Câu (4,0 điểm) (C m ) m Cho hàm số y f ( x ) x x mx (1) có đồ thị , tham số y f ( x ) a) Tìm giá trị m để hàm số (1) có hai điểm cực trị âm C b) Tìm giá trị tham số m để đường thẳng d : y x m cắt đồ thị m ba điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 cho biểu thức T x12 x2 x32 x12 x2 x32 đạt giá trị nhỏ Câu (4,0 điểm) Giải phương trình lượng giác 2sin x sin x sin 3x cot x 4 4 sin x cos x Câu 1 1 4x x x x 1 x x x Giải phương trình (4,0 điểm) 9 y y x 3x 1 y x 8 Giải hệ phương trình: Câu Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số đơi khác lập từ chữ số 0,1, 2, 3, 4,5 Chọn ngẫu nhiên số từ tập S Tính xác suất để số chọn số chẵn (3,0 điểm) 2m 3 16 x 4m x 3m 0 1 , m tham số thực Cho phương trình a) Giải phương trình m 3 1 có hai nghiệm trái dấu b) Tìm giá trị tham số m để phương trình Câu (3,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có cạnh SA x , tất cạnh cịn lại có độ dài Gọi H hình chiếu S lên mặt phẳng đáy ABCD a) Chứng minh SA SC b) Tính diện tích đáy ABCD theo x hình chóp S ABCD c) Xác định x để khối chóp S ABCD tích lớn Tính giá trị thể tích lớn Câu (3,0 điểm) 2 f x, y 4 x y x y 2018 Cho x y xy 1 Tìm giá trị lớn biểu thức HẾT TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII Trang HƯỚNG DẪN GIẢI NG DẪN GIẢI N GIẢI I Câu (4,0 điểm) Cho hàm số y f x x x mx 1 a) Tìm giá trị m để hàm số y f x 1 có đồ thị Cm , m tham số có hai điểm cực trị âm C b) Tìm giá trị tham số m để đường thẳng d : y x m cắt đồ thị m ba điểm x x x phân biệt có hồnh độ , , cho biểu thức T x12 x2 x32 x12 x2 x32 đạt giá trị nhỏ Lời giải a) Ta có: f x 3 x x m y f x f x 0 Để hàm số có hai điểm cực trị âm phương trình có hai nghiệm âm phân biệt x x m 0 có hai nghiệm âm phân biệt ' S P 9 3m m m b) Xét phương trình hoành độ giao điểm: x3 3x mx x m x3 3x x m m 0 x x x m * C Để đường thẳng d : y x m cắt đồ thị m ba điểm phân biệt có hồnh độ x1 x2 x3 * 1 , , phương trình 1 m 4 m m có hai nghiệm phân biệt khác m m4 m Điều tương đương với: x1 ; x2 x3 ; x2 x3 m Khi đó: 2 T x12 x2 x32 x12 x2 x32 1 x2 x3 x2 x3 x2 x3 13 9 1 m 3 m 4m 26m 40 4 m 4 4 Vậy Câu 2 Tmin 13 m ( thỏa mãn điều kiện m ) (4,0 điểm) Giải phương trình lượng giác 2sin x sin x sin 3x cot x 4 4 sin x cos x Trang TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA 1 1 4x x x x 1 x x x Giải phương trình Lời giải ĐKXĐ: x k , k sin x cos x 2sin x sin x sin 3x cot x 4 Phương trình: x 3x x 3x sin x 2sin x 4 cos sin 2 sin x cos x sin x sin x cos x sin x 4 cos x sin x cos x sin x 4 4 cos x sin x sin x 1 0 4 x m cos x 0 sin x 0 x n m, n, p sin x 0 x p 2 Đối chiếu với đkxđ phương trình ta có nghiệm phương trình là: x m ; x p 2 2 với m, p Điều kiện: x Phương trình cho tương đương với 1 1 4x x x 1 x 4 x x x 2 x x 1 x x 3x x 1 1 x2 1 4 x x x 1 4 x x x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 (*) f t t t t Xét hàm số với t 0, ta có t f t 1 t 0, t 1 t f t 0; Suy hàm số đồng biến 1 f f 4x 4 x x x 0 x * x x Từ suy Kết hợp với điều kiện, ta nhận x 1 S Vậy tập nghiệm phương trình cho TÀI LIỆU ƠN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII Trang Câu (4,0 điểm) 9 y y x 3x 1 y x 8 Giải hệ phương trình: Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số đôi khác lập từ chữ số 0,1, 2, 3, 4,5 Chọn ngẫu nhiên số từ tập S Tính xác suất để số chọn số chẵn Lời giải Điều kiện: x 3 1 27 y y 3x 3x y y 3x 3x Ta có: f x x3 x f x 3x 0, x f x Xét hàm số : , có đồng biến 1 f y f x y 3x 10 x x x 3x 4 3x 16 10 x y 1 Với Vậy hệ có nghiệm 10 ;1 x; y Số số tự nhiên có chữ số đơi khác lập từ chữ số 0,1, 2,3, 4,5 5.5.4.3 300 Số số tự nhiên chẵn có chữ số đôi khác lập từ chữ số 0,1, 2,3, 4,5 A53 2.4.4.3 156 156 13 Vậy xác suất để số chọn số chẵn 300 25 Câu (3,0 điểm) 2m 3 16 x 4m x 3m 0 1 m Cho phương trình , tham số thực a) Giải phương trình m 3 1 có hai nghiệm trái dấu b) Tìm giá trị tham số m để phương trình Lời giải 1 trở thành a) Với m 3 , phương trình x 1 9.16 10.4 0 x 4 x x x 0 x log log b) Trang TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA x 2m 3 t 4m t 3m 0 Đặt t 4 , phương trình trở thành Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu phương trình mãn t1 t2 2 có hai nghiệm t1 , t2 thỏa 3t 2t m 2t 4t 3 3t 2t 0 m 2t 4t Ta có Xét hàm số Ta có f t 3t 2t 2t 4t với t 0; 16t 50t 26 f t 2t 4t 3 , f t 0 t 25 209 16 Bảng biến thiên m3 Từ bảng biến thiên, suy Câu (3,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có cạnh SA x , tất cạnh cịn lại có độ dài Gọi H hình chiếu S lên mặt phẳng đáy ABCD a) Chứng minh SA SC b) Tính diện tích đáy ABCD theo x hình chóp S ABCD c) Xác định x để khối chóp S ABCD tích lớn Tính giá trị thể tích lớn Lời giải TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII Trang a) Chứng minh SA SC Gọi O AC BD Ta có AB AD CB CD SB SD 1 CBD SBD ABD (c.c.c.) Mà O trung điểm BD OC OS OA SAC vuông S hay SA SC (đpcm) b) Tính diện tích đáy ABCD theo x hình chóp S ABCD 2 Tam giác SAC vuông S AC SA SC x Ta có ABCD hình thoi AC BD OC OD Tam giác OC AC ) OCD O OD CD OC vuông BD 2OD x 1 S ABCD AC.BD 2 Vậy x 1 x x2 1 x2 (với (với x ) c) Xác định x để khối chóp S ABCD tích lớn Tính giá trị thể tích lớn Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD H AC SB SC SD 1 SH ABCD Vì SA.SC x S SH AC x 1 Tam giác SAC vuông 1 1 VS ABCD S ABCD SH x x x x 6 x 3 x x Dấu xảy x Vậy Câu 6 thể tích khối chóp S ABCD đạt giá trị lớn (3,0 điểm) 2 f x, y 4 x y x y 2018 Cho x y xy 1 Tìm giá trị lớn biểu thức Lời giải Ta có : 2 x y xy 1 x y xy 1 x y x y x y x y xy 1 Trang TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA x y x y xy x y 1 x y x y xy xy 1 x y xy 1 x y 1 xy f x, y 4 x y x y 2018 Thay vào biểu thức f x, y x y xy 2019 xy 1 2021 Vậy f x, y 2021 ta có: 2 với x, y y x y xy 1 x 2 x 0 2 2 x y xy 1 x 2 x 3x 0 Dấu xảy x 1 y 1 x y x y y x x x 1 x2 y f x; y Vậy giá trị lớn 2021 x; y 1;1 ; 1; 1 ; ; ; ; Cộng đồng facebook Thư Viện VnTeach.Com https://www.facebook.com/groups/vnteach/ https://www.facebook.com/groups/thuvienvnteach/ TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎIU ÔN THI HỌC SINH GIỎIC SINH GIỎII Trang