Toán vdc hsg3 hsg toán 12 thừa thiên huế 2020 2021 hoàn thiện

Câu (4,0 điểm) (C m ) m Cho hàm số y  f ( x )  x  x  mx  (1) có đồ thị , tham số y  f ( x ) a) Tìm giá trị m để hàm số (1) có hai điểm cực trị âm C  b) Tìm giá trị tham số m để đường thẳng d : y  x  m cắt đồ thị m ba điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 cho biểu thức T  x12  x2  x32  x12 x2 x32  đạt giá trị nhỏ Câu (4,0 điểm) Giải phương trình lượng giác  2sin x       sin   x   sin   3x     cot x  4  4   sin x  cos x   Câu  1 1 4x  x      x x 1  x  x  x    Giải phương trình (4,0 điểm) 9 y  y  x 3x   1   y   x  8   Giải hệ phương trình:  Câu Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số đơi khác lập từ chữ số 0,1, 2, 3, 4,5 Chọn ngẫu nhiên số từ tập S Tính xác suất để số chọn số chẵn (3,0 điểm)  2m  3 16 x   4m   x  3m  0  1 , m tham số thực Cho phương trình a) Giải phương trình m 3  1 có hai nghiệm trái dấu b) Tìm giá trị tham số m để phương trình Câu (3,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có cạnh SA  x , tất cạnh cịn lại có độ dài Gọi H hình chiếu S lên mặt phẳng đáy ABCD a) Chứng minh SA  SC b) Tính diện tích đáy ABCD theo x hình chóp S ABCD c) Xác định x để khối chóp S ABCD tích lớn Tính giá trị thể tích lớn Câu (3,0 điểm) 2 f x, y  4 x  y  x y  2018 Cho x  y  xy 1 Tìm giá trị lớn biểu thức  HẾT TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII Trang HƯỚNG DẪN GIẢI NG DẪN GIẢI N GIẢI I Câu (4,0 điểm) Cho hàm số y  f  x   x  x  mx   1 a) Tìm giá trị m để hàm số y  f  x  1 có đồ thị Cm , m tham số có hai điểm cực trị âm C  b) Tìm giá trị tham số m để đường thẳng d : y  x  m cắt đồ thị m ba điểm x x x phân biệt có hồnh độ , , cho biểu thức T  x12  x2  x32  x12 x2 x32  đạt giá trị nhỏ Lời giải a)  Ta có: f  x  3 x  x  m y  f  x f  x  0  Để hàm số có hai điểm cực trị âm phương trình có hai nghiệm âm phân biệt  x  x  m 0 có hai nghiệm âm phân biệt  '    S   P   9  3m     m    m   b) Xét phương trình hoành độ giao điểm: x3  3x  mx  x  m  x3  3x  x   m    m 0  x     x  x   m   * C   Để đường thẳng d : y  x  m cắt đồ thị m ba điểm phân biệt có hồnh độ x1 x2 x3  * 1 , , phương trình   1   m 4  m       m   có hai nghiệm phân biệt khác m   m4  m   Điều tương đương với: x1  ; x2  x3  ; x2 x3   m  Khi đó: 2 T  x12  x2  x32  x12 x2 x32  1   x2  x3   x2 x3   x2 x3   13  9  1       m  3   m    4m  26m  40 4  m     4 4   Vậy Câu 2 Tmin  13 m ( thỏa mãn điều kiện m ) (4,0 điểm) Giải phương trình lượng giác  2sin x       sin   x   sin   3x     cot x  4  4   sin x  cos x  Trang TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA   1 1 4x  x      x x 1  x  x  x    Giải phương trình Lời giải  ĐKXĐ: x k , k    sin x  cos x   2sin x   sin    x   sin    3x        cot x    4   Phương trình:      x   3x  x   3x  sin x  2sin x 4   cos sin 2 sin x     cos x  sin x  sin x  cos   x  sin x 4       cos   x  sin x  cos   x  sin x 4  4     cos   x  sin x  sin x  1 0 4        x   m  cos   x  0        sin x 0   x n  m, n, p       sin x  0  x   p 2   Đối chiếu với đkxđ phương trình ta có nghiệm phương trình là:    x   m ; x   p 2 2 với m, p    Điều kiện: x   Phương trình cho tương đương với 1 1 4x x    x  1  x     4 x  x  x 2 x  x  1 x  x  3x    x  1   1 x2 1  4 x  x  x   1 4 x  x  x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 (*) f  t  t  t  t  Xét hàm số với t  0, ta có t f  t  1   t   0, t  1 t f t 0;   Suy hàm số   đồng biến   1   f  f  4x   4 x  x  x  0  x   *  x  x     Từ suy  Kết hợp với điều kiện, ta nhận x  1     S       Vậy tập nghiệm phương trình cho TÀI LIỆU ƠN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII Trang Câu (4,0 điểm) 9 y  y  x 3x   1   y   x  8   Giải hệ phương trình: Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số đôi khác lập từ chữ số 0,1, 2, 3, 4,5 Chọn ngẫu nhiên số từ tập S Tính xác suất để số chọn số chẵn Lời giải  Điều kiện: x 3  1  27 y  y 3x 3x    y   y  3x    3x   Ta có: f x x3  x f  x 3x   0, x    f  x   Xét hàm số :   , có   đồng biến   1  f  y   f  x    y  3x  10  x   x   x      3x  4  3x  16 10 x   y 1 Với  Vậy hệ có nghiệm 10  ;1    x; y    Số số tự nhiên có chữ số đơi khác lập từ chữ số 0,1, 2,3, 4,5 5.5.4.3 300  Số số tự nhiên chẵn có chữ số đôi khác lập từ chữ số 0,1, 2,3, 4,5 A53  2.4.4.3 156 156 13  Vậy xác suất để số chọn số chẵn 300 25 Câu (3,0 điểm) 2m  3 16 x   4m   x  3m  0  1 m  Cho phương trình , tham số thực a) Giải phương trình m 3  1 có hai nghiệm trái dấu b) Tìm giá trị tham số m để phương trình Lời giải  1 trở thành a) Với m 3 , phương trình  x 1 9.16  10.4  0   x  4   x x  x 0   x log  log  b) Trang TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA x 2m  3 t   4m   t  3m  0    Đặt t 4 , phương trình   trở thành   Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu phương trình mãn  t1   t2  2 có hai nghiệm t1 , t2 thỏa  3t  2t     m  2t  4t  3  3t  2t  0  m  2t  4t   Ta có  Xét hàm số  Ta có f t   3t  2t  2t  4t  với t   0;   16t  50t  26 f  t    2t  4t  3 , f  t  0  t  25  209 16 Bảng biến thiên m3  Từ bảng biến thiên, suy Câu (3,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có cạnh SA  x , tất cạnh cịn lại có độ dài Gọi H hình chiếu S lên mặt phẳng đáy ABCD a) Chứng minh SA  SC b) Tính diện tích đáy ABCD theo x hình chóp S ABCD c) Xác định x để khối chóp S ABCD tích lớn Tính giá trị thể tích lớn Lời giải TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII Trang a) Chứng minh SA  SC  Gọi O  AC  BD  Ta có AB  AD CB CD SB SD 1  CBD SBD ABD (c.c.c.)  Mà O trung điểm BD  OC OS OA  SAC vuông S hay SA  SC (đpcm) b) Tính diện tích đáy ABCD theo x hình chóp S ABCD 2  Tam giác SAC vuông S  AC  SA  SC  x   Ta có ABCD hình thoi  AC  BD  OC  OD Tam giác OC  AC )  OCD O  OD  CD  OC   vuông  BD 2OD   x 1 S ABCD  AC.BD  2  Vậy x  1   x  x2 1  x2  (với (với  x  ) c) Xác định x để khối chóp S ABCD tích lớn Tính giá trị thể tích lớn  Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD  H  AC SB SC SD 1  SH   ABCD   Vì SA.SC x S  SH   AC x 1  Tam giác SAC vuông 1 1  VS ABCD  S ABCD SH  x  x  x   x   6 x 3  x  x   Dấu xảy x  Vậy Câu 6 thể tích khối chóp S ABCD đạt giá trị lớn (3,0 điểm) 2 f  x, y  4 x  y  x y  2018 Cho x  y  xy 1 Tìm giá trị lớn biểu thức Lời giải  Ta có : 2 x  y  xy 1   x  y  xy  1  x  y  x y  x y  x y  xy 1 Trang TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA  x  y  x y  xy  x  y  1  x  y  x y  xy   xy  1  x  y  xy 1  x  y 1  xy f  x, y  4 x  y  x y  2018  Thay vào biểu thức f  x, y   x y  xy  2019   xy  1  2021  Vậy f  x, y  2021 ta có: 2 với x, y    y    x  y   xy 1  x 2 x   0  2  2 x  y  xy 1  x 2 x  3x  0  Dấu xảy    x 1    y 1   x     y      x     y  y x     x     x 1      x2    y    f  x; y   Vậy giá trị lớn 2021       x; y    1;1 ;   1;  1 ;  ;  ;   ;          Cộng đồng facebook Thư Viện VnTeach.Com https://www.facebook.com/groups/vnteach/ https://www.facebook.com/groups/thuvienvnteach/ TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII Trang