích tồn khối rơ bốt Tính chi phí để làm bề mặt tồn phần rơ bốt, biết chi phí chế tạo dm bề mặt 30 000 đồng (Lấy  3,14 ) Câu (2,0 điểm) x 1 x  x     x  x  m x 1 x  Tìm tất giá trị m để phương trình x có ba nghiệm phân biệt Câu (2,0 điểm) Trong đợt cắm trại, trường THPT X tổ chức trò chơi chọn "Số may mắn" qua phần mềm máy tính Mỗi học sinh tham gia chơi bấm lần để chọn ngẫu nhiên có bốn chữ số "Số may mắn" số có bốn chữ số khác nhau, chữ số đầu khác gồm hai chữ số chẵn, hai chữ số lẻ cho tổng chữ số chẵn tổng chữ số lẻ Học sinh A tham gia trò chơi, tính xác suất để A bấm chọn "Số may mắn" ? PHẦN RIÊNG DÀNH CHO THÍ SINH HỆ THPT(CÂU 6A, 7A, 8A, 9A) Câu 6A (2,0 điểm) Tìm tất cặp số  x, y  x y  7 với x , y số nguyên dương thỏa x  y.4 Câu 7A (2,0 điểm) TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII Trang Cho khối chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B , AB 3a Biết SA  AB , SB SC khoảng cách hai đường thẳng SB, AC 2a Tính theo a thể tích khối chóp S ABC Câu 8A (2,0 điểm) Trong đợt quyên góp ủng hộ đồng bào bị lũ lụt năm 2020, có 25 học sinh lớp 12A tham gia ủng hộ, học sinh ủng hộ nhiều tờ tiền khác ba loại tờ tiền mệnh giá 5.000 đồng, 10.000 đồng 20.000 đồng Biết số học sinh tham gia ủng hộ thỏa đồng thời ba kết sau: (1) Số học sinh ủng hộ tờ 5.000 đồng tổng số học sinh ủng hộ tờ 10.000 đồng số học sinh ủng hộ tờ 20.000 đồng (2) Trong số học sinh không ủng hộ tờ 5.000 đồng số học sinh có ủng hộ tờ 10.000 đồng nhiều gấp hai lần số học sinh có ủng hộ tờ 20.000 đồng (3) Số học sinh ủng hộ tờ 5.000 đồng nhiều số học sinh ủng hộ tờ 5.000 đồng tờ khác học sinh Hỏi có học sinh lớp 12A ủng hộ tờ 10.000 đồng ? Câu 9A (2,0 điểm) 2 f  x  mx  nx  px  q Cho số thực a, b, c thỏa a  b  c 0 ; a  b  c 1 hàm số  m, n, p, q  R  có đồ thị hình bên  36  P  f   a  b5  c     Tìm giá trị nhỏ biểu thức: PHẦN RIÊNG DÀNH CHO THÍ SINH HỆ GDTX(CÂU 6B, 7B, 8B, 9B) Câu 6B (2,0 điểm) Tìm tất cặp số  x; y  log  x  y  1  log  x  y  với x, y số nguyên thỏa ? Câu 7B (2.0 điểm) Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, mặt bên SAB tam giác cạnh 2a nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Biết góc SC mặt đáy 450  SCD  Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng Câu 8B (2,0 điểm) Trong đợt quyên góp ủng hộ đồng bào lũ lụt năm 2020 , học sinh lớp 12B đóng góp 1800000 đồng, bao gồm ba loại tiền mệnh giá 5000 đồng, 10000 đồng 20000 đồng Biết tổng số tiền mệnh giá 5000 đồng 10000 đồng nhiều tổng số tiền mệnh giá 20000 đồng 200000 đồng tổng số tiền mệnh giá 5000 đồng nhiều tổng số tiền mệnh giá 10000 đồng 100000 đồng Hỏi lớp 12B đóng góp tờ tiền loại? Câu 9B (2,0 điểm) Trang TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA Cho hàm số f  t  at  bt  c có bảng biến thiên sau: Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q  f   sin x  HẾT TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII Trang HƯỚNG DẪN GIẢI NG DẪN GIẢI N GIẢI I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu (4,0 điểm) a) Giải phương trình x  x   x   x  x log x  y   log y  x  b) Cho hai số thực x, y thỏa  x  y Lời giải  x  x  0  x 2  x    a) Điều kiện:  x4  y3  log xy   7   Tính   x  x   x  x  x  x  x    x x  0  Ta có  x  0  x 2    x    x x  0  *  x 1 1  x x  0  *  x x      x  1  x  1 0  Phương trình x  x  3 x  3x x x     0   x  3    0 x  1 x   x 1  x  1 x   x 1  x x   0, x 2  x  0 (do x   x   x  )  x 3 S  2;3  Vậy tập nghiệm phương trình cho log x  y   log y  x  7  3log x y  log y x 7 b) Ta có  Đặt t log x y suy t  t 1 (  x  y )    t 4  3t  7  3t  7t  0  3 t  t  t 1 Khi (do t 1 ) 4 log x y   y  x  Suy  x4  y3   x4  x4  12 log xy   log log x 4      7 x x  x3   Vậy Câu (2,0 điểm) y  x  mx  m Cho hàm số Tìm tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A, B, C thỏa đường trịn nội tiếp tam giác ABC có bán kính Lời giải Ta có : y 2 x  2mx  x 0 y 0    x m Trang TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA  Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A, B, C m     m  2m   m  2m  B m ; C  m ;    A  0; m  2 ;    Khơng tính tổng qt, giả sử ;   Từ công thức S ABC  p.r , p nửa chu vi tam giác, r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Trong đó:  m  2m m m   S ABC  a.ha 2 với a BC 2 m , m2 m S ABC  Suy p m  4m m  4m a b c b  AC  c  AB  2 , với a BC 2 m , , m  m  4m Suy S m2 m r 1  1  1  m 2  m3  4 p m  m  4m  Theo giả thiết p  m     m   m3     m     m  4m  m  Câu  m   2  m  m  m   0 (vì m  ) m      m 0  m    2    17 m m  m      m      17  17  m  m    17 m  Vậy với thỏa mãn điều kiện toán yêu cầu (2,0 điểm)  T  khối cầu  S  có Một rơ bốt thiết kế hình dạng gồm khối trụ  dm  xếp chồng lên (tham khảo hình minh họa bên) bán kính TÀI LIỆU ƠN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII Trang 32  dm3  Biết thể tích tồn khối rơ bốt Tính chi phí để làm bề mặt tồn phần rơ bốt, biết chi phí chế tạo dm bề mặt 30 000 đồng (Lấy  3,14 ) Lời giải 32 dm3    Ta tích khối cầu 64 dm3   T   Từ giả thiết suy thể tích khối trụ 64 16  22.h    h   dm  T   3  Gọi h chiều cao , suy  S 4 22  2 22  2 16 136   142,35 3  Vậy tổng diện tích bề mặt tồn phần robot 136  30000 4.270.400  Chi phí để làm bề mặt tồn phần robot đồng Câu (2,0 điểm) x 1 x  x     x  x  m x 1 x  Tìm tất giá trị m để phương trình x có ba nghiệm phân biệt Lời giải D  \   2;  1;0  Điều kiện xác định:  Phương trình cho tương đương với x 1 x  x     x   x m x x 1 x  (1) Trang TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA x 1 x  x  x 1 x  x     x4  x     x x 1 x  x x 1 x   Xét hàm số 1 x4 f  x        0, x  D 2 x  x  1 x4 x  2   Ta có Bảng biến thiên f  x   x  4  x Từ bảng biến thiên, suy phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt m 7 Câu (2,0 điểm) Trong đợt cắm trại, trường THPT X tổ chức trò chơi chọn "Số may mắn" qua phần mềm máy tính Mỗi học sinh tham gia chơi bấm lần để chọn ngẫu nhiên có bốn chữ số "Số may mắn" số có bốn chữ số khác nhau, chữ số đầu khác gồm hai chữ số chẵn, hai chữ số lẻ cho tổng chữ số chẵn tổng chữ số lẻ Học sinh A tham gia trị chơi, tính xác suất để A bấm chọn "Số may mắn" ? Lời giải n  Ω  104  Khơng gian mẫu có số phần tử là: (cách) B  Gọi biến cố "Số may mắn: số có bốn chữ số khác nhau, chữ số đầu khác gồm hai chữ số chẵn, hai chữ số lẻ cho tổng chữ số chẵn tổng chữ số lẻ" Lập bảng trường hợp xảy ra: Tổng hai số chẵn 10 12 14 (hoặc hai số lẻ) Bộ hai chữ số chẵn (4;0) (6;0) (8;0) (8;2) (8;4) (8;6) thỏa mãn yêu cầu (4;2) (6;2) (6;4) Bộ hai chữ số lẻ (3;1) (5;1) (7;1) (9;1) (9;3) (9;5) thỏa mãn yêu cầu (5;3) (7;3) (7;5) Số đồng khả 3.3.2.1 18+4! (18+4!).2 4!.4 4!.2 4! xảy số có chữ số = 18 = 42 = 84 = 96 = 48 = 24 n  B  18  42  84  96  48  24 312 Số khả thuận lợi cho biến cố B là: (cách) n  B  312 39 P  B    n  Ω  10 1250  Xác suất để học sinh A bấm chọn "Số may mắn" là: PHẦN RIÊNG DÀNH CHO THÍ SINH HỆ THPT(CÂU 6A, 7A, 8A, 9A) Câu 6A (2,0 điểm)  x, y  x y  7 với x , y số nguyên dương thỏa x  y.4 Lời giải x y  Suy x   Do x , y số nguyên dương nên y.4 x   1; 2;3 Vậy Tìm tất cặp số TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII Trang x y 7   y.4 y  7  y.4 y  5  Trường hợp 1: Với x 1 ta có x  y.4 y 1 Với y 1 suy y.4 5  5 (thỏa mãn) y Với y 2 suy y.4 5  2.4 5 (thỏa mãn) y y Với y 3 suy y.4 3 4 12  y.4 5 (không thỏa mãn)  1,1 ,  1,  Vậy cặp số thỏa mãn x y 7   y.4 y  7  y.4 y  3  Trường hợp 2: Với x 2 ta có x  y.4 y Với y 1 suy y.4 3  3 (thỏa mãn) y y Với y 2 suy y.4 2 4 8  y.4 3 (không thỏa mãn)  2,1 Vậy cặp số thỏa mãn x y 7   y.4 y 7  y.4 y 1  Trường hợp 3: Với x 3 ta có x  y.4 y y Với y 1 suy y.4 14 4  y.4 1 (không thỏa mãn) Kết luận: Vậy cặp số  x, y  thỏa mãn yêu cầu toán  1,1 ,  1,  ,  2,1 Câu 7A (2,0 điểm) Cho khối chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B , AB 3a Biết SA  AB , SB SC khoảng cách hai đường thẳng SB, AC 2a Tính theo a thể tích khối chóp S ABC Lời giải  Gọi M , N trung điểm BC , AC  ABC  , gọi H giao điểm MN đường thẳng qua A vuông góc với AB  Trong  AH  AB  AB   SHA   AB  SH  Mà SA  AB (1) SB  SC   SBC S  SM  BC  Mặt khác: cân  BC   SHM   BC  SH  Dễ thấy HM  BC (2) BC  SH   SH   ABC   Từ (1) (2) ta có:  AB  SH  ABC  , gọi D giao điểm AH đường thẳng qua B song song với AC  Trong  AC  BD  AC  SBD   d  AC , BD  d  AC ,  SBD   d  A,  SBD    d  H ,  SBD   Trang TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA  2a  d  H ,  SBD    d  H ,  SBD   3a (3)  ABC  , kẻ HK  BD , HK cắt AC I  HI  AC  Trong  BD  SH  BD   SHK    SBD    SHK   BD  HK  Ta có:  SBD    SHK   HT   SBD   SK  SBD  SHK SHK          Trong kẻ HT  SK , mà  d  H ,  SBD   HT (4) Từ (3), (4) suy HT 3a  Tam giác ABC tam giác vuông cân B , AB 3a 3a 2a 2a  AH HN   HI   HK 3HI  4 2a HK  , HT 3a  Tam giác SHK tam giác vng H , có HT  SK , 1 1     2   HS 9a 2 2 HS HT HK 9a 81a 81a 1 27 a VS ABCD  S ABC SH   3a  9a  3 2 Thể tích khối chóp Câu 8A (2,0 điểm) Trong đợt quyên góp ủng hộ đồng bào bị lũ lụt năm 2020, có 25 học sinh lớp 12A tham gia ủng hộ, học sinh ủng hộ nhiều tờ tiền khác ba loại tờ tiền mệnh giá 5.000 đồng, 10.000 đồng 20.000 đồng Biết số học sinh tham gia ủng hộ thỏa đồng thời ba kết sau: (1) Số học sinh ủng hộ tờ 5.000 đồng tổng số học sinh ủng hộ tờ 10.000 đồng số học sinh ủng hộ tờ 20.000 đồng (2) Trong số học sinh khơng ủng hộ tờ 5.000 đồng số học sinh có ủng hộ tờ 10.000 đồng nhiều gấp hai lần số học sinh có ủng hộ tờ 20.000 đồng (3) Số học sinh ủng hộ tờ 5.000 đồng nhiều số học sinh ủng hộ tờ 5.000 đồng tờ khác học sinh Hỏi có học sinh lớp 12A ủng hộ tờ 10.000 đồng ? Lời giải  Gọi số học sinh ủng hộ tờ 5.000 đồng, tờ 10.000 đồng, tờ 20.000 đồng là: x , y , z Số học sinh ủng hộ tờ 5.000 đồng tờ 10.000 đồng là: a Số học sinh ủng hộ tờ 10.000 đồng tờ 20.000 đồng là: b Số học sinh ủng hộ tờ 20.000 đồng tờ 5.000 đồng là: c  x, y , z , a , b, c     Biểu diễn biểu đồ Ven (như hình vẽ): TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII Trang  Dựa vào biểu đồ Ven kiện tốn, ta có hệ phương trình: x y  z  1   2  y  b 2  z  b    3  x a  c   x  y  z  a  b  c 25   ; với x, y, z , a, b, c    Từ (2): y  z b 0  y 2 z (*) 26  z 26 y  z 26  y   x , a , b , c 4 Thế (1), (2), (3) vào (4) khử , ta được: 26  z 52  z 52  y 52 y    y 52  y  8 Từ điều kiện (*): 52 26 y  y  N Suy ra: y 6 ; z 2 ; x 8 Do đó:  Vậy có học sinh lớp 12A ủng hộ tờ 10.000 đồng Câu 9A (2,0 điểm) 2 f  x  mx  nx  px  q Cho số thực a, b, c thỏa a  b  c 0 ; a  b  c 1 hàm số  m, n, p, q  R  có đồ thị hình bên  36  P  f   a  b5  c     Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Lời giải f  x  mx  nx  px  q  f  x  3mx  2nx  p Ta có: f  x  mx  nx  px  q  4;  5 , điểm  Từ hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số có điểm cực tiểu  0;  1 , suy ra: cực đại Trang 10 TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA  m   q   64m  16n  p  q      n    p 0   48m  8n  p 0  p 0  q   f  x   x  x   a  b  c 0  a  b  c   a  b    c   Theo giả thiết:  a  5a 4b  10a 3b  10a 2b3  5ab  b5   c   a  b5  c5  5ab  a  2a 2b  2ab2  b3   a  b5  c5  5ab   a  b   a  ab  b   2ab  a  b    a  b5  c  5ab  a  b   a  ab  b   a  b5  c 5abc  2a  2b  2ab  5  a  b5  c5  abc  a  b   a  b    a  b5  c  abc  a  b  c   abc   2 2 2 2 2 a  b  c   a  b    c   a  2ab  b c   c  2ab c  1  ab   2c  1  a 2b c  c  2c  1 (1) Mà a  b  c  b  c 1  max  b  c  1 max  b  c  max  2c  1  max  c   Nếu a 0  b  c  u  2  Đặt: c u , 1 g  u   u  2u  1 u  u  u u  4 ; với Xét: 1 c    u  g  u  3u  2u  0    u 1  1  1  1 max g  u   g    g   g   0  1   54 g   0  0;  ;   54 ;     2 6  abc  a 2b c  18 54  18 Từ (1)   36   36  P  f   a  b5  c5    f  abc   f  18abc       Đặt: t 18abc   t  P  f  t   t3  t2  Khi đó: ; với:  t  Từ đồ thị cho, ta thấy:  22  P  Vậy: TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII       f      22 4 f  t  min f  ; f   6;    Trang 11 PHẦN RIÊNG DÀNH CHO THÍ SINH HỆ GDTX(CÂU 6B, 7B, 8B, 9B) Câu 6B (2,0 điểm) Tìm tất cặp số log  x  y  1  log  x  y  với x, y số nguyên thỏa ? Lời giải  x; y   0;0   x  y   x; y   Điều kiện xác định: log  x  y  1  log  x  y   log  x  y  log  x  y   x  y 2 x  y  2   x  1   y  1 2  x; y  thuộc hình trịn  C  ; tâm I  1;1 ; bán kính r  Suy ra: điểm biểu diễn  x; y  nguyên tọa độ nguyên điểm thuộc hình tròn  C   Các cặp số Các tọa độ nguyên "chấm đen" hình vẽ: Từ đó, ta có có tọa độ nguyên:  x ; y    1;0  ,  2;0  ,  0;1 ,  1;1 ,  2;1 ,  0;  ,  1;  ,  2;   Câu 7B (2.0 điểm) Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, mặt bên SAB tam giác cạnh 2a nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Biết góc SC mặt đáy 450  SCD  Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng Lời giải Trang 12 TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA S A K D M H B C  Tính thể tích khối chóp S ABCD  SH  AB  SH   SAB  Gọi H trung điểm AB nên SH chiều cao khối chóp SH  SA2  AH  4a  a  3a   Góc SC mặt đáy SCH  SCH 45 2 Nên tam giác SHC vuông cân H  CH  3a  BC  CH  BH  2a Diện tích hình chữ nhật ABCD là: S  AB.BC 2a 2a 2 2a 6a V  2a 3a  3 Thể tích khối chóp S ABCD là:  SCD   Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng AB // CD  AB //  SCD   d  A,  SCD   d  H ,  SCD   Ta có Gọi M trung điểm CD , K hình chiếu H SM CD  SH  CD   SHM   CD  HK  CD  HM  Ta có: HK   SCD   HK d  H ,  SCD   Mà HK  SM nên 1 1 a 30  2    HK  2 HS HM 3a 2a Trong tam giác vng SHM ta có: HK a 30 SCD   Vậy khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng Câu 8B (2,0 điểm) Trong đợt quyên góp ủng hộ đồng bào lũ lụt năm 2020 , học sinh lớp 12B đóng góp 1800000 đồng, bao gồm ba loại tiền mệnh giá 5000 đồng, 10000 đồng 20000 đồng Biết tổng số tiền mệnh giá 5000 đồng 10000 đồng nhiều tổng số tiền mệnh giá 20000 đồng 200000 đồng tổng số tiền mệnh giá 5000 đồng nhiều tổng số tiền mệnh giá 10000 đồng 100000 đồng Hỏi lớp 12B đóng góp tờ tiền loại ? Lời giải *  Gọi số tờ tiền mệnh giá 5000 đồng x ( x   ) *  Gọi số tờ tiền mệnh giá 10000 đồng y ( y   ) *  Gọi số tờ tiền mệnh giá 20000 đồng z ( z   ) Ta có hệ sau: TÀI LIỆU ƠN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII Trang 13 5000 x  10000 y  20000 z 1800000  x 110   5000 x  10000 y  20000 z 200000   y 45 5000 x  10000 y 100000  z 40    Vậy lớp 12B có 110 tờ tiền 5000 đồng, 45 tờ tiền 10000 đồng 40 tờ tiền 20000 đồng Câu 9B (2,0 điểm) Cho hàm số f  t  at  bt  c có bảng biến thiên sau: Tìm giá trị nhỏ biểu thức  Ta có Q  f   sin x  Lời giải f  t  at  bt  c  f  t  4at  2bt  f   2    2 c 2 a 1  f        1    a  b  c   b    f   0 4 c 2    a  b 0    f  0     Từ bảng biến thiên ta có  f  t  t  t  Suy t 1  sin x  t   0; 2 Q  f  t  t  t  t   0; 2  Đặt , ta với  t 0  f  t  4t  2t  f  t  0    t    2 f   2; f    ; f   14   Do Q Vậy giá trị lớn 14 t 2   sin x 2  sin x 1 Tài liệu chia sẻ Website VnTeach.Com https://www.vnteach.com Một sản phẩm cộng đồng facebook Thư Viện VnTeach.Com https://www.facebook.com/groups/vnteach/ https://www.facebook.com/groups/thuvienvnteach/ Trang 14 TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA